Theorem subeq0 11577

Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
subeq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid 11570	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 𝐵) = 0)
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
3	2	eqeq2d 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
4		subcan2 11576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	4	3anidm23 1448	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	3, 5	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193   − cmin 11534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536

This theorem is used by:  subeq0i  11631  subeq0ad  11670  mulcan1g  11962  div2sub  12135  cju  12309  nn0sub  12649  addmodlteq  14082  geoserg  16028  geolim  16032  geolim2  16033  georeclim  16034  geoisum1c  16042  tanadd  16328  fzocongeq  16487  divalglem8  16563  mndodcongi  19750  odf1  19769  odf1o1  19779  cnmet  25083  iccpnfhmeo  25259  plyremlem  26618  geolim3  26659  abelthlem2  26752  abelthlem7  26758  efeq1  26849  tanregt0  26860  logtayl  26981  ang180lem1  27130  ang180lem2  27131  ang180lem3  27132  lawcos  27137  isosctrlem1  27139  isosctrlem2  27140  atandm2  27198  atandm4  27200  2efiatan  27239  tanatan  27240  dvatan  27256  mumullem2  27500  mersenne  27547  dchrsum2  27588  sumdchr2  27590  addsq2reu  27760  axcgrid  29487  axcontlem2  29536  hvmulcan2  31668  esplyind  34200  poimirlem13  38531  rencldnfilem  43806  qirropth  43894  dvconstbi  45303  isosctrlem1ALT  45901  rrx2pnedifcoorneor  49797  rrx2pnedifcoorneorr  49798