MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subeq0 10901
Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
subeq0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subeq0
StepHypRef Expression
1 subid 10894 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵𝐵) = 0)
21adantl 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝐵) = 0)
32eqeq2d 2833 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ (𝐴𝐵) = 0))
4 subcan2 10900 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
543anidm23 1418 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
63, 5bitr3d 284 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  cmin 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861
This theorem is referenced by:  subeq0i  10955  subeq0d  10994  subne0d  10995  subeq0ad  10996  mulcan1g  11282  div2sub  11454  cju  11621  nn0sub  11935  addmodlteq  13309  geoserg  15212  geolim  15217  geolim2  15218  georeclim  15219  geoisum1c  15227  tanadd  15511  fzocongeq  15665  divalglem8  15740  mndodcongi  18662  odf1  18680  odf1o1  18688  cnmet  23375  iccpnfhmeo  23548  plyremlem  24898  geolim3  24933  abelthlem2  25025  abelthlem7  25031  efeq1  25118  tanregt0  25129  logtayl  25249  ang180lem1  25393  ang180lem2  25394  ang180lem3  25395  lawcos  25400  isosctrlem1  25402  isosctrlem2  25403  atandm2  25461  atandm4  25463  2efiatan  25502  tanatan  25503  dvatan  25519  mumullem2  25763  mersenne  25809  dchrsum2  25850  sumdchr2  25852  addsq2reu  26022  axcgrid  26708  axcontlem2  26757  hvmulcan2  28854  poimirlem13  35028  rencldnfilem  39691  qirropth  39779  dvconstbi  40972  isosctrlem1ALT  41574  rrx2pnedifcoorneor  45069  rrx2pnedifcoorneorr  45070
  Copyright terms: Public domain W3C validator