MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subeq0 10588
Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
subeq0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subeq0
StepHypRef Expression
1 subid 10581 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵𝐵) = 0)
21adantl 469 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝐵) = 0)
32eqeq2d 2816 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ (𝐴𝐵) = 0))
4 subcan2 10587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
543anidm23 1537 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
63, 5bitr3d 272 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  (class class class)co 6870  cc 10215  0cc0 10217  cmin 10547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-ltxr 10360  df-sub 10549
This theorem is referenced by:  subeq0i  10642  subeq0d  10681  subne0d  10682  subeq0ad  10683  mulcan1g  10961  div2sub  11131  cju  11297  nn0sub  11605  addmodlteq  12965  geoserg  14816  geolim  14819  geolim2  14820  georeclim  14821  geoisum1c  14829  tanadd  15113  fzocongeq  15265  divalglem8  15339  mndodcongi  18159  odf1  18176  odf1o1  18184  cnmet  22785  iccpnfhmeo  22954  plyremlem  24272  geolim3  24307  abelthlem2  24399  abelthlem7  24405  efeq1  24489  tanregt0  24499  logtayl  24619  ang180lem1  24752  ang180lem2  24753  ang180lem3  24754  lawcos  24759  isosctrlem1  24761  isosctrlem2  24762  atandm2  24817  atandm4  24819  2efiatan  24858  tanatan  24859  dvatan  24875  mumullem2  25119  mersenne  25165  dchrsum2  25206  sumdchr2  25208  axcgrid  26009  axcontlem2  26058  hvmulcan2  28257  poimirlem13  33733  rencldnfilem  37883  qirropth  37971  dvconstbi  39030  isosctrlem1ALT  39661
  Copyright terms: Public domain W3C validator