Theorem subeq0 11487

Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
subeq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid 11480	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 𝐵) = 0)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
3	2	eqeq2d 2737	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
4		subcan2 11486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	4	3anidm23 1418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	3, 5	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  0cc0 11109   − cmin 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447

This theorem is referenced by:  subeq0i  11541  subeq0d  11580  subne0d  11581  subeq0ad  11582  mulcan1g  11868  div2sub  12040  cju  12209  nn0sub  12523  addmodlteq  13914  geoserg  15816  geolim  15820  geolim2  15821  georeclim  15822  geoisum1c  15830  tanadd  16115  fzocongeq  16272  divalglem8  16348  mndodcongi  19461  odf1  19480  odf1o1  19490  cnmet  24639  iccpnfhmeo  24821  plyremlem  26190  geolim3  26225  abelthlem2  26320  abelthlem7  26326  efeq1  26413  tanregt0  26424  logtayl  26545  ang180lem1  26692  ang180lem2  26693  ang180lem3  26694  lawcos  26699  isosctrlem1  26701  isosctrlem2  26702  atandm2  26760  atandm4  26762  2efiatan  26801  tanatan  26802  dvatan  26818  mumullem2  27063  mersenne  27111  dchrsum2  27152  sumdchr2  27154  addsq2reu  27324  axcgrid  28678  axcontlem2  28727  hvmulcan2  30831  poimirlem13  37012  rencldnfilem  42117  qirropth  42205  dvconstbi  43650  isosctrlem1ALT  44252  rrx2pnedifcoorneor  47658  rrx2pnedifcoorneorr  47659