Theorem subeq0 11495

Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
subeq0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid 11488	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 𝐵) = 0)
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
3	2	eqeq2d 2776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
4		subcan2 11494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	4	3anidm23 1448	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	3, 5	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111   − cmin 11452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454

This theorem is used by:  subeq0i  11549  subeq0d  11588  subne0d  11589  subeq0ad  11590  mulcan1g  11878  div2sub  12051  cju  12225  nn0sub  12565  addmodlteq  13996  geoserg  15939  geolim  15943  geolim2  15944  georeclim  15945  geoisum1c  15953  tanadd  16241  fzocongeq  16400  divalglem8  16476  mndodcongi  19637  odf1  19656  odf1o1  19666  cnmet  24959  iccpnfhmeo  25135  plyremlem  26496  geolim3  26533  abelthlem2  26626  abelthlem7  26632  efeq1  26724  tanregt0  26735  logtayl  26856  ang180lem1  27005  ang180lem2  27006  ang180lem3  27007  lawcos  27012  isosctrlem1  27014  isosctrlem2  27015  atandm2  27073  atandm4  27075  2efiatan  27114  tanatan  27115  dvatan  27131  mumullem2  27375  mersenne  27422  dchrsum2  27463  sumdchr2  27465  addsq2reu  27635  axcgrid  29297  axcontlem2  29346  hvmulcan2  31472  esplyind  34005  poimirlem13  38317  rencldnfilem  43580  qirropth  43668  dvconstbi  45077  isosctrlem1ALT  45675  rrx2pnedifcoorneor  49529  rrx2pnedifcoorneorr  49530