Theorem rrx2xpreen 48907

Description: The set of points in the two dimensional Euclidean plane and the set of ordered pairs of real numbers (the cartesian product of the real numbers) are equinumerous. (Contributed by AV, 12-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrx2xpreen.r	⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})

Assertion

Ref	Expression
rrx2xpreen	⊢ 𝑅 ≈ (ℝ × ℝ)

Proof of Theorem rrx2xpreen

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11115	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1, 1	mpoex 8021	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) ∈ V
3		f1oeq1 6760	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) → (𝑓:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅 ↔ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}):(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅))
4		rrx2xpreen.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})
5		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩})
6	4, 5	rrx2xpref1o 48906	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}):(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅
7	2, 3, 6	ceqsexv2d 3489	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅
8		bren 8891	. . 3 ⊢ ((ℝ × ℝ) ≈ 𝑅 ↔ ∃𝑓 𝑓:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅)
9	7, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ 𝑅
10	9	ensymi 8939	1 ⊢ 𝑅 ≈ (ℝ × ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1541  ∃wex 1780  {cpr 4580  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096   × cxp 5620  –1-1-onto→wf1o 6489  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358   ↑_m cmap 8761   ≈ cen 8878  ℝcr 11023  1c1 11025  2c2 12198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-2 12206

This theorem is referenced by: (None)