Theorem rrx2xpreen 47494

Description: The set of points in the two dimensional Euclidean plane and the set of ordered pairs of real numbers (the cartesian product of the real numbers) are equinumerous. (Contributed by AV, 12-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrx2xpreen.r	⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})

Assertion

Ref	Expression
rrx2xpreen	⊢ 𝑅 ≈ (ℝ × ℝ)

Proof of Theorem rrx2xpreen

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11204	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1, 1	mpoex 8069	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) ∈ V
3		f1oeq1 6822	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) → (𝑓:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅 ↔ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}):(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅))
4		rrx2xpreen.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩})
6	4, 5	rrx2xpref1o 47493	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}):(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅
7	2, 3, 6	ceqsexv2d 3528	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅
8		bren 8952	. . 3 ⊢ ((ℝ × ℝ) ≈ 𝑅 ↔ ∃𝑓 𝑓:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅)
9	7, 8	mpbir 230	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ 𝑅
10	9	ensymi 9003	1 ⊢ 𝑅 ≈ (ℝ × ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1540  ∃wex 1780  {cpr 4631  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149   × cxp 5675  –1-1-onto→wf1o 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8823   ≈ cen 8939  ℝcr 11112  1c1 11114  2c2 12272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-2 12280

This theorem is referenced by: (None)