Theorem rrx2xpreen 49418

Description: The set of points in the two dimensional Euclidean plane and the set of ordered pairs of real numbers (the cartesian product of the real numbers) are equinumerous. (Contributed by AV, 12-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrx2xpreen.r	⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})

Assertion

Ref	Expression
rrx2xpreen	⊢ 𝑅 ≈ (ℝ × ℝ)

Proof of Theorem rrx2xpreen

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11191	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1, 1	mpoex 8076	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) ∈ V
3		f1oeq1 6809	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) → (𝑓:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅 ↔ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}):(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅))
4		rrx2xpreen.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})
5		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩})
6	4, 5	rrx2xpref1o 49417	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}):(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅
7	2, 3, 6	ceqsexv2d 3512	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅
8		bren 8953	. . 3 ⊢ ((ℝ × ℝ) ≈ 𝑅 ↔ ∃𝑓 𝑓:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅)
9	7, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ 𝑅
10	9	ensymi 9001	1 ⊢ 𝑅 ≈ (ℝ × ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1567  ∃wex 1806  {cpr 4596  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113   × cxp 5660  –1-1-onto→wf1o 6536  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑_m cmap 8824   ≈ cen 8940  ℝcr 11099  1c1 11101  2c2 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-2 12303

This theorem is referenced by: (None)