Theorem rrx2xpreen 48645

Description: The set of points in the two dimensional Euclidean plane and the set of ordered pairs of real numbers (the cartesian product of the real numbers) are equinumerous. (Contributed by AV, 12-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrx2xpreen.r	⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})

Assertion

Ref	Expression
rrx2xpreen	⊢ 𝑅 ≈ (ℝ × ℝ)

Proof of Theorem rrx2xpreen

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11247	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1, 1	mpoex 8105	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) ∈ V
3		f1oeq1 6835	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) → (𝑓:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅 ↔ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}):(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅))
4		rrx2xpreen.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩})
6	4, 5	rrx2xpref1o 48644	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨2, 𝑦⟩}):(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅
7	2, 3, 6	ceqsexv2d 3532	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅
8		bren 8996	. . 3 ⊢ ((ℝ × ℝ) ≈ 𝑅 ↔ ∃𝑓 𝑓:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→𝑅)
9	7, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ 𝑅
10	9	ensymi 9045	1 ⊢ 𝑅 ≈ (ℝ × ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1539  ∃wex 1778  {cpr 4627  ⟨cop 4631   class class class wbr 5142   × cxp 5682  –1-1-onto→wf1o 6559  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434   ↑_m cmap 8867   ≈ cen 8983  ℝcr 11155  1c1 11157  2c2 12322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-2 12330

This theorem is referenced by: (None)