MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftf 14297
Description: Functionality of a shifted sequence. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftf ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem shftf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6341 . . 3 (𝐹:𝐵𝐶𝐹 Fn 𝐵)
2 shftfval.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
32shftfn 14291 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐵𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵})
41, 3sylan 572 . 2 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵})
5 oveq1 6981 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
65eleq1d 2844 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵))
76elrab 3589 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵))
8 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 simpl 475 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
102shftval 14292 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝐴)))
118, 9, 10syl2an 586 . . . . 5 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝐴)))
12 simpl 475 . . . . . 6 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → 𝐹:𝐵𝐶)
13 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)
14 ffvelrn 6672 . . . . . 6 ((𝐹:𝐵𝐶 ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦𝐴)) ∈ 𝐶)
1512, 13, 14syl2an 586 . . . . 5 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑦𝐴)) ∈ 𝐶)
1611, 15eqeltrd 2860 . . . 4 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
177, 16sylan2b 584 . . 3 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
1817ralrimiva 3126 . 2 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
19 ffnfv 6703 . 2 ((𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶 ↔ ((𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶))
204, 18, 19sylanbrc 575 1 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3082  {crab 3086  Vcvv 3409   Fn wfn 6180  wf 6181  cfv 6185  (class class class)co 6974  cc 10331  cmin 10668   shift cshi 14284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-ltxr 10477  df-sub 10670  df-shft 14285
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator