MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftf 15115
Description: Functionality of a shifted sequence. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftf ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem shftf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6737 . . 3 (𝐹:𝐵𝐶𝐹 Fn 𝐵)
2 shftfval.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
32shftfn 15109 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐵𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵})
41, 3sylan 580 . 2 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵})
5 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
65eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵))
76elrab 3695 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵))
8 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
102shftval 15110 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝐴)))
118, 9, 10syl2an 596 . . . . 5 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝐴)))
12 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → 𝐹:𝐵𝐶)
13 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)
14 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 ((𝐹:𝐵𝐶 ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦𝐴)) ∈ 𝐶)
1512, 13, 14syl2an 596 . . . . 5 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑦𝐴)) ∈ 𝐶)
1611, 15eqeltrd 2839 . . . 4 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
177, 16sylan2b 594 . . 3 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
1817ralrimiva 3144 . 2 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
19 ffnfv 7139 . 2 ((𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶 ↔ ((𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶))
204, 18, 19sylanbrc 583 1 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cmin 11490   shift cshi 15102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-shft 15103
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator