Theorem shftf 15078

Description: Functionality of a shifted sequence. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftf	⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem shftf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6719	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐶 → 𝐹 Fn 𝐵)
2		shftfval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
3	2	shftfn 15072	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})
4	1, 3	sylan 578	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})
5		oveq1 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝐴) = (𝑦 − 𝐴))
6	5	eleq1d 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵))
7	6	elrab 3682	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵))
8		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
10	2	shftval 15073	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝐴)))
11	8, 9, 10	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝐴)))
12		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
13		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵)
14		ffvelcdm 7086	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦 − 𝐴)) ∈ 𝐶)
15	12, 13, 14	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 − 𝐴)) ∈ 𝐶)
16	11, 15	eqeltrd 2826	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
17	7, 16	sylan2b 592	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵}) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
18	17	ralrimiva 3136	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
19		ffnfv 7124	. 2 ⊢ ((𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶 ↔ ((𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶))
20	4, 18, 19	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  {crab 3420  Vcvv 3464   Fn wfn 6540  ⟶wf 6541  ‘cfv 6545  (class class class)co 7415  ℂcc 11146   − cmin 11484   shift cshi 15065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-ltxr 11293  df-sub 11486  df-shft 15066

This theorem is referenced by: (None)