Theorem shftf 14790

Description: Functionality of a shifted sequence. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftf	⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem shftf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6600	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐶 → 𝐹 Fn 𝐵)
2		shftfval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
3	2	shftfn 14784	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})
4	1, 3	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵})
5		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝐴) = (𝑦 − 𝐴))
6	5	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵))
7	6	elrab 3624	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵))
8		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
10	2	shftval 14785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝐴)))
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦 − 𝐴)))
12		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
13		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵)
14		ffvelrn 6959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦 − 𝐴)) ∈ 𝐶)
15	12, 13, 14	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 − 𝐴)) ∈ 𝐶)
16	11, 15	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
17	7, 16	sylan2b 594	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵}) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
18	17	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
19		ffnfv 6992	. 2 ⊢ ((𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶 ↔ ((𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶))
20	4, 18, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   − cmin 11205   shift cshi 14777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-shft 14778

This theorem is referenced by: (None)