Theorem shftval 15101

Description: Value of a sequence shifted by 𝐴. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem shftval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	shftfib 15099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}))
3	2	eleq2d 2851	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)})))
4	3	iotabidv 6509	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵})) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)})))
5		dffv3 6867	. 2 ⊢ ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (℩𝑥𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}))
6		dffv3 6867	. 2 ⊢ (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}))
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2825	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  {csn 4585   “ cima 5655  ℩cio 6479  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   − cmin 11429   shift cshi 15093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431  df-shft 15094

This theorem is referenced by:  shftval2  15102  shftval4  15104  shftval5  15105  shftf  15106  seqshft  15112  climshftlem  15615  isumshft  15883  cvgrat  15927  abelthlem6  26557  shftvalg  36095  uzmptshftfval  44920