MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftval 14425
Description: Value of a sequence shifted by 𝐴. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftval ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵𝐴)))

Proof of Theorem shftval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . 5 𝐹 ∈ V
21shftfib 14423 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}))
32eleq2d 2896 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵𝐴)})))
43iotabidv 6332 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵})) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵𝐴)})))
5 dffv3 6659 . 2 ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (℩𝑥𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}))
6 dffv3 6659 . 2 (𝐹‘(𝐵𝐴)) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}))
74, 5, 63eqtr4g 2879 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  Vcvv 3493  {csn 4559  cima 5551  cio 6305  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  cmin 10862   shift cshi 14417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-shft 14418
This theorem is referenced by:  shftval2  14426  shftval4  14428  shftval5  14429  shftf  14430  seqshft  14436  climshftlem  14923  isumshft  15186  cvgrat  15231  abelthlem6  25016  shftvalg  32956  uzmptshftfval  40669
  Copyright terms: Public domain W3C validator