Theorem shftval 15036

Description: Value of a sequence shifted by 𝐴. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem shftval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	shftfib 15034	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}))
3	2	eleq2d 2822	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)})))
4	3	iotabidv 6482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵})) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)})))
5		dffv3 6836	. 2 ⊢ ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (℩𝑥𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}))
6		dffv3 6836	. 2 ⊢ (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 − 𝐴)}))
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2796	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  {csn 4567   “ cima 5634  ℩cio 6452  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   − cmin 11377   shift cshi 15028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-shft 15029

This theorem is referenced by:  shftval2  15037  shftval4  15039  shftval5  15040  shftf  15041  seqshft  15047  climshftlem  15536  isumshft  15804  cvgrat  15848  abelthlem6  26401  shftvalg  35914  uzmptshftfval  44773