Theorem shsupunss 31375

Description: The union of a set of subspaces is smaller than its supremum. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsupunss	⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ (span‘∪ 𝐴))

Proof of Theorem shsupunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsspwh 31275	. . . . 5 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ
2		sstr 4004	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ) → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
3	1, 2	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
4	3	unissd 4922	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝒫 ℋ)
5		unipw 5461	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 ℋ = ℋ
6	4, 5	sseqtrdi 4046	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ ℋ)
7		spanss2 31374	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ ℋ → ∪ 𝐴 ⊆ (span‘∪ 𝐴))
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ (span‘∪ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6563   ℋchba 30948   S_ℋ csh 30957  spancspn 30961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hv0cl 31032  ax-hfvmul 31034

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-map 8867  df-nn 12265  df-hlim 31001  df-sh 31236  df-ch 31250  df-span 31338

This theorem is referenced by: (None)