Theorem shsupunss 31365

Description: The union of a set of subspaces is smaller than its supremum. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsupunss	⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ (span‘∪ 𝐴))

Proof of Theorem shsupunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsspwh 31265	. . . . 5 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ
2		sstr 3992	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ) → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
3	1, 2	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
4	3	unissd 4917	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝒫 ℋ)
5		unipw 5455	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 ℋ = ℋ
6	4, 5	sseqtrdi 4024	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ ℋ)
7		spanss2 31364	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ ℋ → ∪ 𝐴 ⊆ (span‘∪ 𝐴))
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ (span‘∪ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  ∪ cuni 4907  ‘cfv 6561   ℋchba 30938   S_ℋ csh 30947  spancspn 30951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hv0cl 31022  ax-hfvmul 31024

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-map 8868  df-nn 12267  df-hlim 30991  df-sh 31226  df-ch 31240  df-span 31328

This theorem is referenced by: (None)