HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsupunss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsupunss 29281
Description: The union of a set of subspaces is smaller than its supremum. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsupunss (𝐴S 𝐴 ⊆ (span‘ 𝐴))

Proof of Theorem shsupunss
StepHypRef Expression
1 shsspwh 29181 . . . . 5 S ⊆ 𝒫 ℋ
2 sstr 3885 . . . . 5 ((𝐴SS ⊆ 𝒫 ℋ) → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
31, 2mpan2 691 . . . 4 (𝐴S𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
43unissd 4806 . . 3 (𝐴S 𝐴 𝒫 ℋ)
5 unipw 5309 . . 3 𝒫 ℋ = ℋ
64, 5sseqtrdi 3927 . 2 (𝐴S 𝐴 ⊆ ℋ)
7 spanss2 29280 . 2 ( 𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘ 𝐴))
86, 7syl 17 1 (𝐴S 𝐴 ⊆ (span‘ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wss 3843  𝒫 cpw 4488   cuni 4796  cfv 6339  chba 28854   S csh 28863  spancspn 28867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-1cn 10673  ax-addcl 10675  ax-hilex 28934  ax-hfvadd 28935  ax-hv0cl 28938  ax-hfvmul 28940
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-map 8439  df-nn 11717  df-hlim 28907  df-sh 29142  df-ch 29156  df-span 29244
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator