Theorem shsupunss 31978

Description: The union of a set of subspaces is smaller than its supremum. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsupunss	⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ (span‘∪ 𝐴))

Proof of Theorem shsupunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsspwh 31878	. . . . 5 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ
2		sstr 3921	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ) → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
3	1, 2	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
4	3	unissd 4880	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝒫 ℋ)
5		unipw 5422	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 ℋ = ℋ
6	4, 5	sseqtrdi 3953	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ ℋ)
7		spanss2 31977	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ ℋ → ∪ 𝐴 ⊆ (span‘∪ 𝐴))
8	6, 7	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ (span‘∪ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6558   ℋchba 31551   S_ℋ csh 31560  spancspn 31564

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-1cn 11285  ax-addcl 11287  ax-hilex 31631  ax-hfvadd 31632  ax-hv0cl 31635  ax-hfvmul 31637

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-map 8877  df-nn 12363  df-hlim 31604  df-sh 31839  df-ch 31853  df-span 31941

This theorem is used by: (None)