Theorem shsupunss 31370

Description: The union of a set of subspaces is smaller than its supremum. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsupunss	⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ (span‘∪ 𝐴))

Proof of Theorem shsupunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsspwh 31270	. . . . 5 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ
2		sstr 3940	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ) → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
3	1, 2	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
4	3	unissd 4871	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ ∪ 𝒫 ℋ)
5		unipw 5396	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 ℋ = ℋ
6	4, 5	sseqtrdi 3972	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ ℋ)
7		spanss2 31369	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ⊆ ℋ → ∪ 𝐴 ⊆ (span‘∪ 𝐴))
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ → ∪ 𝐴 ⊆ (span‘∪ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4861  ‘cfv 6490   ℋchba 30943   S_ℋ csh 30952  spancspn 30956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-1cn 11082  ax-addcl 11084  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hv0cl 31027  ax-hfvmul 31029

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-map 8763  df-nn 12144  df-hlim 30996  df-sh 31231  df-ch 31245  df-span 31333

This theorem is referenced by: (None)