Theorem spanss2 31175

Description: A subset of Hilbert space is included in its span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanss2	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))

Proof of Theorem spanss2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4973	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}
2		spanval 31163	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
3	1, 2	sseqtrrid 4035	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4  {crab 3430   ⊆ wss 3949  ∩ cint 4953  ‘cfv 6553   ℋchba 30749   S_ℋ csh 30758  spancspn 30762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-1cn 11204  ax-addcl 11206  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hv0cl 30833  ax-hfvmul 30835

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-map 8853  df-nn 12251  df-hlim 30802  df-sh 31037  df-ch 31051  df-span 31139

This theorem is referenced by:  shsupunss  31176  spanuni  31374