Theorem sltadd2d 27941

Description: Addition to both sides of surreal less-than. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addscand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addscand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addscand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
sltadd2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐶 +s 𝐴) <s (𝐶 +s 𝐵)))

Proof of Theorem sltadd2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addscand.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		addscand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		addscand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		sltadd2 27935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐶 +s 𝐴) <s (𝐶 +s 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐶 +s 𝐴) <s (𝐶 +s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346   No csur 27579   <s cslt 27580   +_s cadds 27903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-1o 8385  df-2o 8386  df-nadd 8581  df-no 27582  df-slt 27583  df-bday 27584  df-sle 27685  df-sslt 27722  df-scut 27724  df-0s 27769  df-made 27789  df-old 27790  df-left 27792  df-right 27793  df-norec2 27893  df-adds 27904

This theorem is referenced by:  addsuniflem  27945  sltaddpos1d  27955  slt2addd  27957  sltp1d  27959  negsid  27984  sltsub2  28018  mulsproplem5  28060  mulsproplem6  28061  mulsproplem7  28062  mulsproplem8  28063  avgslt1d  28377  halfcut  28379  addhalfcut  28380  pw2cut2  28383  recut  28399