Theorem mulltgt0d 43256

Description: Negative times positive is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
mulltgt0d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulltgt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Proof of Theorem mulltgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullt0b1d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2	1	lt0ne0d 11774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		mulltgt0d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
4	3	gt0ne0d 11773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 4	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		neanior 3051	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
8		mullt0b1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		mullt0b1d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	sn-remul0ord 43169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
11	7, 10	mtbird 328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) = 0)
12		0red 11206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13	8, 12, 1	ltnsymd 11354	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐴)
14	8, 9, 3	mulgt0b2d 43252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
15	13, 14	mtbid 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵))
16		ioran 999	. . 3 ⊢ (¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ↔ (¬ (𝐴 · 𝐵) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
17	11, 15, 16	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
18	8, 9	remulcld 11234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
19	18, 12	lttrid 11343	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
20	17, 19	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095   · cmul 11100   < clt 11238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-2 12298  df-3 12299  df-resub 43127  df-rediv 43202

This theorem is referenced by:  mullt0b1d  43257