Theorem mulltgt0d 43526

Description: Negative times positive is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
mulltgt0d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulltgt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Proof of Theorem mulltgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullt0b1d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2	1	lt0ne0d 11874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		mulltgt0d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
4	3	gt0ne0d 11873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 4	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		neanior 3049	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
8		mullt0b1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		mullt0b1d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	sn-remul0ord 43439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
11	7, 10	mtbird 328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) = 0)
12		0red 11304	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13	8, 12, 1	ltnsymd 11452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐴)
14	8, 9, 3	mulgt0b2d 43522	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
15	13, 14	mtbid 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵))
16		ioran 999	. . 3 ⊢ (¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ↔ (¬ (𝐴 · 𝐵) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
17	11, 15, 16	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
18	8, 9	remulcld 11332	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
19	18, 12	lttrid 11441	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
20	17, 19	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193   · cmul 11198   < clt 11336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-2 12398  df-3 12399  df-resub 43397  df-rediv 43472

This theorem is used by:  mullt0b1d  43527