Theorem mulltgt0d 42941

Description: Negative times positive is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
mulltgt0d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulltgt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Proof of Theorem mulltgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullt0b1d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2	1	lt0ne0d 11706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		mulltgt0d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
4	3	gt0ne0d 11705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 4	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		neanior 3026	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
8		mullt0b1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		mullt0b1d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	sn-remul0ord 42854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
11	7, 10	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) = 0)
12		0red 11138	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13	8, 12, 1	ltnsymd 11286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐴)
14	8, 9, 3	mulgt0b2d 42937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
15	13, 14	mtbid 324	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵))
16		ioran 986	. . 3 ⊢ (¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ↔ (¬ (𝐴 · 𝐵) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
17	11, 15, 16	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
18	8, 9	remulcld 11166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
19	18, 12	lttrid 11275	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
20	17, 19	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   · cmul 11034   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-2 12235  df-3 12236  df-resub 42812  df-rediv 42887

This theorem is referenced by:  mullt0b1d  42942