Theorem mulltgt0d 42972

Description: Negative times positive is negative. (Contributed by SN, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullt0b1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mullt0b1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mullt0b1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
mulltgt0d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulltgt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Proof of Theorem mulltgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullt0b1d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2	1	lt0ne0d 11706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		mulltgt0d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
4	3	gt0ne0d 11705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 4	jca 516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		neanior 3027	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylib 219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
8		mullt0b1d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9		mullt0b1d.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	sn-remul0ord 42885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)))
11	7, 10	mtbird 326	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) = 0)
12		0red 11138	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13	8, 12, 1	ltnsymd 11286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < 𝐴)
14	8, 9, 3	mulgt0b2d 42968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
15	13, 14	mtbid 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵))
16		ioran 991	. . 3 ⊢ (¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)) ↔ (¬ (𝐴 · 𝐵) = 0 ∧ ¬ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
17	11, 15, 16	sylanbrc 589	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
18	8, 9	remulcld 11166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
19	18, 12	lttrid 11275	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ ((𝐴 · 𝐵) = 0 ∨ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
20	17, 19	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029   · cmul 11034   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-2 12235  df-3 12236  df-resub 42843  df-rediv 42918

This theorem is referenced by:  mullt0b1d  42973