Theorem itschlc0xyqsol1 48692

Description: Lemma for itsclc0 48697. Solutions of the quadratic equations for the coordinates of the intersection points of a horizontal line and a circle. (Contributed by AV, 25-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0yqsol.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
itschlc0xyqsol1	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) ∧ (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵)))))

Proof of Theorem itschlc0xyqsol1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		animorr 980	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
2	1	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
3		itscnhlc0yqe.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
4		itsclc0yqsol.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
5	3, 4	itsclc0yqsol 48690	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
6	2, 5	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))
7	6	imp 406	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
8		oveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · (√‘𝐷)) = (0 · (√‘𝐷)))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · (√‘𝐷)) = (0 · (√‘𝐷)))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) = (0 · (√‘𝐷)))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) = (0 · (√‘𝐷)))
12		rpcn 13046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℂ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℂ)
15	14	sqcld 14185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
16	3	resum2sqcl 48632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℂ)
18	17	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑄 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℂ)
21	15, 20	mulcld 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑅↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
22		simpll3 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
23	22	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	23	sqcld 14185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
25	21, 24	subcld 11621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
26	4, 25	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
27	26	sqrtcld 15477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
28	27	mul02d 11460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (0 · (√‘𝐷)) = 0)
29	11, 28	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) = 0)
30	29	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − 0))
31		simpll2 1213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32	31	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32, 23	mulcld 11282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
34	33	subid1d 11610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) − 0) = (𝐵 · 𝐶))
35	30, 34	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = (𝐵 · 𝐶))
36		sq0i 14233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 0)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑2) = 0)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴↑2) = 0)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴↑2) = 0)
40	39	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (0 + (𝐵↑2)))
41	32	sqcld 14185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
42	41	addlidd 11463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (0 + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
43	40, 42	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
44	3, 43	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 = (𝐵↑2))
45		recn 11246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	sqvald 14184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
47	46	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
50	44, 49	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 = (𝐵 · 𝐵))
51	35, 50	oveq12d 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐵)))
52		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ≠ 0)
53	23, 32, 32, 52, 52	divcan5d 12070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐵)) = (𝐶 / 𝐵))
54	51, 53	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (𝐶 / 𝐵))
55	54	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ 𝑌 = (𝐶 / 𝐵)))
56	55	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝑌 = (𝐶 / 𝐵)))
57	29	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + 0))
58	33	addridd 11462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) + 0) = (𝐵 · 𝐶))
59	57, 58	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) = (𝐵 · 𝐶))
60	59, 44	oveq12d 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐵↑2)))
61		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
62	61	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	62	sqvald 14184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
65	64	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐵↑2)) = ((𝐵 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐵)))
66		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
67	66	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
68	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
69		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
70	69	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
71	67, 68, 68, 70, 70	divcan5d 12070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐵)) = (𝐶 / 𝐵))
72	65, 71	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐵↑2)) = (𝐶 / 𝐵))
73	72	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) / (𝐵↑2)) = (𝐶 / 𝐵))
74	60, 73	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (𝐶 / 𝐵))
75	74	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ 𝑌 = (𝐶 / 𝐵)))
76	75	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝑌 = (𝐶 / 𝐵)))
77	56, 76	jaod 859	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → 𝑌 = (𝐶 / 𝐵)))
78	77	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → 𝑌 = (𝐶 / 𝐵)))
79	78	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → 𝑌 = (𝐶 / 𝐵)))
80		oveq1 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) → (𝑌↑2) = ((𝐶 / 𝐵)↑2))
81	80	oveq2d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑋↑2) + ((𝐶 / 𝐵)↑2)))
82	81	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ↔ ((𝑋↑2) + ((𝐶 / 𝐵)↑2)) = (𝑅↑2)))
83	15	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
84	23	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
85	32	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
86		simp1rr 1239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐵 ≠ 0)
87	84, 85, 86	divcld 12044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
88	87	sqcld 14185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐶 / 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
89		simp3l 1201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℝ)
90	89	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑋 ∈ ℂ)
91	90	sqcld 14185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
92	83, 88, 91	subadd2d 11640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑅↑2) − ((𝐶 / 𝐵)↑2)) = (𝑋↑2) ↔ ((𝑋↑2) + ((𝐶 / 𝐵)↑2)) = (𝑅↑2)))
93	23, 32, 52	sqdivd 14200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐶 / 𝐵)↑2) = ((𝐶↑2) / (𝐵↑2)))
94	93	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑅↑2) − ((𝐶 / 𝐵)↑2)) = ((𝑅↑2) − ((𝐶↑2) / (𝐵↑2))))
95	31	resqcld 14166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
96	31, 52	sqgt0d 14290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 0 < (𝐵↑2))
97	95, 96	elrpd 13075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
98	97	rpcnne0d 13087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑2) ≠ 0))
99		subdivcomb1 11963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐵↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑2) ≠ 0)) → ((((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2)) = ((𝑅↑2) − ((𝐶↑2) / (𝐵↑2))))
100	15, 24, 98, 99	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2)) = ((𝑅↑2) − ((𝐶↑2) / (𝐵↑2))))
101	94, 100	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑅↑2) − ((𝐶 / 𝐵)↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2)))
102	101	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑅↑2) − ((𝐶 / 𝐵)↑2)) = (𝑋↑2) ↔ ((((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2)) = (𝑋↑2)))
103	102	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑅↑2) − ((𝐶 / 𝐵)↑2)) = (𝑋↑2) ↔ ((((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2)) = (𝑋↑2)))
104	41	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
105	104, 83	mulcomd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · (𝐵↑2)))
106	44	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝑄 = (𝐵↑2))
107	106	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐵↑2) = 𝑄)
108	107	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑅↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝑅↑2) · 𝑄))
109	105, 108	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) = ((𝑅↑2) · 𝑄))
110	109	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)))
111	110	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2)) = ((((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2)))
112	111	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2)) = (𝑋↑2) ↔ ((((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2)) = (𝑋↑2)))
113	4	oveq1i 7442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 / (𝐵↑2)) = ((((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2))
114	113	eqeq1i 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 / (𝐵↑2)) = (𝑋↑2) ↔ ((((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2)) = (𝑋↑2))
115		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 / (𝐵↑2)) = (𝑋↑2) ↔ (𝑋↑2) = (𝐷 / (𝐵↑2)))
116	26	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
117		sqrtth 15404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
118	117	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → 𝐷 = ((√‘𝐷)↑2))
119	116, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐷 = ((√‘𝐷)↑2))
120	119	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐷 / (𝐵↑2)) = (((√‘𝐷)↑2) / (𝐵↑2)))
121	27	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
122	121, 85, 86	sqdivd 14200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((√‘𝐷) / 𝐵)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) / (𝐵↑2)))
123	120, 122	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝐷 / (𝐵↑2)) = (((√‘𝐷) / 𝐵)↑2))
124	123	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑋↑2) = (𝐷 / (𝐵↑2)) ↔ (𝑋↑2) = (((√‘𝐷) / 𝐵)↑2)))
125	121, 85, 86	divcld 12044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((√‘𝐷) / 𝐵) ∈ ℂ)
126	90, 125	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) / 𝐵) ∈ ℂ))
127		sqeqor 14256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) / 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) = (((√‘𝐷) / 𝐵)↑2) ↔ (𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵))))
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑋↑2) = (((√‘𝐷) / 𝐵)↑2) ↔ (𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵))))
129		orcom 870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵)) ↔ (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵)))
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵)) ↔ (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵))))
131	124, 128, 130	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑋↑2) = (𝐷 / (𝐵↑2)) ↔ (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵))))
132	131	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝑋↑2) = (𝐷 / (𝐵↑2)) → (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵))))
133	115, 132	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((𝐷 / (𝐵↑2)) = (𝑋↑2) → (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵))))
134	114, 133	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2)) = (𝑋↑2) → (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵))))
135	112, 134	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) / (𝐵↑2)) = (𝑋↑2) → (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵))))
136	103, 135	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑅↑2) − ((𝐶 / 𝐵)↑2)) = (𝑋↑2) → (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵))))
137	92, 136	sylbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋↑2) + ((𝐶 / 𝐵)↑2)) = (𝑅↑2) → (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵))))
138	137	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋↑2) + ((𝐶 / 𝐵)↑2)) = (𝑅↑2) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵))))
139	82, 138	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵)))))
140	139	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) → (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) → (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵)))))
141	140	adantrd 491	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) → (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵)))))
142	141	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) → (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵))))
143	142	ancld 550	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) → (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) ∧ (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵)))))
144	79, 143	syld 47	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → ((𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∨ 𝑌 = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) → (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) ∧ (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵)))))
145	7, 144	mpd 15	. 2 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶)) → (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) ∧ (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵))))
146	145	ex 412	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → (𝑌 = (𝐶 / 𝐵) ∧ (𝑋 = -((√‘𝐷) / 𝐵) ∨ 𝑋 = ((√‘𝐷) / 𝐵)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159   · cmul 11161   ≤ cle 11297   − cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  ℝ⁺crp 13035  ↑cexp 14103  √csqrt 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276

This theorem is referenced by:  itschlc0xyqsol  48693