Theorem divcan3 12003

Description: A cancellation law for division. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
divcan3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐴)
2		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11332	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
5		3simpc 1168	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		divmul 11980	. . 3 ⊢ (((𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐴)))
7	4, 3, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · 𝐴)))
8	1, 7	mpbiri 261	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203   · cmul 11208   / cdiv 11976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977

This theorem is used by:  divcan4  12004  muldivdir  12012  subdivcomb1  12015  divmuldiv  12020  divcan3zi  12059  divcan3d  12101  ltdiv23  12211  lediv23  12212  2halves  12567  halfaddsub  12582  zdiv  12772  sqdivid  14268  reim  15281  crim  15287  cnpart  15412  absmax  15502  efival  16325  cosadd  16338  cosmul  16346  pythagtriplem12  17009  pythagtriplem14  17011  pythagtriplem15  17012  pythagtriplem16  17013  pythagtriplem17  17014  ovolunlem1a  25822  ovolunlem1  25823  efif1olem2  26876  cxpsqrtlem  27035  leibpilem2  27274  bcmax  27610  logdivsum  27865  ipidsq  31317  dpfrac1  33504  cos2h  38627  isbnd2  38810  lhe4.4ex1a  45406  ltdiv23neg  46498  2zrngnmrid  49446