Theorem submaval0 21827

Description: Second substitution for a submatrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
submafval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submafval.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
submafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submaval0	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙   𝑅,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙   𝑖,𝑀,𝑗,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑙)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑘,𝑙)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑙)

Proof of Theorem submaval0

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submafval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		submafval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 21657	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5		mpoexga 7978	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) ∈ V)
6	4, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) ∈ V)
7		oveq 7335	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
8	7	mpoeq3dv 7408	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑚𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
9	8	mpoeq3dv 7408	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑚𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
10		submafval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
11	1, 10, 2	submafval 21826	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑚𝑗))))
12	9, 11	fvmptg 6923	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) ∈ V) → (𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
13	6, 12	mpdan 684	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ∖ cdif 3894  {csn 4572  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329   ∈ cmpo 7331  Fincfn 8796  Basecbs 17001   Mat cmat 21652   subMat csubma 21823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-1cn 11022  ax-addcl 11024

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-nn 12067  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-mat 21653  df-subma 21824

This theorem is referenced by:  submaval  21828