Theorem matrcl 22538

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4301	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22534	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7651	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17274	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2829	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 142	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∅c0 4294  ⟨cop 4600  ⟨cotp 4602   × cxp 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8943   sSet csts 17223  ndxcnx 17253  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311   freeLMod cfrlm 21865   maMul cmmul 22516   Mat cmat 22533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-1cn 11158  ax-addcl 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-nn 12234  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-mat 22534

This theorem is referenced by:  matbas2i  22548  matecl  22551  matplusg2  22553  matvsca2  22554  matplusgcell  22559  matsubgcell  22560  matinvgcell  22561  matvscacell  22562  matmulcell  22571  mattposcl  22579  mattposvs  22581  mattposm  22585  matgsumcl  22586  madetsumid  22587  madetsmelbas  22590  madetsmelbas2  22591  marrepval0  22687  marrepval  22688  marrepcl  22690  marepvval0  22692  marepvval  22693  marepvcl  22695  ma1repveval  22697  mulmarep1gsum1  22699  mulmarep1gsum2  22700  submabas  22704  submaval0  22706  submaval  22707  mdetleib2  22714  mdetf  22721  mdetrlin  22728  mdetrsca  22729  mdetralt  22734  mdetmul  22749  maduval  22764  maducoeval2  22766  maduf  22767  madutpos  22768  madugsum  22769  madurid  22770  madulid  22771  minmar1val0  22773  minmar1val  22774  marep01ma  22786  smadiadetlem0  22787  smadiadetlem1a  22789  smadiadetlem3  22794  smadiadetlem4  22795  smadiadet  22796  smadiadetglem2  22798  matinv  22803  matunit  22804  slesolvec  22805  slesolinv  22806  slesolinvbi  22807  slesolex  22808  cramerimplem2  22810  cramerimplem3  22811  cramerimp  22812  decpmatcl  22893  decpmataa0  22894  decpmatmul  22898  smatcl  34137  matunitlindflem2  38190  matunitlindf  38191