Theorem matrcl 21796

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4298	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 21792	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7599	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6851	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17099	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2796	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3446  ∅c0 4287  ⟨cop 4597  ⟨cotp 4599   × cxp 5636  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890   sSet csts 17046  ndxcnx 17076  Basecbs 17094  ._rcmulr 17148   freeLMod cfrlm 21189   maMul cmmul 21769   Mat cmat 21791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-1cn 11118  ax-addcl 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12163  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-mat 21792

This theorem is referenced by:  matbas2i  21808  matecl  21811  matplusg2  21813  matvsca2  21814  matplusgcell  21819  matsubgcell  21820  matinvgcell  21821  matvscacell  21822  matmulcell  21831  mattposcl  21839  mattposvs  21841  mattposm  21845  matgsumcl  21846  madetsumid  21847  madetsmelbas  21850  madetsmelbas2  21851  marrepval0  21947  marrepval  21948  marrepcl  21950  marepvval0  21952  marepvval  21953  marepvcl  21955  ma1repveval  21957  mulmarep1gsum1  21959  mulmarep1gsum2  21960  submabas  21964  submaval0  21966  submaval  21967  mdetleib2  21974  mdetf  21981  mdetrlin  21988  mdetrsca  21989  mdetralt  21994  mdetmul  22009  maduval  22024  maducoeval2  22026  maduf  22027  madutpos  22028  madugsum  22029  madurid  22030  madulid  22031  minmar1val0  22033  minmar1val  22034  marep01ma  22046  smadiadetlem0  22047  smadiadetlem1a  22049  smadiadetlem3  22054  smadiadetlem4  22055  smadiadet  22056  smadiadetglem2  22058  matinv  22063  matunit  22064  slesolvec  22065  slesolinv  22066  slesolinvbi  22067  slesolex  22068  cramerimplem2  22070  cramerimplem3  22071  cramerimp  22072  decpmatcl  22153  decpmataa0  22154  decpmatmul  22158  smatcl  32472  matunitlindflem2  36148  matunitlindf  36149