Theorem matrcl 20584

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4148	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 20580	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpt2ndm0 7134	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	syl5eq 2872	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6436	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 16274	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2885	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 145	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3413  ∅c0 4143  ⟨cop 4402  ⟨cotp 4404   × cxp 5339  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  Fincfn 8221  ndxcnx 16218   sSet csts 16219  Basecbs 16221  ._rcmulr 16305   freeLMod cfrlm 20452   maMul cmmul 20555   Mat cmat 20579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fv 6130  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-slot 16225  df-base 16227  df-mat 20580

This theorem is referenced by:  matbas2i  20594  matecl  20597  matplusg2  20599  matvsca2  20600  matplusgcell  20605  matsubgcell  20606  matinvgcell  20607  matvscacell  20608  matmulcell  20617  matmulcellOLD  20618  mattposcl  20626  mattposvs  20628  mattposm  20632  matgsumcl  20633  madetsumid  20634  madetsmelbas  20637  madetsmelbas2  20638  marrepval0  20734  marrepval  20735  marrepcl  20737  marepvval0  20739  marepvval  20740  marepvcl  20742  ma1repveval  20744  mulmarep1gsum1  20746  mulmarep1gsum2  20747  submabas  20751  submaval0  20753  submaval  20754  mdetleib2  20761  mdetf  20768  mdetrlin  20775  mdetrsca  20776  mdetralt  20781  mdetmul  20796  maduval  20811  maducoeval2  20813  maduf  20814  madutpos  20815  madugsum  20816  madurid  20817  madulid  20818  minmar1val0  20820  minmar1val  20821  marep01ma  20834  smadiadetlem0  20835  smadiadetlem1a  20837  smadiadetlem3  20842  smadiadetlem4  20843  smadiadet  20844  smadiadetglem2  20846  matinv  20851  matunit  20852  slesolvec  20853  slesolinv  20854  slesolinvbi  20855  slesolex  20856  cramerimplem2  20859  cramerimplem3  20860  cramerimp  20861  decpmatcl  20941  decpmataa0  20942  decpmatmul  20946  smatcl  30412  matunitlindflem2  33949  matunitlindf  33950