MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matrcl 20951
Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matrcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
matrcl (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4298 . 2 (𝑋𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2 matrcl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 df-mat 20947 . . . . . 6 Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
43mpondm0 7375 . . . . 5 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
52, 4syl5eq 2868 . . . 4 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
65fveq2d 6668 . . 3 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7 matrcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
8 base0 16526 . . 3 ∅ = (Base‘∅)
96, 7, 83eqtr4g 2881 . 2 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
101, 9nsyl2 143 1 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3495  c0 4290  cop 4565  cotp 4567   × cxp 5547  cfv 6349  (class class class)co 7145  Fincfn 8498  ndxcnx 16470   sSet csts 16471  Basecbs 16473  .rcmulr 16556   freeLMod cfrlm 20820   maMul cmmul 20924   Mat cmat 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-slot 16477  df-base 16479  df-mat 20947
This theorem is referenced by:  matbas2i  20961  matecl  20964  matplusg2  20966  matvsca2  20967  matplusgcell  20972  matsubgcell  20973  matinvgcell  20974  matvscacell  20975  matmulcell  20984  mattposcl  20992  mattposvs  20994  mattposm  20998  matgsumcl  20999  madetsumid  21000  madetsmelbas  21003  madetsmelbas2  21004  marrepval0  21100  marrepval  21101  marrepcl  21103  marepvval0  21105  marepvval  21106  marepvcl  21108  ma1repveval  21110  mulmarep1gsum1  21112  mulmarep1gsum2  21113  submabas  21117  submaval0  21119  submaval  21120  mdetleib2  21127  mdetf  21134  mdetrlin  21141  mdetrsca  21142  mdetralt  21147  mdetmul  21162  maduval  21177  maducoeval2  21179  maduf  21180  madutpos  21181  madugsum  21182  madurid  21183  madulid  21184  minmar1val0  21186  minmar1val  21187  marep01ma  21199  smadiadetlem0  21200  smadiadetlem1a  21202  smadiadetlem3  21207  smadiadetlem4  21208  smadiadet  21209  smadiadetglem2  21211  matinv  21216  matunit  21217  slesolvec  21218  slesolinv  21219  slesolinvbi  21220  slesolex  21221  cramerimplem2  21223  cramerimplem3  21224  cramerimp  21225  decpmatcl  21305  decpmataa0  21306  decpmatmul  21310  smatcl  30967  matunitlindflem2  34771  matunitlindf  34772
  Copyright terms: Public domain W3C validator