Theorem matrcl 22371

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4294	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22367	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7608	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17153	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  ⟨cop 4588  ⟨cotp 4590   × cxp 5630  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895   sSet csts 17102  ndxcnx 17132  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190   freeLMod cfrlm 21716   maMul cmmul 22349   Mat cmat 22366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-mat 22367

This theorem is referenced by:  matbas2i  22381  matecl  22384  matplusg2  22386  matvsca2  22387  matplusgcell  22392  matsubgcell  22393  matinvgcell  22394  matvscacell  22395  matmulcell  22404  mattposcl  22412  mattposvs  22414  mattposm  22418  matgsumcl  22419  madetsumid  22420  madetsmelbas  22423  madetsmelbas2  22424  marrepval0  22520  marrepval  22521  marrepcl  22523  marepvval0  22525  marepvval  22526  marepvcl  22528  ma1repveval  22530  mulmarep1gsum1  22532  mulmarep1gsum2  22533  submabas  22537  submaval0  22539  submaval  22540  mdetleib2  22547  mdetf  22554  mdetrlin  22561  mdetrsca  22562  mdetralt  22567  mdetmul  22582  maduval  22597  maducoeval2  22599  maduf  22600  madutpos  22601  madugsum  22602  madurid  22603  madulid  22604  minmar1val0  22606  minmar1val  22607  marep01ma  22619  smadiadetlem0  22620  smadiadetlem1a  22622  smadiadetlem3  22627  smadiadetlem4  22628  smadiadet  22629  smadiadetglem2  22631  matinv  22636  matunit  22637  slesolvec  22638  slesolinv  22639  slesolinvbi  22640  slesolex  22641  cramerimplem2  22643  cramerimplem3  22644  cramerimp  22645  decpmatcl  22726  decpmataa0  22727  decpmatmul  22731  smatcl  33984  matunitlindflem2  37872  matunitlindf  37873