MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matrcl 20949
Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matrcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
matrcl (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4296 . 2 (𝑋𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2 matrcl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 df-mat 20945 . . . . . 6 Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
43mpondm0 7375 . . . . 5 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
52, 4syl5eq 2865 . . . 4 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
65fveq2d 6667 . . 3 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7 matrcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
8 base0 16524 . . 3 ∅ = (Base‘∅)
96, 7, 83eqtr4g 2878 . 2 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
101, 9nsyl2 143 1 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  c0 4288  cop 4563  cotp 4565   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  ndxcnx 16468   sSet csts 16469  Basecbs 16471  .rcmulr 16554   freeLMod cfrlm 20818   maMul cmmul 20922   Mat cmat 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-slot 16475  df-base 16477  df-mat 20945
This theorem is referenced by:  matbas2i  20959  matecl  20962  matplusg2  20964  matvsca2  20965  matplusgcell  20970  matsubgcell  20971  matinvgcell  20972  matvscacell  20973  matmulcell  20982  mattposcl  20990  mattposvs  20992  mattposm  20996  matgsumcl  20997  madetsumid  20998  madetsmelbas  21001  madetsmelbas2  21002  marrepval0  21098  marrepval  21099  marrepcl  21101  marepvval0  21103  marepvval  21104  marepvcl  21106  ma1repveval  21108  mulmarep1gsum1  21110  mulmarep1gsum2  21111  submabas  21115  submaval0  21117  submaval  21118  mdetleib2  21125  mdetf  21132  mdetrlin  21139  mdetrsca  21140  mdetralt  21145  mdetmul  21160  maduval  21175  maducoeval2  21177  maduf  21178  madutpos  21179  madugsum  21180  madurid  21181  madulid  21182  minmar1val0  21184  minmar1val  21185  marep01ma  21197  smadiadetlem0  21198  smadiadetlem1a  21200  smadiadetlem3  21205  smadiadetlem4  21206  smadiadet  21207  smadiadetglem2  21209  matinv  21214  matunit  21215  slesolvec  21216  slesolinv  21217  slesolinvbi  21218  slesolex  21219  cramerimplem2  21221  cramerimplem3  21222  cramerimp  21223  decpmatcl  21303  decpmataa0  21304  decpmatmul  21308  smatcl  30966  matunitlindflem2  34770  matunitlindf  34771
  Copyright terms: Public domain W3C validator