Theorem matrcl 22377

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4280	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22373	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7607	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17184	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2796	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ∅c0 4273  ⟨cop 4573  ⟨cotp 4575   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893   sSet csts 17133  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221   freeLMod cfrlm 21726   maMul cmmul 22355   Mat cmat 22372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-mat 22373

This theorem is referenced by:  matbas2i  22387  matecl  22390  matplusg2  22392  matvsca2  22393  matplusgcell  22398  matsubgcell  22399  matinvgcell  22400  matvscacell  22401  matmulcell  22410  mattposcl  22418  mattposvs  22420  mattposm  22424  matgsumcl  22425  madetsumid  22426  madetsmelbas  22429  madetsmelbas2  22430  marrepval0  22526  marrepval  22527  marrepcl  22529  marepvval0  22531  marepvval  22532  marepvcl  22534  ma1repveval  22536  mulmarep1gsum1  22538  mulmarep1gsum2  22539  submabas  22543  submaval0  22545  submaval  22546  mdetleib2  22553  mdetf  22560  mdetrlin  22567  mdetrsca  22568  mdetralt  22573  mdetmul  22588  maduval  22603  maducoeval2  22605  maduf  22606  madutpos  22607  madugsum  22608  madurid  22609  madulid  22610  minmar1val0  22612  minmar1val  22613  marep01ma  22625  smadiadetlem0  22626  smadiadetlem1a  22628  smadiadetlem3  22633  smadiadetlem4  22634  smadiadet  22635  smadiadetglem2  22637  matinv  22642  matunit  22643  slesolvec  22644  slesolinv  22645  slesolinvbi  22646  slesolex  22647  cramerimplem2  22649  cramerimplem3  22650  cramerimp  22651  decpmatcl  22732  decpmataa0  22733  decpmatmul  22737  smatcl  33946  matunitlindflem2  37938  matunitlindf  37939