Theorem matrcl 22132

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4333	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22128	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7649	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17153	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ∅c0 4322  ⟨cop 4634  ⟨cotp 4636   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941   sSet csts 17100  ndxcnx 17130  Basecbs 17148  ._rcmulr 17202   freeLMod cfrlm 21520   maMul cmmul 22105   Mat cmat 22127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-nn 12217  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-mat 22128

This theorem is referenced by:  matbas2i  22144  matecl  22147  matplusg2  22149  matvsca2  22150  matplusgcell  22155  matsubgcell  22156  matinvgcell  22157  matvscacell  22158  matmulcell  22167  mattposcl  22175  mattposvs  22177  mattposm  22181  matgsumcl  22182  madetsumid  22183  madetsmelbas  22186  madetsmelbas2  22187  marrepval0  22283  marrepval  22284  marrepcl  22286  marepvval0  22288  marepvval  22289  marepvcl  22291  ma1repveval  22293  mulmarep1gsum1  22295  mulmarep1gsum2  22296  submabas  22300  submaval0  22302  submaval  22303  mdetleib2  22310  mdetf  22317  mdetrlin  22324  mdetrsca  22325  mdetralt  22330  mdetmul  22345  maduval  22360  maducoeval2  22362  maduf  22363  madutpos  22364  madugsum  22365  madurid  22366  madulid  22367  minmar1val0  22369  minmar1val  22370  marep01ma  22382  smadiadetlem0  22383  smadiadetlem1a  22385  smadiadetlem3  22390  smadiadetlem4  22391  smadiadet  22392  smadiadetglem2  22394  matinv  22399  matunit  22400  slesolvec  22401  slesolinv  22402  slesolinvbi  22403  slesolex  22404  cramerimplem2  22406  cramerimplem3  22407  cramerimp  22408  decpmatcl  22489  decpmataa0  22490  decpmatmul  22494  smatcl  33068  matunitlindflem2  36788  matunitlindf  36789