Theorem matrcl 22354

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4290	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22350	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7596	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17139	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2794	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ∅c0 4283  ⟨cop 4584  ⟨cotp 4586   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Fincfn 8881   sSet csts 17088  ndxcnx 17118  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176   freeLMod cfrlm 21699   maMul cmmul 22332   Mat cmat 22349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-1cn 11082  ax-addcl 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12144  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-mat 22350

This theorem is referenced by:  matbas2i  22364  matecl  22367  matplusg2  22369  matvsca2  22370  matplusgcell  22375  matsubgcell  22376  matinvgcell  22377  matvscacell  22378  matmulcell  22387  mattposcl  22395  mattposvs  22397  mattposm  22401  matgsumcl  22402  madetsumid  22403  madetsmelbas  22406  madetsmelbas2  22407  marrepval0  22503  marrepval  22504  marrepcl  22506  marepvval0  22508  marepvval  22509  marepvcl  22511  ma1repveval  22513  mulmarep1gsum1  22515  mulmarep1gsum2  22516  submabas  22520  submaval0  22522  submaval  22523  mdetleib2  22530  mdetf  22537  mdetrlin  22544  mdetrsca  22545  mdetralt  22550  mdetmul  22565  maduval  22580  maducoeval2  22582  maduf  22583  madutpos  22584  madugsum  22585  madurid  22586  madulid  22587  minmar1val0  22589  minmar1val  22590  marep01ma  22602  smadiadetlem0  22603  smadiadetlem1a  22605  smadiadetlem3  22610  smadiadetlem4  22611  smadiadet  22612  smadiadetglem2  22614  matinv  22619  matunit  22620  slesolvec  22621  slesolinv  22622  slesolinvbi  22623  slesolex  22624  cramerimplem2  22626  cramerimplem3  22627  cramerimp  22628  decpmatcl  22709  decpmataa0  22710  decpmatmul  22714  smatcl  33908  matunitlindflem2  37757  matunitlindf  37758