Theorem matrcl 21912

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4334	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 21908	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7647	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2785	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17149	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2798	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4323  ⟨cop 4635  ⟨cotp 4637   × cxp 5675  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939   sSet csts 17096  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  ._rcmulr 17198   freeLMod cfrlm 21301   maMul cmmul 21885   Mat cmat 21907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-mat 21908

This theorem is referenced by:  matbas2i  21924  matecl  21927  matplusg2  21929  matvsca2  21930  matplusgcell  21935  matsubgcell  21936  matinvgcell  21937  matvscacell  21938  matmulcell  21947  mattposcl  21955  mattposvs  21957  mattposm  21961  matgsumcl  21962  madetsumid  21963  madetsmelbas  21966  madetsmelbas2  21967  marrepval0  22063  marrepval  22064  marrepcl  22066  marepvval0  22068  marepvval  22069  marepvcl  22071  ma1repveval  22073  mulmarep1gsum1  22075  mulmarep1gsum2  22076  submabas  22080  submaval0  22082  submaval  22083  mdetleib2  22090  mdetf  22097  mdetrlin  22104  mdetrsca  22105  mdetralt  22110  mdetmul  22125  maduval  22140  maducoeval2  22142  maduf  22143  madutpos  22144  madugsum  22145  madurid  22146  madulid  22147  minmar1val0  22149  minmar1val  22150  marep01ma  22162  smadiadetlem0  22163  smadiadetlem1a  22165  smadiadetlem3  22170  smadiadetlem4  22171  smadiadet  22172  smadiadetglem2  22174  matinv  22179  matunit  22180  slesolvec  22181  slesolinv  22182  slesolinvbi  22183  slesolex  22184  cramerimplem2  22186  cramerimplem3  22187  cramerimp  22188  decpmatcl  22269  decpmataa0  22270  decpmatmul  22274  smatcl  32813  matunitlindflem2  36533  matunitlindf  36534