Theorem matrcl 22569

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4293	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22565	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7650	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17269	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2823	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 142	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286  ⟨cop 4595  ⟨cotp 4597   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939   sSet csts 17218  ndxcnx 17248  Basecbs 17264  ._rcmulr 17306   freeLMod cfrlm 21896   maMul cmmul 22547   Mat cmat 22564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-1cn 11153  ax-addcl 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12229  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-mat 22565

This theorem is referenced by:  matbas2i  22579  matecl  22582  matplusg2  22584  matvsca2  22585  matplusgcell  22590  matsubgcell  22591  matinvgcell  22592  matvscacell  22593  matmulcell  22602  mattposcl  22610  mattposvs  22612  mattposm  22616  matgsumcl  22617  madetsumid  22618  madetsmelbas  22621  madetsmelbas2  22622  marrepval0  22718  marrepval  22719  marrepcl  22721  marepvval0  22723  marepvval  22724  marepvcl  22726  ma1repveval  22728  mulmarep1gsum1  22730  mulmarep1gsum2  22731  submabas  22735  submaval0  22737  submaval  22738  mdetleib2  22745  mdetf  22752  mdetrlin  22759  mdetrsca  22760  mdetralt  22765  mdetmul  22780  maduval  22795  maducoeval2  22797  maduf  22798  madutpos  22799  madugsum  22800  madurid  22801  madulid  22802  minmar1val0  22804  minmar1val  22805  marep01ma  22817  smadiadetlem0  22818  smadiadetlem1a  22820  smadiadetlem3  22825  smadiadetlem4  22826  smadiadet  22827  smadiadetglem2  22829  matinv  22834  matunit  22835  slesolvec  22836  slesolinv  22837  slesolinvbi  22838  slesolex  22839  cramerimplem2  22841  cramerimplem3  22842  cramerimp  22843  decpmatcl  22924  decpmataa0  22925  decpmatmul  22929  smatcl  34192  matunitlindflem2  38288  matunitlindf  38289