Theorem matrcl 21017

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4249	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 21013	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7366	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	syl5eq 2845	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 16528	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2858	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 143	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ∅c0 4243  ⟨cop 4531  ⟨cotp 4533   × cxp 5517  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ndxcnx 16472   sSet csts 16473  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558   freeLMod cfrlm 20435   maMul cmmul 20990   Mat cmat 21012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-slot 16479  df-base 16481  df-mat 21013

This theorem is referenced by:  matbas2i  21027  matecl  21030  matplusg2  21032  matvsca2  21033  matplusgcell  21038  matsubgcell  21039  matinvgcell  21040  matvscacell  21041  matmulcell  21050  mattposcl  21058  mattposvs  21060  mattposm  21064  matgsumcl  21065  madetsumid  21066  madetsmelbas  21069  madetsmelbas2  21070  marrepval0  21166  marrepval  21167  marrepcl  21169  marepvval0  21171  marepvval  21172  marepvcl  21174  ma1repveval  21176  mulmarep1gsum1  21178  mulmarep1gsum2  21179  submabas  21183  submaval0  21185  submaval  21186  mdetleib2  21193  mdetf  21200  mdetrlin  21207  mdetrsca  21208  mdetralt  21213  mdetmul  21228  maduval  21243  maducoeval2  21245  maduf  21246  madutpos  21247  madugsum  21248  madurid  21249  madulid  21250  minmar1val0  21252  minmar1val  21253  marep01ma  21265  smadiadetlem0  21266  smadiadetlem1a  21268  smadiadetlem3  21273  smadiadetlem4  21274  smadiadet  21275  smadiadetglem2  21277  matinv  21282  matunit  21283  slesolvec  21284  slesolinv  21285  slesolinvbi  21286  slesolex  21287  cramerimplem2  21289  cramerimplem3  21290  cramerimp  21291  decpmatcl  21372  decpmataa0  21373  decpmatmul  21377  smatcl  31155  matunitlindflem2  35054  matunitlindf  35055