Theorem matrcl 21759

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4293	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 21755	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7594	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17088	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2801	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ∅c0 4282  ⟨cop 4592  ⟨cotp 4594   × cxp 5631  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883   sSet csts 17035  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134   freeLMod cfrlm 21152   maMul cmmul 21732   Mat cmat 21754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-1cn 11109  ax-addcl 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-nn 12154  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-mat 21755

This theorem is referenced by:  matbas2i  21771  matecl  21774  matplusg2  21776  matvsca2  21777  matplusgcell  21782  matsubgcell  21783  matinvgcell  21784  matvscacell  21785  matmulcell  21794  mattposcl  21802  mattposvs  21804  mattposm  21808  matgsumcl  21809  madetsumid  21810  madetsmelbas  21813  madetsmelbas2  21814  marrepval0  21910  marrepval  21911  marrepcl  21913  marepvval0  21915  marepvval  21916  marepvcl  21918  ma1repveval  21920  mulmarep1gsum1  21922  mulmarep1gsum2  21923  submabas  21927  submaval0  21929  submaval  21930  mdetleib2  21937  mdetf  21944  mdetrlin  21951  mdetrsca  21952  mdetralt  21957  mdetmul  21972  maduval  21987  maducoeval2  21989  maduf  21990  madutpos  21991  madugsum  21992  madurid  21993  madulid  21994  minmar1val0  21996  minmar1val  21997  marep01ma  22009  smadiadetlem0  22010  smadiadetlem1a  22012  smadiadetlem3  22017  smadiadetlem4  22018  smadiadet  22019  smadiadetglem2  22021  matinv  22026  matunit  22027  slesolvec  22028  slesolinv  22029  slesolinvbi  22030  slesolex  22031  cramerimplem2  22033  cramerimplem3  22034  cramerimp  22035  decpmatcl  22116  decpmataa0  22117  decpmatmul  22121  smatcl  32383  matunitlindflem2  36075  matunitlindf  36076