Theorem matrcl 22390

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4281	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22386	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7601	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17178	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ⟨cop 4574  ⟨cotp 4576   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Fincfn 8887   sSet csts 17127  ndxcnx 17157  Basecbs 17173  ._rcmulr 17215   freeLMod cfrlm 21739   maMul cmmul 22368   Mat cmat 22385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-1cn 11090  ax-addcl 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-nn 12169  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-mat 22386

This theorem is referenced by:  matbas2i  22400  matecl  22403  matplusg2  22405  matvsca2  22406  matplusgcell  22411  matsubgcell  22412  matinvgcell  22413  matvscacell  22414  matmulcell  22423  mattposcl  22431  mattposvs  22433  mattposm  22437  matgsumcl  22438  madetsumid  22439  madetsmelbas  22442  madetsmelbas2  22443  marrepval0  22539  marrepval  22540  marrepcl  22542  marepvval0  22544  marepvval  22545  marepvcl  22547  ma1repveval  22549  mulmarep1gsum1  22551  mulmarep1gsum2  22552  submabas  22556  submaval0  22558  submaval  22559  mdetleib2  22566  mdetf  22573  mdetrlin  22580  mdetrsca  22581  mdetralt  22586  mdetmul  22601  maduval  22616  maducoeval2  22618  maduf  22619  madutpos  22620  madugsum  22621  madurid  22622  madulid  22623  minmar1val0  22625  minmar1val  22626  marep01ma  22638  smadiadetlem0  22639  smadiadetlem1a  22641  smadiadetlem3  22646  smadiadetlem4  22647  smadiadet  22648  smadiadetglem2  22650  matinv  22655  matunit  22656  slesolvec  22657  slesolinv  22658  slesolinvbi  22659  slesolex  22660  cramerimplem2  22662  cramerimplem3  22663  cramerimp  22664  decpmatcl  22745  decpmataa0  22746  decpmatmul  22750  smatcl  33965  matunitlindflem2  37955  matunitlindf  37956