Theorem matrcl 22332

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4299	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22328	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7609	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17160	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2789	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ∅c0 4292  ⟨cop 4591  ⟨cotp 4593   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895   sSet csts 17109  ndxcnx 17139  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197   freeLMod cfrlm 21688   maMul cmmul 22310   Mat cmat 22327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-1cn 11102  ax-addcl 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-mat 22328

This theorem is referenced by:  matbas2i  22342  matecl  22345  matplusg2  22347  matvsca2  22348  matplusgcell  22353  matsubgcell  22354  matinvgcell  22355  matvscacell  22356  matmulcell  22365  mattposcl  22373  mattposvs  22375  mattposm  22379  matgsumcl  22380  madetsumid  22381  madetsmelbas  22384  madetsmelbas2  22385  marrepval0  22481  marrepval  22482  marrepcl  22484  marepvval0  22486  marepvval  22487  marepvcl  22489  ma1repveval  22491  mulmarep1gsum1  22493  mulmarep1gsum2  22494  submabas  22498  submaval0  22500  submaval  22501  mdetleib2  22508  mdetf  22515  mdetrlin  22522  mdetrsca  22523  mdetralt  22528  mdetmul  22543  maduval  22558  maducoeval2  22560  maduf  22561  madutpos  22562  madugsum  22563  madurid  22564  madulid  22565  minmar1val0  22567  minmar1val  22568  marep01ma  22580  smadiadetlem0  22581  smadiadetlem1a  22583  smadiadetlem3  22588  smadiadetlem4  22589  smadiadet  22590  smadiadetglem2  22592  matinv  22597  matunit  22598  slesolvec  22599  slesolinv  22600  slesolinvbi  22601  slesolex  22602  cramerimplem2  22604  cramerimplem3  22605  cramerimp  22606  decpmatcl  22687  decpmataa0  22688  decpmatmul  22692  smatcl  33785  matunitlindflem2  37604  matunitlindf  37605