Theorem matrcl 21469

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4264	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 21465	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7488	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 16845	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2804	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  ⟨cop 4564  ⟨cotp 4566   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691   sSet csts 16792  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889   freeLMod cfrlm 20863   maMul cmmul 21442   Mat cmat 21464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-mat 21465

This theorem is referenced by:  matbas2i  21479  matecl  21482  matplusg2  21484  matvsca2  21485  matplusgcell  21490  matsubgcell  21491  matinvgcell  21492  matvscacell  21493  matmulcell  21502  mattposcl  21510  mattposvs  21512  mattposm  21516  matgsumcl  21517  madetsumid  21518  madetsmelbas  21521  madetsmelbas2  21522  marrepval0  21618  marrepval  21619  marrepcl  21621  marepvval0  21623  marepvval  21624  marepvcl  21626  ma1repveval  21628  mulmarep1gsum1  21630  mulmarep1gsum2  21631  submabas  21635  submaval0  21637  submaval  21638  mdetleib2  21645  mdetf  21652  mdetrlin  21659  mdetrsca  21660  mdetralt  21665  mdetmul  21680  maduval  21695  maducoeval2  21697  maduf  21698  madutpos  21699  madugsum  21700  madurid  21701  madulid  21702  minmar1val0  21704  minmar1val  21705  marep01ma  21717  smadiadetlem0  21718  smadiadetlem1a  21720  smadiadetlem3  21725  smadiadetlem4  21726  smadiadet  21727  smadiadetglem2  21729  matinv  21734  matunit  21735  slesolvec  21736  slesolinv  21737  slesolinvbi  21738  slesolex  21739  cramerimplem2  21741  cramerimplem3  21742  cramerimp  21743  decpmatcl  21824  decpmataa0  21825  decpmatmul  21829  smatcl  31654  matunitlindflem2  35701  matunitlindf  35702