Theorem matrcl 22306

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4306	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22302	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7632	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17191	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2790	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ⟨cop 4598  ⟨cotp 4600   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921   sSet csts 17140  ndxcnx 17170  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228   freeLMod cfrlm 21662   maMul cmmul 22284   Mat cmat 22301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-mat 22302

This theorem is referenced by:  matbas2i  22316  matecl  22319  matplusg2  22321  matvsca2  22322  matplusgcell  22327  matsubgcell  22328  matinvgcell  22329  matvscacell  22330  matmulcell  22339  mattposcl  22347  mattposvs  22349  mattposm  22353  matgsumcl  22354  madetsumid  22355  madetsmelbas  22358  madetsmelbas2  22359  marrepval0  22455  marrepval  22456  marrepcl  22458  marepvval0  22460  marepvval  22461  marepvcl  22463  ma1repveval  22465  mulmarep1gsum1  22467  mulmarep1gsum2  22468  submabas  22472  submaval0  22474  submaval  22475  mdetleib2  22482  mdetf  22489  mdetrlin  22496  mdetrsca  22497  mdetralt  22502  mdetmul  22517  maduval  22532  maducoeval2  22534  maduf  22535  madutpos  22536  madugsum  22537  madurid  22538  madulid  22539  minmar1val0  22541  minmar1val  22542  marep01ma  22554  smadiadetlem0  22555  smadiadetlem1a  22557  smadiadetlem3  22562  smadiadetlem4  22563  smadiadet  22564  smadiadetglem2  22566  matinv  22571  matunit  22572  slesolvec  22573  slesolinv  22574  slesolinvbi  22575  slesolex  22576  cramerimplem2  22578  cramerimplem3  22579  cramerimp  22580  decpmatcl  22661  decpmataa0  22662  decpmatmul  22666  smatcl  33799  matunitlindflem2  37618  matunitlindf  37619