Theorem matrcl 22358

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4292	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22354	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7598	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17143	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2796	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ∅c0 4285  ⟨cop 4586  ⟨cotp 4588   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8885   sSet csts 17092  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180   freeLMod cfrlm 21703   maMul cmmul 22336   Mat cmat 22353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-1cn 11086  ax-addcl 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12148  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-mat 22354

This theorem is referenced by:  matbas2i  22368  matecl  22371  matplusg2  22373  matvsca2  22374  matplusgcell  22379  matsubgcell  22380  matinvgcell  22381  matvscacell  22382  matmulcell  22391  mattposcl  22399  mattposvs  22401  mattposm  22405  matgsumcl  22406  madetsumid  22407  madetsmelbas  22410  madetsmelbas2  22411  marrepval0  22507  marrepval  22508  marrepcl  22510  marepvval0  22512  marepvval  22513  marepvcl  22515  ma1repveval  22517  mulmarep1gsum1  22519  mulmarep1gsum2  22520  submabas  22524  submaval0  22526  submaval  22527  mdetleib2  22534  mdetf  22541  mdetrlin  22548  mdetrsca  22549  mdetralt  22554  mdetmul  22569  maduval  22584  maducoeval2  22586  maduf  22587  madutpos  22588  madugsum  22589  madurid  22590  madulid  22591  minmar1val0  22593  minmar1val  22594  marep01ma  22606  smadiadetlem0  22607  smadiadetlem1a  22609  smadiadetlem3  22614  smadiadetlem4  22615  smadiadet  22616  smadiadetglem2  22618  matinv  22623  matunit  22624  slesolvec  22625  slesolinv  22626  slesolinvbi  22627  slesolex  22628  cramerimplem2  22630  cramerimplem3  22631  cramerimp  22632  decpmatcl  22713  decpmataa0  22714  decpmatmul  22718  smatcl  33961  matunitlindflem2  37820  matunitlindf  37821