Theorem matrcl 22727

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4286	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22723	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7661	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17392	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2821	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 142	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592   × cxp 5649  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973   sSet csts 17341  ndxcnx 17371  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429   freeLMod cfrlm 22052   maMul cmmul 22705   Mat cmat 22722

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-1cn 11258  ax-addcl 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-nn 12336  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-mat 22723

This theorem is used by:  matbas2i  22737  matecl  22740  matplusg2  22742  matvsca2  22743  matplusgcell  22748  matsubgcell  22749  matinvgcell  22750  matvscacell  22751  matmulcell  22760  mattposcl  22768  mattposvs  22770  mattposm  22774  matgsumcl  22775  madetsumid  22776  madetsmelbas  22779  madetsmelbas2  22780  marrepval0  22876  marrepval  22877  marrepcl  22879  marepvval0  22881  marepvval  22882  marepvcl  22884  ma1repveval  22886  mulmarep1gsum1  22888  mulmarep1gsum2  22889  submabas  22893  submaval0  22895  submaval  22896  mdetleib2  22903  mdetf  22910  mdetrlin  22917  mdetrsca  22918  mdetralt  22923  mdetmul  22938  maduval  22953  maducoeval2  22955  maduf  22956  madutpos  22957  madugsum  22958  madurid  22959  madulid  22960  minmar1val0  22962  minmar1val  22963  marep01ma  22975  smadiadetlem0  22976  smadiadetlem1a  22978  smadiadetlem3  22983  smadiadetlem4  22984  smadiadet  22985  smadiadetglem2  22987  matinv  22992  matunit  22993  matunitlindflem2  22995  matunitlindf  22996  slesolvec  22997  slesolinv  22998  slesolinvbi  22999  slesolex  23000  cramerimplem2  23002  cramerimplem3  23003  cramerimp  23004  decpmatcl  23085  decpmataa0  23086  decpmatmul  23090  smatcl  34434