Theorem matrcl 22327

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4287	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22323	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7586	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17125	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2791	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4280  ⟨cop 4579  ⟨cotp 4581   × cxp 5612  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869   sSet csts 17074  ndxcnx 17104  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162   freeLMod cfrlm 21683   maMul cmmul 22305   Mat cmat 22322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-1cn 11064  ax-addcl 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-mat 22323

This theorem is referenced by:  matbas2i  22337  matecl  22340  matplusg2  22342  matvsca2  22343  matplusgcell  22348  matsubgcell  22349  matinvgcell  22350  matvscacell  22351  matmulcell  22360  mattposcl  22368  mattposvs  22370  mattposm  22374  matgsumcl  22375  madetsumid  22376  madetsmelbas  22379  madetsmelbas2  22380  marrepval0  22476  marrepval  22477  marrepcl  22479  marepvval0  22481  marepvval  22482  marepvcl  22484  ma1repveval  22486  mulmarep1gsum1  22488  mulmarep1gsum2  22489  submabas  22493  submaval0  22495  submaval  22496  mdetleib2  22503  mdetf  22510  mdetrlin  22517  mdetrsca  22518  mdetralt  22523  mdetmul  22538  maduval  22553  maducoeval2  22555  maduf  22556  madutpos  22557  madugsum  22558  madurid  22559  madulid  22560  minmar1val0  22562  minmar1val  22563  marep01ma  22575  smadiadetlem0  22576  smadiadetlem1a  22578  smadiadetlem3  22583  smadiadetlem4  22584  smadiadet  22585  smadiadetglem2  22587  matinv  22592  matunit  22593  slesolvec  22594  slesolinv  22595  slesolinvbi  22596  slesolex  22597  cramerimplem2  22599  cramerimplem3  22600  cramerimp  22601  decpmatcl  22682  decpmataa0  22683  decpmatmul  22687  smatcl  33815  matunitlindflem2  37667  matunitlindf  37668