Theorem matrcl 22437

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4363	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22433	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7690	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17263	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2805	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352  ⟨cop 4654  ⟨cotp 4656   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003   sSet csts 17210  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312   freeLMod cfrlm 21789   maMul cmmul 22415   Mat cmat 22432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-mat 22433

This theorem is referenced by:  matbas2i  22449  matecl  22452  matplusg2  22454  matvsca2  22455  matplusgcell  22460  matsubgcell  22461  matinvgcell  22462  matvscacell  22463  matmulcell  22472  mattposcl  22480  mattposvs  22482  mattposm  22486  matgsumcl  22487  madetsumid  22488  madetsmelbas  22491  madetsmelbas2  22492  marrepval0  22588  marrepval  22589  marrepcl  22591  marepvval0  22593  marepvval  22594  marepvcl  22596  ma1repveval  22598  mulmarep1gsum1  22600  mulmarep1gsum2  22601  submabas  22605  submaval0  22607  submaval  22608  mdetleib2  22615  mdetf  22622  mdetrlin  22629  mdetrsca  22630  mdetralt  22635  mdetmul  22650  maduval  22665  maducoeval2  22667  maduf  22668  madutpos  22669  madugsum  22670  madurid  22671  madulid  22672  minmar1val0  22674  minmar1val  22675  marep01ma  22687  smadiadetlem0  22688  smadiadetlem1a  22690  smadiadetlem3  22695  smadiadetlem4  22696  smadiadet  22697  smadiadetglem2  22699  matinv  22704  matunit  22705  slesolvec  22706  slesolinv  22707  slesolinvbi  22708  slesolex  22709  cramerimplem2  22711  cramerimplem3  22712  cramerimp  22713  decpmatcl  22794  decpmataa0  22795  decpmatmul  22799  smatcl  33748  matunitlindflem2  37577  matunitlindf  37578