Theorem matrcl 22350

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4315	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22346	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7647	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17233	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2795	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ∅c0 4308  ⟨cop 4607  ⟨cotp 4609   × cxp 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959   sSet csts 17182  ndxcnx 17212  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272   freeLMod cfrlm 21706   maMul cmmul 22328   Mat cmat 22345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-1cn 11187  ax-addcl 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-nn 12241  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-mat 22346

This theorem is referenced by:  matbas2i  22360  matecl  22363  matplusg2  22365  matvsca2  22366  matplusgcell  22371  matsubgcell  22372  matinvgcell  22373  matvscacell  22374  matmulcell  22383  mattposcl  22391  mattposvs  22393  mattposm  22397  matgsumcl  22398  madetsumid  22399  madetsmelbas  22402  madetsmelbas2  22403  marrepval0  22499  marrepval  22500  marrepcl  22502  marepvval0  22504  marepvval  22505  marepvcl  22507  ma1repveval  22509  mulmarep1gsum1  22511  mulmarep1gsum2  22512  submabas  22516  submaval0  22518  submaval  22519  mdetleib2  22526  mdetf  22533  mdetrlin  22540  mdetrsca  22541  mdetralt  22546  mdetmul  22561  maduval  22576  maducoeval2  22578  maduf  22579  madutpos  22580  madugsum  22581  madurid  22582  madulid  22583  minmar1val0  22585  minmar1val  22586  marep01ma  22598  smadiadetlem0  22599  smadiadetlem1a  22601  smadiadetlem3  22606  smadiadetlem4  22607  smadiadet  22608  smadiadetglem2  22610  matinv  22615  matunit  22616  slesolvec  22617  slesolinv  22618  slesolinvbi  22619  slesolex  22620  cramerimplem2  22622  cramerimplem3  22623  cramerimp  22624  decpmatcl  22705  decpmataa0  22706  decpmatmul  22710  smatcl  33833  matunitlindflem2  37641  matunitlindf  37642