MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matrcl 21013
Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matrcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
matrcl (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4297 . 2 (𝑋𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2 matrcl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 df-mat 21009 . . . . . 6 Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
43mpondm0 7378 . . . . 5 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
52, 4syl5eq 2866 . . . 4 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
65fveq2d 6667 . . 3 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7 matrcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
8 base0 16528 . . 3 ∅ = (Base‘∅)
96, 7, 83eqtr4g 2879 . 2 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
101, 9nsyl2 143 1 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3493  c0 4289  cop 4565  cotp 4567   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  ndxcnx 16472   sSet csts 16473  Basecbs 16475  .rcmulr 16558   freeLMod cfrlm 20882   maMul cmmul 20986   Mat cmat 21008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-slot 16479  df-base 16481  df-mat 21009
This theorem is referenced by:  matbas2i  21023  matecl  21026  matplusg2  21028  matvsca2  21029  matplusgcell  21034  matsubgcell  21035  matinvgcell  21036  matvscacell  21037  matmulcell  21046  mattposcl  21054  mattposvs  21056  mattposm  21060  matgsumcl  21061  madetsumid  21062  madetsmelbas  21065  madetsmelbas2  21066  marrepval0  21162  marrepval  21163  marrepcl  21165  marepvval0  21167  marepvval  21168  marepvcl  21170  ma1repveval  21172  mulmarep1gsum1  21174  mulmarep1gsum2  21175  submabas  21179  submaval0  21181  submaval  21182  mdetleib2  21189  mdetf  21196  mdetrlin  21203  mdetrsca  21204  mdetralt  21209  mdetmul  21224  maduval  21239  maducoeval2  21241  maduf  21242  madutpos  21243  madugsum  21244  madurid  21245  madulid  21246  minmar1val0  21248  minmar1val  21249  marep01ma  21261  smadiadetlem0  21262  smadiadetlem1a  21264  smadiadetlem3  21269  smadiadetlem4  21270  smadiadet  21271  smadiadetglem2  21273  matinv  21278  matunit  21279  slesolvec  21280  slesolinv  21281  slesolinvbi  21282  slesolex  21283  cramerimplem2  21285  cramerimplem3  21286  cramerimp  21287  decpmatcl  21367  decpmataa0  21368  decpmatmul  21372  smatcl  31055  matunitlindflem2  34876  matunitlindf  34877
  Copyright terms: Public domain W3C validator