Theorem matrcl 22297

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4291	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22293	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7589	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17125	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2789	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ∅c0 4284  ⟨cop 4583  ⟨cotp 4585   × cxp 5617  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872   sSet csts 17074  ndxcnx 17104  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162   freeLMod cfrlm 21653   maMul cmmul 22275   Mat cmat 22292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-1cn 11067  ax-addcl 11069

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-nn 12129  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-mat 22293

This theorem is referenced by:  matbas2i  22307  matecl  22310  matplusg2  22312  matvsca2  22313  matplusgcell  22318  matsubgcell  22319  matinvgcell  22320  matvscacell  22321  matmulcell  22330  mattposcl  22338  mattposvs  22340  mattposm  22344  matgsumcl  22345  madetsumid  22346  madetsmelbas  22349  madetsmelbas2  22350  marrepval0  22446  marrepval  22447  marrepcl  22449  marepvval0  22451  marepvval  22452  marepvcl  22454  ma1repveval  22456  mulmarep1gsum1  22458  mulmarep1gsum2  22459  submabas  22463  submaval0  22465  submaval  22466  mdetleib2  22473  mdetf  22480  mdetrlin  22487  mdetrsca  22488  mdetralt  22493  mdetmul  22508  maduval  22523  maducoeval2  22525  maduf  22526  madutpos  22527  madugsum  22528  madurid  22529  madulid  22530  minmar1val0  22532  minmar1val  22533  marep01ma  22545  smadiadetlem0  22546  smadiadetlem1a  22548  smadiadetlem3  22553  smadiadetlem4  22554  smadiadet  22555  smadiadetglem2  22557  matinv  22562  matunit  22563  slesolvec  22564  slesolinv  22565  slesolinvbi  22566  slesolex  22567  cramerimplem2  22569  cramerimplem3  22570  cramerimp  22571  decpmatcl  22652  decpmataa0  22653  decpmatmul  22657  smatcl  33775  matunitlindflem2  37607  matunitlindf  37608