Theorem matrcl 22431

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4345	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22427	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7672	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2786	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17249	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2799	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477  ∅c0 4338  ⟨cop 4636  ⟨cotp 4638   × cxp 5686  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983   sSet csts 17196  ndxcnx 17226  Basecbs 17244  ._rcmulr 17298   freeLMod cfrlm 21783   maMul cmmul 22409   Mat cmat 22426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-1cn 11210  ax-addcl 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-nn 12264  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-mat 22427

This theorem is referenced by:  matbas2i  22443  matecl  22446  matplusg2  22448  matvsca2  22449  matplusgcell  22454  matsubgcell  22455  matinvgcell  22456  matvscacell  22457  matmulcell  22466  mattposcl  22474  mattposvs  22476  mattposm  22480  matgsumcl  22481  madetsumid  22482  madetsmelbas  22485  madetsmelbas2  22486  marrepval0  22582  marrepval  22583  marrepcl  22585  marepvval0  22587  marepvval  22588  marepvcl  22590  ma1repveval  22592  mulmarep1gsum1  22594  mulmarep1gsum2  22595  submabas  22599  submaval0  22601  submaval  22602  mdetleib2  22609  mdetf  22616  mdetrlin  22623  mdetrsca  22624  mdetralt  22629  mdetmul  22644  maduval  22659  maducoeval2  22661  maduf  22662  madutpos  22663  madugsum  22664  madurid  22665  madulid  22666  minmar1val0  22668  minmar1val  22669  marep01ma  22681  smadiadetlem0  22682  smadiadetlem1a  22684  smadiadetlem3  22689  smadiadetlem4  22690  smadiadet  22691  smadiadetglem2  22693  matinv  22698  matunit  22699  slesolvec  22700  slesolinv  22701  slesolinvbi  22702  slesolex  22703  cramerimplem2  22705  cramerimplem3  22706  cramerimp  22707  decpmatcl  22788  decpmataa0  22789  decpmatmul  22793  smatcl  33762  matunitlindflem2  37603  matunitlindf  37604