Theorem matrcl 22621

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4293	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22617	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7660	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17298	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2825	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 142	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286  ⟨cop 4597  ⟨cotp 4599   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949   sSet csts 17247  ndxcnx 17277  Basecbs 17293  ._rcmulr 17335   freeLMod cfrlm 21948   maMul cmmul 22599   Mat cmat 22616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-1cn 11175  ax-addcl 11177

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12251  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-mat 22617

This theorem is used by:  matbas2i  22631  matecl  22634  matplusg2  22636  matvsca2  22637  matplusgcell  22642  matsubgcell  22643  matinvgcell  22644  matvscacell  22645  matmulcell  22654  mattposcl  22662  mattposvs  22664  mattposm  22668  matgsumcl  22669  madetsumid  22670  madetsmelbas  22673  madetsmelbas2  22674  marrepval0  22770  marrepval  22771  marrepcl  22773  marepvval0  22775  marepvval  22776  marepvcl  22778  ma1repveval  22780  mulmarep1gsum1  22782  mulmarep1gsum2  22783  submabas  22787  submaval0  22789  submaval  22790  mdetleib2  22797  mdetf  22804  mdetrlin  22811  mdetrsca  22812  mdetralt  22817  mdetmul  22832  maduval  22847  maducoeval2  22849  maduf  22850  madutpos  22851  madugsum  22852  madurid  22853  madulid  22854  minmar1val0  22856  minmar1val  22857  marep01ma  22869  smadiadetlem0  22870  smadiadetlem1a  22872  smadiadetlem3  22877  smadiadetlem4  22878  smadiadet  22879  smadiadetglem2  22881  matinv  22886  matunit  22887  slesolvec  22888  slesolinv  22889  slesolinvbi  22890  slesolex  22891  cramerimplem2  22893  cramerimplem3  22894  cramerimp  22895  decpmatcl  22976  decpmataa0  22977  decpmatmul  22981  smatcl  34258  matunitlindflem2  38327  matunitlindf  38328