Theorem matrcl 22637

Description: Reverse closure for the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matrcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

Proof of Theorem matrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4286	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		matrcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		df-mat 22633	. . . . . 6 ⊢ Mat = (𝑎 ∈ Fin, 𝑏 ∈ V ↦ ((𝑏 freeLMod (𝑎 × 𝑎)) sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑏 maMul ⟨𝑎, 𝑎, 𝑎⟩)⟩))
4	3	mpondm0 7655	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 Mat 𝑅) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐴 = ∅)
6	5	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
7		matrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		base0 17309	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2820	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 142	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8955   sSet csts 17258  ndxcnx 17288  Basecbs 17304  ._rcmulr 17346   freeLMod cfrlm 21962   maMul cmmul 22615   Mat cmat 22632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-1cn 11185  ax-addcl 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-nn 12261  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-mat 22633

This theorem is used by:  matbas2i  22647  matecl  22650  matplusg2  22652  matvsca2  22653  matplusgcell  22658  matsubgcell  22659  matinvgcell  22660  matvscacell  22661  matmulcell  22670  mattposcl  22678  mattposvs  22680  mattposm  22684  matgsumcl  22685  madetsumid  22686  madetsmelbas  22689  madetsmelbas2  22690  marrepval0  22786  marrepval  22787  marrepcl  22789  marepvval0  22791  marepvval  22792  marepvcl  22794  ma1repveval  22796  mulmarep1gsum1  22798  mulmarep1gsum2  22799  submabas  22803  submaval0  22805  submaval  22806  mdetleib2  22813  mdetf  22820  mdetrlin  22827  mdetrsca  22828  mdetralt  22833  mdetmul  22848  maduval  22863  maducoeval2  22865  maduf  22866  madutpos  22867  madugsum  22868  madurid  22869  madulid  22870  minmar1val0  22872  minmar1val  22873  marep01ma  22885  smadiadetlem0  22886  smadiadetlem1a  22888  smadiadetlem3  22893  smadiadetlem4  22894  smadiadet  22895  smadiadetglem2  22897  matinv  22902  matunit  22903  matunitlindflem2  22905  matunitlindf  22906  slesolvec  22907  slesolinv  22908  slesolinvbi  22909  slesolex  22910  cramerimplem2  22912  cramerimplem3  22913  cramerimp  22914  decpmatcl  22995  decpmataa0  22996  decpmatmul  23000  smatcl  34315