Theorem subsf 28459

Description: Function statement for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subsf	⊢ −s :(No × No)⟶No

Proof of Theorem subsf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 28431	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ No → ( -s‘𝑦) ∈ No)
2		addscl 28376	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ ( -s‘𝑦) ∈ No) → (𝑥 +s ( -s‘𝑦)) ∈ No)
3	1, 2	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No) → (𝑥 +s ( -s‘𝑦)) ∈ No)
4	3	rgen2 3202	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No (𝑥 +s ( -s‘𝑦)) ∈ No
5		df-subs 28417	. . 3 ⊢ −s = (𝑥 ∈ No, 𝑦 ∈ No ↦ (𝑥 +s ( -s‘𝑦)))
6	5	fmpo 8084	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No (𝑥 +s ( -s‘𝑦)) ∈ No ↔ −s :(No × No)⟶No)
7	4, 6	mpbi 233	1 ⊢ −s :(No × No)⟶No

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   × cxp 5649  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Nocsur 28006   +_s cadds 28354   -_scnegs 28414   −_s csubs 28415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-1o 8484  df-2o 8485  df-nadd 8683  df-no 28009  df-lts 28010  df-bday 28011  df-slts 28153  df-cuts 28155  df-0s 28202  df-made 28222  df-old 28223  df-left 28225  df-right 28226  df-norec 28333  df-norec2 28344  df-adds 28355  df-negs 28416  df-subs 28417

This theorem is used by:  subsfo  28460