Theorem subsf 28310

Description: Function statement for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 17-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subsf	⊢ -s :( No × No )⟶ No

Proof of Theorem subsf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 28282	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ No → ( -us ‘𝑦) ∈ No )
2		addscl 28227	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ ( -us ‘𝑦) ∈ No ) → (𝑥 +s ( -us ‘𝑦)) ∈ No )
3	1, 2	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → (𝑥 +s ( -us ‘𝑦)) ∈ No )
4	3	rgen2 3207	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No (𝑥 +s ( -us ‘𝑦)) ∈ No
5		df-subs 28268	. . 3 ⊢ -s = (𝑥 ∈ No , 𝑦 ∈ No ↦ (𝑥 +s ( -us ‘𝑦)))
6	5	fmpo 8071	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No (𝑥 +s ( -us ‘𝑦)) ∈ No ↔ -s :( No × No )⟶ No )
7	4, 6	mpbi 233	1 ⊢ -s :( No × No )⟶ No

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   × cxp 5661  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   No csur 27857   +_s cadds 28205   -u_s cnegs 28265   -_s csubs 28266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-1o 8459  df-2o 8460  df-nadd 8658  df-no 27860  df-lts 27861  df-bday 27862  df-slts 28004  df-cuts 28006  df-0s 28053  df-made 28073  df-old 28074  df-left 28076  df-right 28077  df-norec 28184  df-norec2 28195  df-adds 28206  df-negs 28267  df-subs 28268

This theorem is used by:  subsfo  28311