Theorem negscl 28046

Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negscl	⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Proof of Theorem negscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0no 27819	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
2		negsprop 28045	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) ∈ No ∧ (𝐴 <s 0s → ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐴))))
3	1, 2	mpan2 697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘𝐴) ∈ No ∧ (𝐴 <s 0s → ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐴))))
4	3	simpld 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485   No csur 27621   <s clts 27622   0_s c0s 27815   -u_s cnegs 28029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27624  df-lts 27625  df-bday 27626  df-slts 27768  df-cuts 27770  df-0s 27817  df-made 27837  df-old 27838  df-left 27840  df-right 27841  df-norec 27948  df-negs 28031

This theorem is referenced by:  negscld  28047  negsex  28053  negnegs  28054  ltnegs  28055  lenegs  28056  negsdi  28060  negsf  28062  negsfo  28063  negbday  28067  negleft  28068  subscl  28072  subsf  28074  negsval2  28076  subadds  28080  ltsubs1  28086  ltsubs2  28087  recsex  28229  abssval  28249  absscl  28250  absnegs  28257  leabss  28258  abslts  28259  elzn0s  28408  elnnzs  28411  bdayfin  28497  renegscl  28508