Theorem negscl 27947

Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negscl	⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Proof of Theorem negscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sno 27740	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
2		negsprop 27946	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) ∈ No ∧ (𝐴 <s 0s → ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐴))))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘𝐴) ∈ No ∧ (𝐴 <s 0s → ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐴))))
4	3	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482   No csur 27549   <s cslt 27550   0_s c0s 27736   -u_s cnegs 27930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-1o 8388  df-2o 8389  df-no 27552  df-slt 27553  df-bday 27554  df-sslt 27692  df-scut 27694  df-0s 27738  df-made 27757  df-old 27758  df-left 27760  df-right 27761  df-norec 27850  df-negs 27932

This theorem is referenced by:  negscld  27948  negsex  27954  negnegs  27955  sltneg  27956  sleneg  27957  negsdi  27961  negsf  27963  negsfo  27964  negsbday  27968  subscl  27971  subsf  27973  negsval2  27975  subadds  27979  sltsub1  27985  sltsub2  27986  recsex  28126  abssval  28146  absscl  28147  abssneg  28154  sleabs  28155  absslt  28156  elzn0s  28291  elnnzs  28294  renegscl  28367