Theorem negscl 28126

Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negscl	⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Proof of Theorem negscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0no 27899	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
2		negsprop 28125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) ∈ No ∧ (𝐴 <s 0s → ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐴))))
3	1, 2	mpan2 701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘𝐴) ∈ No ∧ (𝐴 <s 0s → ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐴))))
4	3	simpld 498	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521   No csur 27701   <s clts 27702   0_s c0s 27895   -u_s cnegs 28109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-1o 8437  df-2o 8438  df-no 27704  df-lts 27705  df-bday 27706  df-slts 27848  df-cuts 27850  df-0s 27897  df-made 27917  df-old 27918  df-left 27920  df-right 27921  df-norec 28028  df-negs 28111

This theorem is referenced by:  negscld  28127  negsex  28133  negnegs  28134  ltnegs  28135  lenegs  28136  negsdi  28140  negsf  28142  negsfo  28143  negbday  28147  negleft  28148  subscl  28152  subsf  28154  negsval2  28156  subadds  28160  ltsubs1  28166  ltsubs2  28167  recsex  28309  abssval  28329  absscl  28330  absnegs  28337  leabss  28338  abslts  28339  elzn0s  28488  elnnzs  28491  bdayfin  28577  renegscl  28588