Theorem negscl 28479

Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negscl	⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘𝐴) ∈ No)

Proof of Theorem negscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0no 28252	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
2		negsprop 28478	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ∈ No) → (( -s‘𝐴) ∈ No ∧ (𝐴 <s 0s → ( -s‘ 0s ) <s ( -s‘𝐴))))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -s‘𝐴) ∈ No ∧ (𝐴 <s 0s → ( -s‘ 0s ) <s ( -s‘𝐴))))
4	3	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘𝐴) ∈ No)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  Nocsur 28054   <s clts 28055   0_s c0s 28248   -_scnegs 28462

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-1o 8514  df-2o 8515  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-0s 28250  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274  df-norec 28381  df-negs 28464

This theorem is used by:  negscld  28480  negsex  28486  negnegs  28487  ltnegs  28488  lenegs  28489  negsdi  28493  negsf  28495  negsfo  28496  negbday  28500  negleft  28501  subscl  28505  subsf  28507  negsval2  28509  subadds  28513  ltsubs1  28519  ltsubs2  28520  recsex  28662  abssval  28682  absscl  28683  absnegs  28690  leabss  28691  abslts  28692  elzn0s  28841  elnnzs  28844  bdayfin  28930  renegscl  28941