Theorem negscl 28431

Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negscl	⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘𝐴) ∈ No)

Proof of Theorem negscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0no 28204	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
2		negsprop 28430	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 0s ∈ No) → (( -s‘𝐴) ∈ No ∧ (𝐴 <s 0s → ( -s‘ 0s ) <s ( -s‘𝐴))))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -s‘𝐴) ∈ No ∧ (𝐴 <s 0s → ( -s‘ 0s ) <s ( -s‘𝐴))))
4	3	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘𝐴) ∈ No)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  Nocsur 28006   <s clts 28007   0_s c0s 28200   -_scnegs 28414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-1o 8484  df-2o 8485  df-no 28009  df-lts 28010  df-bday 28011  df-slts 28153  df-cuts 28155  df-0s 28202  df-made 28222  df-old 28223  df-left 28225  df-right 28226  df-norec 28333  df-negs 28416

This theorem is used by:  negscld  28432  negsex  28438  negnegs  28439  ltnegs  28440  lenegs  28441  negsdi  28445  negsf  28447  negsfo  28448  negbday  28452  negleft  28453  subscl  28457  subsf  28459  negsval2  28461  subadds  28465  ltsubs1  28471  ltsubs2  28472  recsex  28614  abssval  28634  absscl  28635  absnegs  28642  leabss  28643  abslts  28644  elzn0s  28793  elnnzs  28796  bdayfin  28882  renegscl  28893