Theorem tendocan 41626

Description: Cancellation law: if the values of two trace-preserving endormorphisms are equal, so are the endormorphisms. Lemma J of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendocan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendocan.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendocan.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendocan.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendocan	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 = 𝑉)

Proof of Theorem tendocan

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1215	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1r 1216	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		simp21 1224	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐸)
4		simp22 1225	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉 ∈ 𝐸)
5		simp11 1221	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		simp12 1222	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)))
7		simp13l 1306	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
8		simp13r 1307	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
9		simp2 1154	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ℎ ∈ 𝑇)
10	7, 8, 9	3jca 1145	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇))
11		simp3 1155	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵))
12		tendocan.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		tendocan.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14		tendocan.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16		tendocan.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
17	12, 13, 14, 15, 16	cdlemj3 41625	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
18	5, 6, 10, 11, 17	syl31anc 1399	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))
19	18	3exp 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (ℎ ∈ 𝑇 → (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))))
20	19	ralrimiv 3155	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∀ℎ ∈ 𝑇 (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ)))
21	12, 13, 14, 16	tendoeq2 41576	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ ∀ℎ ∈ 𝑇 (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))) → 𝑈 = 𝑉)
22	1, 2, 3, 4, 20, 21	syl221anc 1407	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 = 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   I cid 5554   ↾ cres 5662  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  HLchlt 40152  LHypclh 40786  LTrncltrn 40903  trLctrl 40960  TEndoctendo 41554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-riotaBAD 39755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-undef 8267  df-map 8824  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-p0 18485  df-p1 18486  df-lat 18494  df-clat 18561  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300  df-lplanes 40301  df-lvols 40302  df-lines 40303  df-psubsp 40305  df-pmap 40306  df-padd 40598  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907  df-trl 40961  df-tendo 41557

This theorem is used by:  tendoid0  41627  tendo0mul  41628  tendo0mulr  41629  cdleml3N  41780  cdleml8  41785