Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendocan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendocan 40806
Description: Cancellation law: if the values of two trace-preserving endormorphisms are equal, so are the endormorphisms. Lemma J of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendocan.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendocan.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendocan.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendocan.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendocan (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 = 𝑉)

Proof of Theorem tendocan
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1196 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1197 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑊𝐻)
3 simp21 1205 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝐸)
4 simp22 1206 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉𝐸)
5 simp11 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 simp12 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)))
7 simp13l 1287 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
8 simp13r 1288 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
9 simp2 1136 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑇)
107, 8, 93jca 1127 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇))
11 simp3 1137 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ≠ ( I ↾ 𝐵))
12 tendocan.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 tendocan.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 tendocan.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15 eqid 2734 . . . . . 6 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16 tendocan.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
1712, 13, 14, 15, 16cdlemj3 40805 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈) = (𝑉))
185, 6, 10, 11, 17syl31anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈) = (𝑉))
19183exp 1118 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑇 → ( ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈) = (𝑉))))
2019ralrimiv 3142 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∀𝑇 ( ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈) = (𝑉)))
2112, 13, 14, 16tendoeq2 40756 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ ∀𝑇 ( ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈) = (𝑉))) → 𝑈 = 𝑉)
221, 2, 3, 4, 20, 21syl221anc 1380 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058   I cid 5581  cres 5690  cfv 6562  Basecbs 17244  HLchlt 39331  LHypclh 39966  LTrncltrn 40083  trLctrl 40140  TEndoctendo 40734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-riotaBAD 38934
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-undef 8296  df-map 8866  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-llines 39480  df-lplanes 39481  df-lvols 39482  df-lines 39483  df-psubsp 39485  df-pmap 39486  df-padd 39778  df-lhyp 39970  df-laut 39971  df-ldil 40086  df-ltrn 40087  df-trl 40141  df-tendo 40737
This theorem is referenced by:  tendoid0  40807  tendo0mul  40808  tendo0mulr  40809  cdleml3N  40960  cdleml8  40965
  Copyright terms: Public domain W3C validator