Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendocan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendocan 39277
Description: Cancellation law: if the values of two trace-preserving endormorphisms are equal, so are the endormorphisms. Lemma J of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendocan.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendocan.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendocan.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendocan.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendocan (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 = 𝑉)

Proof of Theorem tendocan
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1197 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1198 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑊𝐻)
3 simp21 1206 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝐸)
4 simp22 1207 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉𝐸)
5 simp11 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 simp12 1204 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)))
7 simp13l 1288 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
8 simp13r 1289 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
9 simp2 1137 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑇)
107, 8, 93jca 1128 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇))
11 simp3 1138 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ≠ ( I ↾ 𝐵))
12 tendocan.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 tendocan.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 tendocan.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15 eqid 2736 . . . . . 6 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16 tendocan.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
1712, 13, 14, 15, 16cdlemj3 39276 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈) = (𝑉))
185, 6, 10, 11, 17syl31anc 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈) = (𝑉))
19183exp 1119 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑇 → ( ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈) = (𝑉))))
2019ralrimiv 3142 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∀𝑇 ( ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈) = (𝑉)))
2112, 13, 14, 16tendoeq2 39227 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ ∀𝑇 ( ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈) = (𝑉))) → 𝑈 = 𝑉)
221, 2, 3, 4, 20, 21syl221anc 1381 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064   I cid 5530  cres 5635  cfv 6496  Basecbs 17082  HLchlt 37802  LHypclh 38437  LTrncltrn 38554  trLctrl 38611  TEndoctendo 39205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-riotaBAD 37405
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-undef 8203  df-map 8766  df-proset 18183  df-poset 18201  df-plt 18218  df-lub 18234  df-glb 18235  df-join 18236  df-meet 18237  df-p0 18313  df-p1 18314  df-lat 18320  df-clat 18387  df-oposet 37628  df-ol 37630  df-oml 37631  df-covers 37718  df-ats 37719  df-atl 37750  df-cvlat 37774  df-hlat 37803  df-llines 37951  df-lplanes 37952  df-lvols 37953  df-lines 37954  df-psubsp 37956  df-pmap 37957  df-padd 38249  df-lhyp 38441  df-laut 38442  df-ldil 38557  df-ltrn 38558  df-trl 38612  df-tendo 39208
This theorem is referenced by:  tendoid0  39278  tendo0mul  39279  tendo0mulr  39280  cdleml3N  39431  cdleml8  39436
  Copyright terms: Public domain W3C validator