Theorem tmachlem-tpbase 47752

Description: The base set of product topology of tapes is the set of tapes. (Contributed by Ender Ting, 28-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmach.finalph	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
tmach.exindex	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
tmach.tapelist	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑈 ↑m 𝐼))
tmach.scanmap	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝑇⟶(𝒫 𝐼 ∩ Fin))
tmach.agreemap	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑧 ∈ 𝑇 ↦ {𝑦 ∈ 𝑇 ∣ (𝑦 ↾ (𝑆‘𝑧)) = (𝑧 ↾ (𝑆‘𝑧))}))
tmach.agreement	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ (𝐴‘𝑧)(𝑆‘𝑦) = (𝑆‘𝑧))

Assertion

Ref	Expression
tmachlem-tpbase	⊢ (𝜑 → ∪ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑖,𝑦,𝑧   𝑖,𝐼,𝑦,𝑧   𝜑,𝑖,𝑦,𝑧   𝑆,𝑖,𝑦,𝑧   𝐴,𝑖,𝑦,𝑧   𝑇,𝑖,𝑦,𝑧

Proof of Theorem tmachlem-tpbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmach.exindex	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
2		tmach.finalph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
3		distop 23219	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
5	4	ralrimivw 3160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝒫 𝑈 ∈ Top)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)) = (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈))
7	6	ptunimpt 23820	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝒫 𝑈 ∈ Top) → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = ∪ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)))
8	1, 5, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = ∪ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)))
9		unipw 5429	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝒫 𝑈 = 𝑈
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝒫 𝑈 = 𝑈)
11	10	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝒫 𝑈 ↑m 𝐼) = (𝑈 ↑m 𝐼))
12	10, 2	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝒫 𝑈 ∈ Fin)
13		ixpconstg 8916	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ ∪ 𝒫 𝑈 ∈ Fin) → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = (∪ 𝒫 𝑈 ↑m 𝐼))
14	1, 12, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = (∪ 𝒫 𝑈 ↑m 𝐼))
15		tmach.tapelist	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑈 ↑m 𝐼))
16	11, 14, 15	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = 𝑇)
17	8, 16	eqtr3d 2799	1 ⊢ (𝜑 → ∪ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)) = 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414  Vcvv 3453   ∩ cin 3901  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5190   ↾ cres 5661  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  Xcixp 8907  Fincfn 8955  ∏_tcpt 17525  Topctop 23117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1o 8458  df-2o 8459  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-fin 8959  df-fi 9384  df-topgen 17530  df-pt 17531  df-top 23118  df-bases 23170

This theorem is used by:  tmachlem-extpcover  47758  tmachlem-exagreecover  47759