Theorem tmachlem-tpbase 47832

Description: The base set of product topology of tapes is the set of tapes. (Contributed by Ender Ting, 28-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmach.finalph	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
tmach.exindex	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
tmach.tapelist	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑈 ↑m 𝐼))
tmach.scanmap	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝑇⟶(𝒫 𝐼 ∩ Fin))
tmach.agreemap	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑧 ∈ 𝑇 ↦ {𝑦 ∈ 𝑇 ∣ (𝑦 ↾ (𝑆‘𝑧)) = (𝑧 ↾ (𝑆‘𝑧))}))
tmach.agreement	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ (𝐴‘𝑧)(𝑆‘𝑦) = (𝑆‘𝑧))

Assertion

Ref	Expression
tmachlem-tpbase	⊢ (𝜑 → ∪ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑖,𝑦,𝑧   𝑖,𝐼,𝑦,𝑧   𝜑,𝑖,𝑦,𝑧   𝑆,𝑖,𝑦,𝑧   𝐴,𝑖,𝑦,𝑧   𝑇,𝑖,𝑦,𝑧

Proof of Theorem tmachlem-tpbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmach.exindex	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
2		tmach.finalph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
3		distop 23252	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
5	4	ralrimivw 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝒫 𝑈 ∈ Top)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)) = (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈))
7	6	ptunimpt 23853	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝒫 𝑈 ∈ Top) → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = ∪ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)))
8	1, 5, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = ∪ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)))
9		unipw 5425	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝒫 𝑈 = 𝑈
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝒫 𝑈 = 𝑈)
11	10	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝒫 𝑈 ↑m 𝐼) = (𝑈 ↑m 𝐼))
12	10, 2	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝒫 𝑈 ∈ Fin)
13		ixpconstg 8920	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ ∪ 𝒫 𝑈 ∈ Fin) → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = (∪ 𝒫 𝑈 ↑m 𝐼))
14	1, 12, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = (∪ 𝒫 𝑈 ↑m 𝐼))
15		tmach.tapelist	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑈 ↑m 𝐼))
16	11, 14, 15	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = 𝑇)
17	8, 16	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → ∪ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)) = 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 3898  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8833  Xcixp 8911  Fincfn 8959  ∏_tcpt 17548  Topctop 23150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1o 8462  df-2o 8463  df-map 8835  df-ixp 8912  df-en 8960  df-fin 8963  df-fi 9388  df-topgen 17553  df-pt 17554  df-top 23151  df-bases 23203

This theorem is used by:  tmachlem-extpcover  47838  tmachlem-exagreecover  47839