Theorem tmachlem-tpbase 48152

Description: The base set of product topology of tapes is the set of tapes. (Contributed by Ender Ting, 28-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmach.finalph	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
tmach.exindex	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
tmach.tapelist	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑈 ↑m 𝐼))
tmach.scanmap	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝑇⟶(𝒫 𝐼 ∩ Fin))
tmach.agreemap	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑧 ∈ 𝑇 ↦ {𝑦 ∈ 𝑇 ∣ (𝑦 ↾ (𝑆‘𝑧)) = (𝑧 ↾ (𝑆‘𝑧))}))
tmach.agreement	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑦 ∈ (𝐴‘𝑧)(𝑆‘𝑦) = (𝑆‘𝑧))

Assertion

Ref	Expression
tmachlem-tpbase	⊢ (𝜑 → ∪ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)) = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑖,𝑦,𝑧   𝑖,𝐼,𝑦,𝑧   𝜑,𝑖,𝑦,𝑧   𝑆,𝑖,𝑦,𝑧   𝐴,𝑖,𝑦,𝑧   𝑇,𝑖,𝑦,𝑧

Proof of Theorem tmachlem-tpbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmach.exindex	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
2		tmach.finalph	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
3		distop 23340	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑈 ∈ Top)
5	4	ralrimivw 3162	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝒫 𝑈 ∈ Top)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)) = (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈))
7	6	ptunimpt 23941	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 𝒫 𝑈 ∈ Top) → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = ∪ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)))
8	1, 5, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = ∪ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)))
9		unipw 5422	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝒫 𝑈 = 𝑈
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝒫 𝑈 = 𝑈)
11	10	oveq1d 7455	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝒫 𝑈 ↑m 𝐼) = (𝑈 ↑m 𝐼))
12	10, 2	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝒫 𝑈 ∈ Fin)
13		ixpconstg 8959	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ ∪ 𝒫 𝑈 ∈ Fin) → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = (∪ 𝒫 𝑈 ↑m 𝐼))
14	1, 12, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = (∪ 𝒫 𝑈 ↑m 𝐼))
15		tmach.tapelist	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑈 ↑m 𝐼))
16	11, 14, 15	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝐼 ∪ 𝒫 𝑈 = 𝑇)
17	8, 16	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝜑 → ∪ (∏t‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 𝒫 𝑈)) = 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5189   ↾ cres 5657  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  Xcixp 8950  Fincfn 8998  ∏_tcpt 17635  Topctop 23238

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1o 8501  df-2o 8502  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-fin 9002  df-fi 9427  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-top 23239  df-bases 23291

This theorem is used by:  tmachlem-extpcover  48158  tmachlem-exagreecover  48159