MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptunimpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptunimpt 21891
Description: Base set of a product topology given by substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐴𝐾))
Assertion
Ref Expression
ptunimpt ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥𝐴 𝐾 = 𝐽)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ptunimpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴𝐾) = (𝑥𝐴𝐾)
21fvmpt2 6652 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐾 ∈ Top) → ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥) = 𝐾)
32eqcomd 2803 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐾 ∈ Top) → 𝐾 = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
43unieqd 4761 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐾 ∈ Top) → 𝐾 = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
54ralimiaa 3128 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top → ∀𝑥𝐴 𝐾 = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
65adantl 482 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → ∀𝑥𝐴 𝐾 = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
7 ixpeq2 8331 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐾 = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥) → X𝑥𝐴 𝐾 = X𝑥𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥𝐴 𝐾 = X𝑥𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
9 nffvmpt1 6556 . . . . 5 𝑥((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦)
109nfuni 4757 . . . 4 𝑥 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦)
11 nfcv 2951 . . . 4 𝑦 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥)
12 fveq2 6545 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦) = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
1312unieqd 4761 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦) = ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥))
1410, 11, 13cbvixp 8334 . . 3 X𝑦𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦) = X𝑥𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑥)
158, 14syl6eqr 2851 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥𝐴 𝐾 = X𝑦𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦))
161fmpt 6744 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (𝑥𝐴𝐾):𝐴⟶Top)
17 ptunimpt.j . . . 4 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐴𝐾))
1817ptuni 21890 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥𝐴𝐾):𝐴⟶Top) → X𝑦𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦) = 𝐽)
1916, 18sylan2b 593 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑦𝐴 ((𝑥𝐴𝐾)‘𝑦) = 𝐽)
2015, 19eqtrd 2833 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥𝐴 𝐾 = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107   cuni 4751  cmpt 5047  wf 6228  cfv 6232  Xcixp 8317  tcpt 16545  Topctop 21189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-ixp 8318  df-en 8365  df-fin 8368  df-fi 8728  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-top 21190  df-bases 21242
This theorem is referenced by:  pttopon  21892  kelac1  39169
  Copyright terms: Public domain W3C validator