Theorem ptunimpt 23515

Description: Base set of a product topology given by substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptunimpt.j	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
ptunimpt	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ 𝐽)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ptunimpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)
2	1	fvmpt2 6961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥) = 𝐾)
3	2	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) → 𝐾 = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
4	3	unieqd 4880	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) → ∪ 𝐾 = ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
5	4	ralimiaa 3065	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
7		ixpeq2 8861	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
9		nffvmpt1 6851	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦)
10	9	nfuni 4874	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦)
11		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥)
12		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
13	12	unieqd 4880	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦) = ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
14	10, 11, 13	cbvixp 8864	. . 3 ⊢ X𝑦 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦) = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥)
15	8, 14	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = X𝑦 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦))
16	1	fmpt 7064	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top)
17		ptunimpt.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
18	17	ptuni 23514	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top) → X𝑦 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦) = ∪ 𝐽)
19	16, 18	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑦 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦) = ∪ 𝐽)
20	15, 19	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  Xcixp 8847  ∏_tcpt 17377  Topctop 22813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-om 7823  df-1o 8411  df-2o 8412  df-ixp 8848  df-en 8896  df-fin 8899  df-fi 9338  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-top 22814  df-bases 22866

This theorem is referenced by:  pttopon  23516  kelac1  43045