Theorem ptunimpt 23533

Description: Base set of a product topology given by substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptunimpt.j	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
ptunimpt	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ 𝐽)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ptunimpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)
2	1	fvmpt2 6997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥) = 𝐾)
3	2	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) → 𝐾 = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
4	3	unieqd 4896	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) → ∪ 𝐾 = ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
5	4	ralimiaa 3072	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
7		ixpeq2 8925	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
9		nffvmpt1 6887	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦)
10	9	nfuni 4890	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦)
11		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥)
12		fveq2 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
13	12	unieqd 4896	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦) = ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥))
14	10, 11, 13	cbvixp 8928	. . 3 ⊢ X𝑦 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦) = X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑥)
15	8, 14	eqtr4di 2788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = X𝑦 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦))
16	1	fmpt 7100	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top)
17		ptunimpt.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
18	17	ptuni 23532	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟶Top) → X𝑦 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦) = ∪ 𝐽)
19	16, 18	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑦 ∈ 𝐴 ∪ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)‘𝑦) = ∪ 𝐽)
20	15, 19	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) → X𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐾 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∪ cuni 4883   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  Xcixp 8911  ∏_tcpt 17452  Topctop 22831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7862  df-1o 8480  df-2o 8481  df-ixp 8912  df-en 8960  df-fin 8963  df-fi 9423  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-top 22832  df-bases 22884

This theorem is referenced by:  pttopon  23534  kelac1  43087