MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptunimpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptunimpt 23090
Description: Base set of a product topology given by substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
Assertion
Ref Expression
ptunimpt ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem ptunimpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)
21fvmpt2 7006 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯) = 𝐾)
32eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ 𝐾 = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
43unieqd 4921 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ βˆͺ 𝐾 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
54ralimiaa 3082 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
65adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
7 ixpeq2 8901 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
9 nffvmpt1 6899 . . . . 5 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦)
109nfuni 4914 . . . 4 β„²π‘₯βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦)
11 nfcv 2903 . . . 4 Ⅎ𝑦βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯)
12 fveq2 6888 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
1312unieqd 4921 . . . 4 (𝑦 = π‘₯ β†’ βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
1410, 11, 13cbvixp 8904 . . 3 X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯)
158, 14eqtr4di 2790 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦))
161fmpt 7106 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top)
17 ptunimpt.j . . . 4 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
1817ptuni 23089 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = βˆͺ 𝐽)
1916, 18sylan2b 594 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = βˆͺ 𝐽)
2015, 19eqtrd 2772 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  Xcixp 8887  βˆtcpt 17380  Topctop 22386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-er 8699  df-ixp 8888  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-top 22387  df-bases 22440
This theorem is referenced by:  pttopon  23091  kelac1  41790
  Copyright terms: Public domain W3C validator