MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptunimpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptunimpt 23527
Description: Base set of a product topology given by substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
Assertion
Ref Expression
ptunimpt ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem ptunimpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)
21fvmpt2 7021 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯) = 𝐾)
32eqcomd 2734 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ 𝐾 = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
43unieqd 4925 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ βˆͺ 𝐾 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
54ralimiaa 3079 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
65adantl 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
7 ixpeq2 8938 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
9 nffvmpt1 6913 . . . . 5 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦)
109nfuni 4919 . . . 4 β„²π‘₯βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦)
11 nfcv 2899 . . . 4 Ⅎ𝑦βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯)
12 fveq2 6902 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
1312unieqd 4925 . . . 4 (𝑦 = π‘₯ β†’ βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
1410, 11, 13cbvixp 8941 . . 3 X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯)
158, 14eqtr4di 2786 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦))
161fmpt 7125 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top)
17 ptunimpt.j . . . 4 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
1817ptuni 23526 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = βˆͺ 𝐽)
1916, 18sylan2b 592 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = βˆͺ 𝐽)
2015, 19eqtrd 2768 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆͺ cuni 4912   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  Xcixp 8924  βˆtcpt 17429  Topctop 22823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7879  df-1o 8495  df-er 8733  df-ixp 8925  df-en 8973  df-fin 8976  df-fi 9444  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-top 22824  df-bases 22877
This theorem is referenced by:  pttopon  23528  kelac1  42536
  Copyright terms: Public domain W3C validator