MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptunimpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptunimpt 23454
Description: Base set of a product topology given by substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptunimpt.j 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
Assertion
Ref Expression
ptunimpt ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem ptunimpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)
21fvmpt2 7003 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯) = 𝐾)
32eqcomd 2732 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ 𝐾 = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
43unieqd 4915 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ βˆͺ 𝐾 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
54ralimiaa 3076 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
65adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
7 ixpeq2 8907 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
9 nffvmpt1 6896 . . . . 5 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦)
109nfuni 4909 . . . 4 β„²π‘₯βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦)
11 nfcv 2897 . . . 4 Ⅎ𝑦βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯)
12 fveq2 6885 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
1312unieqd 4915 . . . 4 (𝑦 = π‘₯ β†’ βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯))
1410, 11, 13cbvixp 8910 . . 3 X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘₯)
158, 14eqtr4di 2784 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦))
161fmpt 7105 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top)
17 ptunimpt.j . . . 4 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾))
1817ptuni 23453 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾):𝐴⟢Top) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = βˆͺ 𝐽)
1916, 18sylan2b 593 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ X𝑦 ∈ 𝐴 βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐾)β€˜π‘¦) = βˆͺ 𝐽)
2015, 19eqtrd 2766 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐾 ∈ Top) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆͺ cuni 4902   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  Xcixp 8893  βˆtcpt 17393  Topctop 22750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-er 8705  df-ixp 8894  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-top 22751  df-bases 22804
This theorem is referenced by:  pttopon  23455  kelac1  42380
  Copyright terms: Public domain W3C validator