Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcocnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcocnv 39894
Description: Swap the arguments of the trace of a composition with converse. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcocnv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcocnv.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcocnv.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcocnv (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐺𝐹)))

Proof of Theorem trlcocnv
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 trlcocnv.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 trlcocnv.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
42, 3ltrncnv 39320 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
543adant2 1129 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
62, 3ltrnco 39893 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
75, 6syld3an3 1407 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
8 trlcocnv.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
92, 3, 8trlcnv 39339 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐹𝐺)))
101, 7, 9syl2anc 582 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐹𝐺)))
11 cnvco 5884 . . . 4 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
12 cocnvcnv1 6255 . . . 4 (𝐺𝐹) = (𝐺𝐹)
1311, 12eqtri 2758 . . 3 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
1413fveq2i 6893 . 2 (𝑅(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐺𝐹))
1510, 14eqtr3di 2785 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐺𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  ccnv 5674  ccom 5679  cfv 6542  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333
This theorem is referenced by:  cdlemk9bN  40014  cdlemk14  40028  cdlemk21N  40047  cdlemk20  40048  cdlemk22  40067  cdlemkfid1N  40095
  Copyright terms: Public domain W3C validator