Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcocnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcocnv 41157
Description: Swap the arguments of the trace of a composition with converse. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcocnv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcocnv.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcocnv.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcocnv (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐺𝐹)))

Proof of Theorem trlcocnv
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 trlcocnv.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 trlcocnv.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
42, 3ltrncnv 40583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
543adant2 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐺𝑇)
62, 3ltrnco 41156 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
75, 6syld3an3 1412 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
8 trlcocnv.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
92, 3, 8trlcnv 40602 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐹𝐺)))
101, 7, 9syl2anc 585 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐹𝐺)))
11 cnvco 5832 . . . 4 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
12 cocnvcnv1 6214 . . . 4 (𝐺𝐹) = (𝐺𝐹)
1311, 12eqtri 2760 . . 3 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
1413fveq2i 6835 . 2 (𝑅(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐺𝐹))
1510, 14eqtr3di 2787 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅‘(𝐺𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1542  wcel 2114  ccnv 5621  ccom 5626  cfv 6490  HLchlt 39787  LHypclh 40421  LTrncltrn 40538  trLctrl 40595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-riotaBAD 39390
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-undef 8214  df-map 8766  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-p1 18348  df-lat 18356  df-clat 18423  df-oposet 39613  df-ol 39615  df-oml 39616  df-covers 39703  df-ats 39704  df-atl 39735  df-cvlat 39759  df-hlat 39788  df-llines 39935  df-lplanes 39936  df-lvols 39937  df-lines 39938  df-psubsp 39940  df-pmap 39941  df-padd 40233  df-lhyp 40425  df-laut 40426  df-ldil 40541  df-ltrn 40542  df-trl 40596
This theorem is referenced by:  cdlemk9bN  41277  cdlemk14  41291  cdlemk21N  41310  cdlemk20  41311  cdlemk22  41330  cdlemkfid1N  41358
  Copyright terms: Public domain W3C validator