Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk48 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk48 38972
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 4, p. 120. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. (Contributed by NM, 22-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk48 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk48
StepHypRef Expression
1 simp11l 1283 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37386 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp11 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp12 1203 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
5 simp13 1204 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
6 simp21 1205 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑁𝑇)
7 simp22 1206 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8 simp23 1207 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
9 cdlemk5.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 cdlemk5.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
11 cdlemk5.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
12 cdlemk5.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
13 cdlemk5.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 cdlemk5.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 cdlemk5.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 cdlemk5.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17 cdlemk5.z . . . . . . . 8 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
18 cdlemk5.y . . . . . . . 8 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
19 cdlemk5.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
209, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk35s 38959 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
213, 4, 5, 6, 7, 8, 20syl132anc 1387 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
22 simp3 1137 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
239, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk35s 38959 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
243, 4, 22, 6, 7, 8, 23syl132anc 1387 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
2514, 15ltrnco 38741 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇𝐼 / 𝑔𝑋𝑇) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝑇)
263, 21, 24, 25syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝑇)
27 simp22l 1291 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑃𝐴)
2810, 13, 14, 15ltrnat 38162 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) ∈ 𝑇𝑃𝐴) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
293, 26, 27, 28syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
309, 13atbase 37311 . . . 4 (((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)
3129, 30syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)
329, 14, 15, 16trlcl 38186 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
333, 21, 32syl2anc 584 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵)
349, 10, 11latlej1 18176 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)))
352, 31, 33, 34syl3anc 1370 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) (((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)))
3610, 11, 13, 14, 15, 16trlcoabs 38743 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑇𝐼 / 𝑔𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) = ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)))
373, 21, 24, 7, 36syl121anc 1374 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)) = ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)))
3835, 37breqtrd 5099 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋)‘𝑃) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺 / 𝑔𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  csb 3831   class class class wbr 5073   I cid 5483  ccnv 5583  cres 5586  ccom 5588  cfv 6426  crio 7223  (class class class)co 7267  Basecbs 16922  lecple 16979  joincjn 18039  meetcmee 18040  Latclat 18159  Atomscatm 37285  HLchlt 37372  LHypclh 38006  LTrncltrn 38123  trLctrl 38180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-riotaBAD 36975
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-undef 8076  df-map 8604  df-proset 18023  df-poset 18041  df-plt 18058  df-lub 18074  df-glb 18075  df-join 18076  df-meet 18077  df-p0 18153  df-p1 18154  df-lat 18160  df-clat 18227  df-oposet 37198  df-ol 37200  df-oml 37201  df-covers 37288  df-ats 37289  df-atl 37320  df-cvlat 37344  df-hlat 37373  df-llines 37520  df-lplanes 37521  df-lvols 37522  df-lines 37523  df-psubsp 37525  df-pmap 37526  df-padd 37818  df-lhyp 38010  df-laut 38011  df-ldil 38126  df-ltrn 38127  df-trl 38181
This theorem is referenced by:  cdlemk49  38973  cdlemk50  38974
  Copyright terms: Public domain W3C validator