Theorem tskr1om2 10837

Description: A nonempty Tarski class contains the whole finite cumulative hierarchy. (This proof does not use ax-inf 9707.) (Contributed by NM, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tskr1om2	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskr1om2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 4935	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦 ∈ 𝑥)
2		r1fnon 9836	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1 Fn On
3		fnfun 6679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅1 Fn On → Fun 𝑅1)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Fun 𝑅1
5		fvelima 6987	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥)
6	4, 5	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥)
7		r1tr 9845	. . . . . . . . 9 ⊢ Tr (𝑅1‘𝑦)
8		treq 5291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → (Tr (𝑅1‘𝑦) ↔ Tr 𝑥))
9	7, 8	mpbii 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
10	9	rexlimivw 3157	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
11		trss 5294	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
12	6, 10, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
14		tskr1om 10836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
15	14	sseld 4007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → 𝑥 ∈ 𝑇))
16		tskss 10827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑇)
17	16	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
19	15, 18	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
20	19	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
21	13, 20	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
22	21	rexlimdva 3161	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
23	1, 22	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → 𝑦 ∈ 𝑇))
24	23	ssrdv 4014	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∪ cuni 4931  Tr wtr 5283   “ cima 5703  Oncon0 6395  Fun wfun 6567   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  ωcom 7903  𝑅₁cr1 9831  Tarskictsk 10817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-r1 9833  df-tsk 10818

This theorem is referenced by: (None)