Theorem tskr1om2 10455

Description: A nonempty Tarski class contains the whole finite cumulative hierarchy. (This proof does not use ax-inf 9326.) (Contributed by NM, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tskr1om2	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskr1om2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 4840	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦 ∈ 𝑥)
2		r1fnon 9456	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1 Fn On
3		fnfun 6517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅1 Fn On → Fun 𝑅1)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Fun 𝑅1
5		fvelima 6817	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥)
6	4, 5	mpan 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥)
7		r1tr 9465	. . . . . . . . 9 ⊢ Tr (𝑅1‘𝑦)
8		treq 5193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → (Tr (𝑅1‘𝑦) ↔ Tr 𝑥))
9	7, 8	mpbii 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
10	9	rexlimivw 3210	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
11		trss 5196	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
12	6, 10, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
14		tskr1om 10454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
15	14	sseld 3916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → 𝑥 ∈ 𝑇))
16		tskss 10445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑇)
17	16	3exp 1117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
19	15, 18	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
20	19	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
21	13, 20	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
22	21	rexlimdva 3212	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
23	1, 22	syl5bi 241	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → 𝑦 ∈ 𝑇))
24	23	ssrdv 3923	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ∪ cuni 4836  Tr wtr 5187   “ cima 5583  Oncon0 6251  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  ωcom 7687  𝑅₁cr1 9451  Tarskictsk 10435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-r1 9453  df-tsk 10436

This theorem is referenced by: (None)