MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskr1om2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskr1om2 10705
Description: A nonempty Tarski class contains the whole finite cumulative hierarchy. (This proof does not use ax-inf 9575.) (Contributed by NM, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskr1om2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskr1om2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 4870 . . 3 (𝑦 (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦𝑥)
2 r1fnon 9704 . . . . . . . . 9 𝑅1 Fn On
3 fnfun 6603 . . . . . . . . 9 (𝑅1 Fn On → Fun 𝑅1)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun 𝑅1
5 fvelima 6909 . . . . . . . 8 ((Fun 𝑅1𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1𝑦) = 𝑥)
64, 5mpan 689 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1𝑦) = 𝑥)
7 r1tr 9713 . . . . . . . . 9 Tr (𝑅1𝑦)
8 treq 5231 . . . . . . . . 9 ((𝑅1𝑦) = 𝑥 → (Tr (𝑅1𝑦) ↔ Tr 𝑥))
97, 8mpbii 232 . . . . . . . 8 ((𝑅1𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
109rexlimivw 3149 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ω (𝑅1𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
11 trss 5234 . . . . . . 7 (Tr 𝑥 → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
126, 10, 113syl 18 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
1312adantl 483 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
14 tskr1om 10704 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
1514sseld 3944 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → 𝑥𝑇))
16 tskss 10695 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑥) → 𝑦𝑇)
17163exp 1120 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑥𝑦𝑇)))
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑥𝑦𝑇)))
1915, 18syld 47 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦𝑥𝑦𝑇)))
2019imp 408 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦𝑥𝑦𝑇))
2113, 20syld 47 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦𝑥𝑦𝑇))
2221rexlimdva 3153 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦𝑥𝑦𝑇))
231, 22biimtrid 241 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑦 (𝑅1 “ ω) → 𝑦𝑇))
2423ssrdv 3951 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wrex 3074  wss 3911  c0 4283   cuni 4866  Tr wtr 5223  cima 5637  Oncon0 6318  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  cfv 6497  ωcom 7803  𝑅1cr1 9699  Tarskictsk 10685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-r1 9701  df-tsk 10686
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator