MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskr1om2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskr1om2 10760
Description: A nonempty Tarski class contains the whole finite cumulative hierarchy. (This proof does not use ax-inf 9630.) (Contributed by NM, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskr1om2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskr1om2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 4912 . . 3 (𝑦 (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦𝑥)
2 r1fnon 9759 . . . . . . . . 9 𝑅1 Fn On
3 fnfun 6647 . . . . . . . . 9 (𝑅1 Fn On → Fun 𝑅1)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun 𝑅1
5 fvelima 6955 . . . . . . . 8 ((Fun 𝑅1𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1𝑦) = 𝑥)
64, 5mpan 689 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1𝑦) = 𝑥)
7 r1tr 9768 . . . . . . . . 9 Tr (𝑅1𝑦)
8 treq 5273 . . . . . . . . 9 ((𝑅1𝑦) = 𝑥 → (Tr (𝑅1𝑦) ↔ Tr 𝑥))
97, 8mpbii 232 . . . . . . . 8 ((𝑅1𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
109rexlimivw 3152 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ω (𝑅1𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
11 trss 5276 . . . . . . 7 (Tr 𝑥 → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
126, 10, 113syl 18 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
1312adantl 483 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
14 tskr1om 10759 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
1514sseld 3981 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → 𝑥𝑇))
16 tskss 10750 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑥) → 𝑦𝑇)
17163exp 1120 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑥𝑦𝑇)))
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑥𝑦𝑇)))
1915, 18syld 47 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦𝑥𝑦𝑇)))
2019imp 408 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦𝑥𝑦𝑇))
2113, 20syld 47 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦𝑥𝑦𝑇))
2221rexlimdva 3156 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦𝑥𝑦𝑇))
231, 22biimtrid 241 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑦 (𝑅1 “ ω) → 𝑦𝑇))
2423ssrdv 3988 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  wss 3948  c0 4322   cuni 4908  Tr wtr 5265  cima 5679  Oncon0 6362  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  cfv 6541  ωcom 7852  𝑅1cr1 9754  Tarskictsk 10740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-r1 9756  df-tsk 10741
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator