Theorem tskr1om2 10781

Description: A nonempty Tarski class contains the whole finite cumulative hierarchy. (This proof does not use ax-inf 9621.) (Contributed by NM, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tskr1om2	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskr1om2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 4874	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦 ∈ 𝑥)
2		r1fnon 9753	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1 Fn On
3		fnfun 6636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅1 Fn On → Fun 𝑅1)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Fun 𝑅1
5		fvelima 6947	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥)
6	4, 5	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥)
7		r1tr 9762	. . . . . . . . 9 ⊢ Tr (𝑅1‘𝑦)
8		treq 5223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → (Tr (𝑅1‘𝑦) ↔ Tr 𝑥))
9	7, 8	mpbii 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
10	9	rexlimivw 3161	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
11		trss 5226	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
12	6, 10, 11	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
14		tskr1om 10780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
15	14	sseld 3933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → 𝑥 ∈ 𝑇))
16		tskss 10771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑇)
17	16	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
19	15, 18	syld 48	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
20	19	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
21	13, 20	syld 48	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
22	21	rexlimdva 3165	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
23	1, 22	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → 𝑦 ∈ 𝑇))
24	23	ssrdv 3940	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ∪ cuni 4870  Tr wtr 5216   “ cima 5662  Oncon0 6361  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  ωcom 7866  𝑅₁cr1 9748  Tarskictsk 10761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-r1 9750  df-tsk 10762

This theorem is used by: (None)