Theorem tskr1om2 10793

Description: A nonempty Tarski class contains the whole finite cumulative hierarchy. (This proof does not use ax-inf 9663.) (Contributed by NM, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tskr1om2	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskr1om2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 4913	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦 ∈ 𝑥)
2		r1fnon 9792	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅1 Fn On
3		fnfun 6655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅1 Fn On → Fun 𝑅1)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ Fun 𝑅1
5		fvelima 6963	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝑅1 ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥)
6	4, 5	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥)
7		r1tr 9801	. . . . . . . . 9 ⊢ Tr (𝑅1‘𝑦)
8		treq 5274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → (Tr (𝑅1‘𝑦) ↔ Tr 𝑥))
9	7, 8	mpbii 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
10	9	rexlimivw 3140	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝑅1‘𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
11		trss 5277	. . . . . . 7 ⊢ (Tr 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
12	6, 10, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
13	12	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
14		tskr1om 10792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
15	14	sseld 3975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → 𝑥 ∈ 𝑇))
16		tskss 10783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑇)
17	16	3exp 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
18	17	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
19	15, 18	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇)))
20	19	imp 405	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ⊆ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
21	13, 20	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
22	21	rexlimdva 3144	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑇))
23	1, 22	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → 𝑦 ∈ 𝑇))
24	23	ssrdv 3982	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  ∪ cuni 4909  Tr wtr 5266   “ cima 5681  Oncon0 6371  Fun wfun 6543   Fn wfn 6544  ‘cfv 6549  ωcom 7871  𝑅₁cr1 9787  Tarskictsk 10773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-r1 9789  df-tsk 10774

This theorem is referenced by: (None)