Theorem ttrclexg 9634

Description: If 𝑅 is a set, then so is t++𝑅. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ttrclexg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)

Proof of Theorem ttrclexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 7843	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom 𝑅 ∈ V)
2		rnexg 7844	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ran 𝑅 ∈ V)
3	1, 2	xpexd 7696	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ V)
4		relttrcl 9623	. . . . 5 ⊢ Rel t++𝑅
5		relssdmrn 6227	. . . . 5 ⊢ (Rel t++𝑅 → t++𝑅 ⊆ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ t++𝑅 ⊆ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅)
7		dmttrcl 9632	. . . . 5 ⊢ dom t++𝑅 = dom 𝑅
8		rnttrcl 9633	. . . . 5 ⊢ ran t++𝑅 = ran 𝑅
9	7, 8	xpeq12i 5652	. . . 4 ⊢ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅) = (dom 𝑅 × ran 𝑅)
10	6, 9	sseqtri 3982	. . 3 ⊢ t++𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅))
12	3, 11	ssexd 5269	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   × cxp 5622  dom cdm 5624  ran crn 5625  Rel wrel 5629  t++cttrcl 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-ttrcl 9619

This theorem is referenced by:  dfttrcl2  9635