Theorem ttrclexg 9636

Description: If 𝑅 is a set, then so is t++𝑅. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ttrclexg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)

Proof of Theorem ttrclexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 7842	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom 𝑅 ∈ V)
2		rnexg 7843	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ran 𝑅 ∈ V)
3	1, 2	xpexd 7695	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ V)
4		relttrcl 9625	. . . . 5 ⊢ Rel t++𝑅
5		relssdmrn 6221	. . . . 5 ⊢ (Rel t++𝑅 → t++𝑅 ⊆ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ t++𝑅 ⊆ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅)
7		dmttrcl 9634	. . . . 5 ⊢ dom t++𝑅 = dom 𝑅
8		rnttrcl 9635	. . . . 5 ⊢ ran t++𝑅 = ran 𝑅
9	7, 8	xpeq12i 5647	. . . 4 ⊢ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅) = (dom 𝑅 × ran 𝑅)
10	6, 9	sseqtri 3963	. . 3 ⊢ t++𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅))
12	3, 11	ssexd 5253	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883   × cxp 5617  dom cdm 5619  ran crn 5620  Rel wrel 5624  t++cttrcl 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-ttrcl 9621

This theorem is referenced by:  dfttrcl2  9637