Theorem ttrclexg 9619

Description: If 𝑅 is a set, then so is t++𝑅. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ttrclexg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)

Proof of Theorem ttrclexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 7834	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom 𝑅 ∈ V)
2		rnexg 7835	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ran 𝑅 ∈ V)
3	1, 2	xpexd 7687	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ V)
4		relttrcl 9608	. . . . 5 ⊢ Rel t++𝑅
5		relssdmrn 6217	. . . . 5 ⊢ (Rel t++𝑅 → t++𝑅 ⊆ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ t++𝑅 ⊆ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅)
7		dmttrcl 9617	. . . . 5 ⊢ dom t++𝑅 = dom 𝑅
8		rnttrcl 9618	. . . . 5 ⊢ ran t++𝑅 = ran 𝑅
9	7, 8	xpeq12i 5647	. . . 4 ⊢ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅) = (dom 𝑅 × ran 𝑅)
10	6, 9	sseqtri 3984	. . 3 ⊢ t++𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅))
12	3, 11	ssexd 5263	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903   × cxp 5617  dom cdm 5619  ran crn 5620  Rel wrel 5624  t++cttrcl 9603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-ttrcl 9604

This theorem is referenced by:  dfttrcl2  9620