Theorem ttrclexg 33519

Description: If 𝑅 is a set, then so is t++𝑅. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ttrclexg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)

Proof of Theorem ttrclexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 7678	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom 𝑅 ∈ V)
2		rnexg 7679	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ran 𝑅 ∈ V)
3	1, 2	xpexd 7533	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ V)
4		relttrcl 33508	. . . . 5 ⊢ Rel t++𝑅
5		relssdmrn 6129	. . . . 5 ⊢ (Rel t++𝑅 → t++𝑅 ⊆ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ t++𝑅 ⊆ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅)
7		dmttrcl 33517	. . . . 5 ⊢ dom t++𝑅 = dom 𝑅
8		rnttrcl 33518	. . . . 5 ⊢ ran t++𝑅 = ran 𝑅
9	7, 8	xpeq12i 5576	. . . 4 ⊢ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅) = (dom 𝑅 × ran 𝑅)
10	6, 9	sseqtri 3934	. . 3 ⊢ t++𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅))
12	3, 11	ssexd 5214	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  Vcvv 3405   ⊆ wss 3863   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549  Rel wrel 5553  t++cttrcl 33503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5255  ax-pr 5319  ax-un 7520

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2940  df-ral 3063  df-rex 3064  df-reu 3065  df-rab 3067  df-v 3407  df-sbc 3692  df-csb 3809  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4235  df-if 4437  df-pw 4512  df-sn 4539  df-pr 4541  df-tp 4543  df-op 4545  df-uni 4817  df-int 4857  df-iun 4903  df-br 5051  df-opab 5113  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5452  df-eprel 5457  df-po 5465  df-so 5466  df-fr 5506  df-we 5508  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6157  df-ord 6213  df-on 6214  df-lim 6215  df-suc 6216  df-iota 6335  df-fun 6379  df-fn 6380  df-f 6381  df-f1 6382  df-fo 6383  df-f1o 6384  df-fv 6385  df-ov 7213  df-oprab 7214  df-mpo 7215  df-om 7642  df-wrecs 8044  df-recs 8105  df-rdg 8143  df-1o 8199  df-oadd 8203  df-ttrcl 33504

This theorem is referenced by:  dfttrcl2  33520