Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ttrclexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttrclexg 33519
Description: If 𝑅 is a set, then so is t++𝑅. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
ttrclexg (𝑅𝑉 → t++𝑅 ∈ V)

Proof of Theorem ttrclexg
StepHypRef Expression
1 dmexg 7678 . . 3 (𝑅𝑉 → dom 𝑅 ∈ V)
2 rnexg 7679 . . 3 (𝑅𝑉 → ran 𝑅 ∈ V)
31, 2xpexd 7533 . 2 (𝑅𝑉 → (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ V)
4 relttrcl 33508 . . . . 5 Rel t++𝑅
5 relssdmrn 6129 . . . . 5 (Rel t++𝑅 → t++𝑅 ⊆ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 t++𝑅 ⊆ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅)
7 dmttrcl 33517 . . . . 5 dom t++𝑅 = dom 𝑅
8 rnttrcl 33518 . . . . 5 ran t++𝑅 = ran 𝑅
97, 8xpeq12i 5576 . . . 4 (dom t++𝑅 × ran t++𝑅) = (dom 𝑅 × ran 𝑅)
106, 9sseqtri 3934 . . 3 t++𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅)
1110a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → t++𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅))
123, 11ssexd 5214 1 (𝑅𝑉 → t++𝑅 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  Vcvv 3405  wss 3863   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549  Rel wrel 5553  t++cttrcl 33503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5255  ax-pr 5319  ax-un 7520
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2940  df-ral 3063  df-rex 3064  df-reu 3065  df-rab 3067  df-v 3407  df-sbc 3692  df-csb 3809  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4235  df-if 4437  df-pw 4512  df-sn 4539  df-pr 4541  df-tp 4543  df-op 4545  df-uni 4817  df-int 4857  df-iun 4903  df-br 5051  df-opab 5113  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5452  df-eprel 5457  df-po 5465  df-so 5466  df-fr 5506  df-we 5508  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6157  df-ord 6213  df-on 6214  df-lim 6215  df-suc 6216  df-iota 6335  df-fun 6379  df-fn 6380  df-f 6381  df-f1 6382  df-fo 6383  df-f1o 6384  df-fv 6385  df-ov 7213  df-oprab 7214  df-mpo 7215  df-om 7642  df-wrecs 8044  df-recs 8105  df-rdg 8143  df-1o 8199  df-oadd 8203  df-ttrcl 33504
This theorem is referenced by:  dfttrcl2  33520
  Copyright terms: Public domain W3C validator