Theorem ttrclexg 9525

Description: If 𝑅 is a set, then so is t++𝑅. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ttrclexg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)

Proof of Theorem ttrclexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 7782	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom 𝑅 ∈ V)
2		rnexg 7783	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ran 𝑅 ∈ V)
3	1, 2	xpexd 7633	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (dom 𝑅 × ran 𝑅) ∈ V)
4		relttrcl 9514	. . . . 5 ⊢ Rel t++𝑅
5		relssdmrn 6186	. . . . 5 ⊢ (Rel t++𝑅 → t++𝑅 ⊆ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ t++𝑅 ⊆ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅)
7		dmttrcl 9523	. . . . 5 ⊢ dom t++𝑅 = dom 𝑅
8		rnttrcl 9524	. . . . 5 ⊢ ran t++𝑅 = ran 𝑅
9	7, 8	xpeq12i 5628	. . . 4 ⊢ (dom t++𝑅 × ran t++𝑅) = (dom 𝑅 × ran 𝑅)
10	6, 9	sseqtri 3962	. . 3 ⊢ t++𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ⊆ (dom 𝑅 × ran 𝑅))
12	3, 11	ssexd 5257	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   ⊆ wss 3892   × cxp 5598  dom cdm 5600  ran crn 5601  Rel wrel 5605  t++cttrcl 9509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-oadd 8332  df-ttrcl 9510

This theorem is referenced by:  dfttrcl2  9526