MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfttrcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfttrcl2 9668
Description: When 𝑅 is a set and a relation, then its transitive closure can be defined by an intersection. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
dfttrcl2 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
Distinct variable group:   𝑧,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem dfttrcl2
StepHypRef Expression
1 ssintab 4930 . . . 4 (t++𝑅 {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑧((𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅𝑧))
2 ttrclss 9664 . . . 4 ((𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅𝑧)
31, 2mpgbir 1802 . . 3 t++𝑅 {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)}
43a1i 11 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
5 rabab 3475 . . . 4 {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} = {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)}
65inteqi 4915 . . 3 {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} = {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)}
7 ttrclexg 9667 . . . 4 (𝑅𝑉 → t++𝑅 ∈ V)
8 ssttrcl 9659 . . . . 5 (Rel 𝑅𝑅 ⊆ t++𝑅)
9 ttrcltr 9660 . . . . 5 (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅
108, 9jctir 522 . . . 4 (Rel 𝑅 → (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
11 sseq2 3974 . . . . . 6 (𝑧 = t++𝑅 → (𝑅𝑧𝑅 ⊆ t++𝑅))
12 coeq1 5817 . . . . . . . 8 (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧𝑧) = (t++𝑅𝑧))
13 coeq2 5818 . . . . . . . 8 (𝑧 = t++𝑅 → (t++𝑅𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
1412, 13eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑧 = t++𝑅𝑧 = t++𝑅)
1614, 15sseq12d 3981 . . . . . 6 (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑧𝑧) ⊆ 𝑧 ↔ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
1711, 16anbi12d 632 . . . . 5 (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)))
1817intminss 4939 . . . 4 ((t++𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)) → {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
197, 10, 18syl2an 597 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
206, 19eqsstrrid 3997 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
214, 20eqssd 3965 1 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  {crab 3406  Vcvv 3447  wss 3914   cint 4911  ccom 5641  Rel wrel 5642  t++cttrcl 9651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-ttrcl 9652
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator