MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfttrcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfttrcl2 9718
Description: When 𝑅 is a set and a relation, then its transitive closure can be defined by an intersection. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
dfttrcl2 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
Distinct variable group:   𝑧,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem dfttrcl2
StepHypRef Expression
1 ssintab 4962 . . . 4 (t++𝑅 {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑧((𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅𝑧))
2 ttrclss 9714 . . . 4 ((𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅𝑧)
31, 2mpgbir 1793 . . 3 t++𝑅 {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)}
43a1i 11 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
5 rabab 3497 . . . 4 {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} = {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)}
65inteqi 4947 . . 3 {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} = {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)}
7 ttrclexg 9717 . . . 4 (𝑅𝑉 → t++𝑅 ∈ V)
8 ssttrcl 9709 . . . . 5 (Rel 𝑅𝑅 ⊆ t++𝑅)
9 ttrcltr 9710 . . . . 5 (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅
108, 9jctir 520 . . . 4 (Rel 𝑅 → (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
11 sseq2 4003 . . . . . 6 (𝑧 = t++𝑅 → (𝑅𝑧𝑅 ⊆ t++𝑅))
12 coeq1 5850 . . . . . . . 8 (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧𝑧) = (t++𝑅𝑧))
13 coeq2 5851 . . . . . . . 8 (𝑧 = t++𝑅 → (t++𝑅𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
1412, 13eqtrd 2766 . . . . . . 7 (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑧 = t++𝑅𝑧 = t++𝑅)
1614, 15sseq12d 4010 . . . . . 6 (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑧𝑧) ⊆ 𝑧 ↔ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
1711, 16anbi12d 630 . . . . 5 (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)))
1817intminss 4971 . . . 4 ((t++𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)) → {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
197, 10, 18syl2an 595 . . 3 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
206, 19eqsstrrid 4026 . 2 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
214, 20eqssd 3994 1 ((𝑅𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = {𝑧 ∣ (𝑅𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2703  {crab 3426  Vcvv 3468  wss 3943   cint 4943  ccom 5673  Rel wrel 5674  t++cttrcl 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-ttrcl 9702
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator