Theorem dfttrcl2 9703

Description: When 𝑅 is a set and a relation, then its transitive closure can be defined by an intersection. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfttrcl2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})

Distinct variable group:   𝑧,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem dfttrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 4935	. . . 4 ⊢ (t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑧((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅 ⊆ 𝑧))
2		ttrclss 9699	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅 ⊆ 𝑧)
3	1, 2	mpgbir 1832	. . 3 ⊢ t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
5		rabab 3488	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
6	5	inteqi 4921	. . 3 ⊢ ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
7		ttrclexg 9702	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)
8		ssttrcl 9694	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 ⊆ t++𝑅)
9		ttrcltr 9695	. . . . 5 ⊢ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅
10	8, 9	jctir 530	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
11		sseq2 3966	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑅 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑅 ⊆ t++𝑅))
12		coeq1 5848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ 𝑧))
13		coeq2 5849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (t++𝑅 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
14	12, 13	eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
15		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → 𝑧 = t++𝑅)
16	14, 15	sseq12d 3973	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧 ↔ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
17	11, 16	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)))
18	17	intminss 4944	. . . 4 ⊢ ((t++𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)) → ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
19	7, 10, 18	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
20	6, 19	eqsstrrid 3979	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
21	4, 20	eqssd 3957	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2744  {crab 3419  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ∩ cint 4917   ∘ ccom 5670  Rel wrel 5671  t++cttrcl 9686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-ttrcl 9687

This theorem is used by: (None)