Theorem dfttrcl2 9684

Description: When 𝑅 is a set and a relation, then its transitive closure can be defined by an intersection. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfttrcl2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})

Distinct variable group:   𝑧,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem dfttrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 4932	. . . 4 ⊢ (t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑧((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅 ⊆ 𝑧))
2		ttrclss 9680	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅 ⊆ 𝑧)
3	1, 2	mpgbir 1799	. . 3 ⊢ t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
5		rabab 3481	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
6	5	inteqi 4917	. . 3 ⊢ ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
7		ttrclexg 9683	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)
8		ssttrcl 9675	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 ⊆ t++𝑅)
9		ttrcltr 9676	. . . . 5 ⊢ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅
10	8, 9	jctir 520	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
11		sseq2 3976	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑅 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑅 ⊆ t++𝑅))
12		coeq1 5824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ 𝑧))
13		coeq2 5825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (t++𝑅 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
14	12, 13	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → 𝑧 = t++𝑅)
16	14, 15	sseq12d 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧 ↔ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
17	11, 16	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)))
18	17	intminss 4941	. . . 4 ⊢ ((t++𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)) → ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
19	7, 10, 18	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
20	6, 19	eqsstrrid 3989	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
21	4, 20	eqssd 3967	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708  {crab 3408  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∩ cint 4913   ∘ ccom 5645  Rel wrel 5646  t++cttrcl 9667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-ttrcl 9668

This theorem is referenced by: (None)