Theorem dfttrcl2 9636

Description: When 𝑅 is a set and a relation, then its transitive closure can be defined by an intersection. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfttrcl2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})

Distinct variable group:   𝑧,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem dfttrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 4908	. . . 4 ⊢ (t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑧((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅 ⊆ 𝑧))
2		ttrclss 9632	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅 ⊆ 𝑧)
3	1, 2	mpgbir 1801	. . 3 ⊢ t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
5		rabab 3461	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
6	5	inteqi 4894	. . 3 ⊢ ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
7		ttrclexg 9635	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)
8		ssttrcl 9627	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 ⊆ t++𝑅)
9		ttrcltr 9628	. . . . 5 ⊢ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅
10	8, 9	jctir 520	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
11		sseq2 3949	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑅 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑅 ⊆ t++𝑅))
12		coeq1 5806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ 𝑧))
13		coeq2 5807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (t++𝑅 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
14	12, 13	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → 𝑧 = t++𝑅)
16	14, 15	sseq12d 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧 ↔ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
17	11, 16	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)))
18	17	intminss 4917	. . . 4 ⊢ ((t++𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)) → ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
19	7, 10, 18	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
20	6, 19	eqsstrrid 3962	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
21	4, 20	eqssd 3940	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∩ cint 4890   ∘ ccom 5628  Rel wrel 5629  t++cttrcl 9619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-ttrcl 9620

This theorem is referenced by: (None)