Theorem dfttrcl2 33520

Description: When 𝑅 is a set and a relationship, then its transitive closure can be defined by an intersection. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfttrcl2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})

Distinct variable group:   𝑧,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem dfttrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 4873	. . . 4 ⊢ (t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑧((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅 ⊆ 𝑧))
2		ttrclss 33516	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅 ⊆ 𝑧)
3	1, 2	mpgbir 1807	. . 3 ⊢ t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
5		rabab 3433	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
6	5	inteqi 4860	. . 3 ⊢ ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
7		ttrclexg 33519	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)
8		ssttrcl 33511	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 ⊆ t++𝑅)
9		ttrcltr 33512	. . . . 5 ⊢ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅
10	8, 9	jctir 524	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
11		sseq2 3924	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑅 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑅 ⊆ t++𝑅))
12		coeq1 5723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ 𝑧))
13		coeq2 5724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (t++𝑅 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
14	12, 13	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → 𝑧 = t++𝑅)
16	14, 15	sseq12d 3931	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧 ↔ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
17	11, 16	anbi12d 634	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)))
18	17	intminss 4882	. . . 4 ⊢ ((t++𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)) → ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
19	7, 10, 18	syl2an 599	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
20	6, 19	eqsstrrid 3947	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
21	4, 20	eqssd 3915	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {cab 2714  {crab 3062  Vcvv 3405   ⊆ wss 3863  ∩ cint 4856   ∘ ccom 5552  Rel wrel 5553  t++cttrcl 33503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5255  ax-pr 5319  ax-un 7520

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2940  df-ral 3063  df-rex 3064  df-reu 3065  df-rmo 3066  df-rab 3067  df-v 3407  df-sbc 3692  df-csb 3809  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4235  df-if 4437  df-pw 4512  df-sn 4539  df-pr 4541  df-tp 4543  df-op 4545  df-uni 4817  df-int 4857  df-iun 4903  df-br 5051  df-opab 5113  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5452  df-eprel 5457  df-po 5465  df-so 5466  df-fr 5506  df-we 5508  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6157  df-ord 6213  df-on 6214  df-lim 6215  df-suc 6216  df-iota 6335  df-fun 6379  df-fn 6380  df-f 6381  df-f1 6382  df-fo 6383  df-f1o 6384  df-fv 6385  df-riota 7167  df-ov 7213  df-oprab 7214  df-mpo 7215  df-om 7642  df-wrecs 8044  df-recs 8105  df-rdg 8143  df-1o 8199  df-oadd 8203  df-ttrcl 33504

This theorem is referenced by: (None)