Theorem dfttrcl2 9752

Description: When 𝑅 is a set and a relation, then its transitive closure can be defined by an intersection. (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dfttrcl2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})

Distinct variable group:   𝑧,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem dfttrcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 4928	. . . 4 ⊢ (t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑧((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅 ⊆ 𝑧))
2		ttrclss 9748	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) → t++𝑅 ⊆ 𝑧)
3	1, 2	mpgbir 1832	. . 3 ⊢ t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
5		rabab 3484	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
6	5	inteqi 4914	. . 3 ⊢ ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}
7		ttrclexg 9751	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → t++𝑅 ∈ V)
8		ssttrcl 9743	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝑅 → 𝑅 ⊆ t++𝑅)
9		ttrcltr 9744	. . . . 5 ⊢ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅
10	8, 9	jctir 530	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
11		sseq2 3939	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑅 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑅 ⊆ t++𝑅))
12		coeq1 5841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ 𝑧))
13		coeq2 5842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (t++𝑅 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
14	12, 13	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → (𝑧 ∘ 𝑧) = (t++𝑅 ∘ t++𝑅))
15		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → 𝑧 = t++𝑅)
16	14, 15	sseq12d 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧 ↔ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅))
17	11, 16	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = t++𝑅 → ((𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)))
18	17	intminss 4937	. . . 4 ⊢ ((t++𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 ⊆ t++𝑅 ∧ (t++𝑅 ∘ t++𝑅) ⊆ t++𝑅)) → ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
19	7, 10, 18	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → ∩ {𝑧 ∈ V ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
20	6, 19	eqsstrrid 3952	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ t++𝑅)
21	4, 20	eqssd 3930	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → t++𝑅 = ∩ {𝑧 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∩ cint 4910   ∘ ccom 5659  Rel wrel 5660  t++cttrcl 9735

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-ttrcl 9736

This theorem is used by: (None)