MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem6 26538
Description: The series 𝐺 is uniformly convergent on the compact region π‘ˆ, which describes a circle of radius 𝑅 with holes of size 1 / 𝑅 around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
lgamgulm.u π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
lgamgulm.t 𝑇 = (π‘š ∈ β„• ↦ if((2 Β· 𝑅) ≀ π‘š, (𝑅 Β· ((2 Β· (𝑅 + 1)) / (π‘šβ†‘2))), ((𝑅 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) + ((logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) + Ο€))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem6 (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   𝐺,π‘Ÿ   π‘˜,π‘š,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧,𝑅   π‘ˆ,π‘š,π‘Ÿ,𝑧   𝑂,π‘Ÿ   πœ‘,π‘š,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   𝑇,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝑇(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)   π‘ˆ(π‘₯,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)   𝑂(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)

Proof of Theorem lgamgulmlem6
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12865 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12593 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 lgamgulm.u . . . . 5 π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
4 cnex 11191 . . . . 5 β„‚ ∈ V
53, 4rabex2 5335 . . . 4 π‘ˆ ∈ V
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
7 lgamgulm.r . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
87, 3lgamgulmlem1 26533 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
10 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
119, 10sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
1211eldifad 3961 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
13 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘š ∈ β„•)
1413peano2nnd 12229 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
1514nnrpd 13014 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ+)
1613nnrpd 13014 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
1715, 16rpdivcld 13033 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) ∈ ℝ+)
1817relogcld 26131 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) ∈ ℝ)
1918recnd 11242 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) ∈ β„‚)
2012, 19mulcld 11234 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) ∈ β„‚)
2113nncnd 12228 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘š ∈ β„‚)
2213nnne0d 12262 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘š β‰  0)
2312, 21, 22divcld 11990 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑧 / π‘š) ∈ β„‚)
24 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 ∈ β„‚)
2523, 24addcld 11233 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑧 / π‘š) + 1) ∈ β„‚)
2611, 13dmgmdivn0 26532 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑧 / π‘š) + 1) β‰  0)
2725, 26logcld 26079 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)) ∈ β„‚)
2820, 27subcld 11571 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))) ∈ β„‚)
2928fmpttd 7115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))):π‘ˆβŸΆβ„‚)
304, 5elmap 8865 . . . . 5 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))) ∈ (β„‚ ↑m π‘ˆ) ↔ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))):π‘ˆβŸΆβ„‚)
3129, 30sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))) ∈ (β„‚ ↑m π‘ˆ))
32 lgamgulm.g . . . 4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
3331, 32fmptd 7114 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
34 lgamgulm.t . . . . 5 𝑇 = (π‘š ∈ β„• ↦ if((2 Β· 𝑅) ≀ π‘š, (𝑅 Β· ((2 Β· (𝑅 + 1)) / (π‘šβ†‘2))), ((𝑅 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) + ((logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) + Ο€))))
35 nnex 12218 . . . . . 6 β„• ∈ V
3635mptex 7225 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• ↦ if((2 Β· 𝑅) ≀ π‘š, (𝑅 Β· ((2 Β· (𝑅 + 1)) / (π‘šβ†‘2))), ((𝑅 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) + ((logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) + Ο€)))) ∈ V
3734, 36eqeltri 2830 . . . 4 𝑇 ∈ V
3837a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
397adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑅 ∈ β„•)
4039nnred 12227 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
41 2re 12286 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ)
43 1red 11215 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
4440, 43readdcld 11243 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 11244 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (2 Β· (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
46 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
4746nnsqcld 14207 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘šβ†‘2) ∈ β„•)
4845, 47nndivred 12266 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((2 Β· (𝑅 + 1)) / (π‘šβ†‘2)) ∈ ℝ)
4940, 48remulcld 11244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑅 Β· ((2 Β· (𝑅 + 1)) / (π‘šβ†‘2))) ∈ ℝ)
5046peano2nnd 12229 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
5150nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ+)
5246nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
5351, 52rpdivcld 13033 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) ∈ ℝ+)
5453relogcld 26131 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) ∈ ℝ)
5540, 54remulcld 11244 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑅 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) ∈ ℝ)
5639peano2nnd 12229 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑅 + 1) ∈ β„•)
5756nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
5857, 52rpmulcld 13032 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑅 + 1) Β· π‘š) ∈ ℝ+)
5958relogcld 26131 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) ∈ ℝ)
60 pire 25968 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
6259, 61readdcld 11243 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) + Ο€) ∈ ℝ)
6355, 62readdcld 11243 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑅 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) + ((logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) + Ο€)) ∈ ℝ)
6449, 63ifcld 4575 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ if((2 Β· 𝑅) ≀ π‘š, (𝑅 Β· ((2 Β· (𝑅 + 1)) / (π‘šβ†‘2))), ((𝑅 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) + ((logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) + Ο€))) ∈ ℝ)
6564, 34fmptd 7114 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇:β„•βŸΆβ„)
6665ffvelcdmda 7087 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) ∈ ℝ)
677, 3, 32, 34lgamgulmlem5 26537 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ≀ (π‘‡β€˜π‘›))
687, 3, 32, 34lgamgulmlem4 26536 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
691, 2, 6, 33, 38, 66, 67, 68mtest 25916 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ))
70 1zzd 12593 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ 1 ∈ β„€)
715a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
7233adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
7337a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ 𝑇 ∈ V)
7466adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) ∈ ℝ)
7567adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ≀ (π‘‡β€˜π‘›))
7668adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
77 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂))
781, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77mtestbdd 25917 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ)
79 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧abs
80 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)
8179, 80nffv 6902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧(absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦))
82 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧 ≀
83 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘§π‘Ÿ
8481, 82, 83nfbr 5196 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ
85 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦(absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ
86 2fveq3 6897 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) = (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)))
8786breq1d 5159 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ))
8884, 85, 87cbvralw 3304 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ)
89 ulmcl 25893 . . . . . . . . 9 (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂) β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂):π‘ˆβŸΆβ„‚)
9089adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂):π‘ˆβŸΆβ„‚)
91 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)
9291fmpt 7110 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ 𝑂 ∈ β„‚ ↔ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂):π‘ˆβŸΆβ„‚)
9390, 92sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ 𝑂 ∈ β„‚)
9491fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑂 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§) = 𝑂)
9594fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑂 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) = (absβ€˜π‘‚))
9695breq1d 5159 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑂 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ ↔ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
9796ralimiaa 3083 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ 𝑂 ∈ β„‚ β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ ((absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ ↔ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
98 ralbi 3104 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ ((absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ ↔ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
9993, 97, 983syl 18 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
10088, 99bitrid 283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
101100rexbidv 3179 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
10278, 101mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ)
103102ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
10469, 103jca 513 1 (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  abscabs 15181   ⇝ cli 15428  Ο€cpi 16010  β‡π‘’culm 25888  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  lgamgulm  26539  lgambdd  26541
  Copyright terms: Public domain W3C validator