Theorem lgamgulmlem6 27077

Description: The series 𝐺 is uniformly convergent on the compact region 𝑈, which describes a circle of radius 𝑅 with holes of size 1 / 𝑅 around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t	⊢ 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem6	⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑟   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑟,𝑧   𝑂,𝑟   𝜑,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧   𝑇,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem6

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12921	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12648	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		lgamgulm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
4		cnex 11236	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
5	3, 4	rabex2 5341	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
7		lgamgulm.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
8	7, 3	lgamgulmlem1 27072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
10		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑈)
11	9, 10	sseldd 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
12	11	eldifad 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
13		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℕ)
14	13	peano2nnd 12283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 13075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
16	13	nnrpd 13075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℝ+)
17	15, 16	rpdivcld 13094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
18	17	relogcld 26665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
20	12, 19	mulcld 11281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
21	13	nncnd 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℂ)
22	13	nnne0d 12316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ≠ 0)
23	12, 21, 22	divcld 12043	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑧 / 𝑚) ∈ ℂ)
24		1cnd 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24	addcld 11280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
26	11, 13	dmgmdivn0 27071	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
27	25, 26	logcld 26612	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
28	20, 27	subcld 11620	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 7135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
30	4, 5	elmap 8911	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑m 𝑈) ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
31	29, 30	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑m 𝑈))
32		lgamgulm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
33	31, 32	fmptd 7134	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
34		lgamgulm.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
35		nnex 12272	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
36	35	mptex 7243	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)))) ∈ V
37	34, 36	eqeltri 2837	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
39	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
40	39	nnred 12281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
41		2re 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
43		1red 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
44	40, 43	readdcld 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 11291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
46		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
47	46	nnsqcld 14283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑2) ∈ ℕ)
48	45, 47	nndivred 12320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) ∈ ℝ)
49	40, 48	remulcld 11291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) ∈ ℝ)
50	46	peano2nnd 12283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
51	50	nnrpd 13075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
52	46	nnrpd 13075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
53	51, 52	rpdivcld 13094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
54	53	relogcld 26665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
55	40, 54	remulcld 11291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℝ)
56	39	peano2nnd 12283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
57	56	nnrpd 13075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
58	57, 52	rpmulcld 13093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑚) ∈ ℝ+)
59	58	relogcld 26665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) ∈ ℝ)
60		pire 26500	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
62	59, 61	readdcld 11290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) ∈ ℝ)
63	55, 62	readdcld 11290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) ∈ ℝ)
64	49, 63	ifcld 4572	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) ∈ ℝ)
65	64, 34	fmptd 7134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℕ⟶ℝ)
66	65	ffvelcdmda 7104	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑛) ∈ ℝ)
67	7, 3, 32, 34	lgamgulmlem5 27076	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (abs‘((𝐺‘𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇‘𝑛))
68	7, 3, 32, 34	lgamgulmlem4 27075	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
69	1, 2, 6, 33, 38, 66, 67, 68	mtest 26447	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈))
70		1zzd 12648	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 1 ∈ ℤ)
71	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝑈 ∈ V)
72	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
73	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝑇 ∈ V)
74	66	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑛) ∈ ℝ)
75	67	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (abs‘((𝐺‘𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇‘𝑛))
76	68	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
77		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂))
78	1, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77	mtestbdd 26448	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟)
79		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧abs
80		nffvmpt1 6917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)
81	79, 80	nffv 6916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦))
82		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 ≤
83		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝑟
84	81, 82, 83	nfbr 5190	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟
85		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟
86		2fveq3 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) = (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)))
87	86	breq1d 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟))
88	84, 85, 87	cbvralw 3306	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟)
89		ulmcl 26424	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
90	89	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
91		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) = (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)
92	91	fmpt 7130	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
93	90, 92	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ)
94	91	fvmpt2 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧) = 𝑂)
95	94	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) = (abs‘𝑂))
96	95	breq1d 5153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
97	96	ralimiaa 3082	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ → ∀𝑧 ∈ 𝑈 ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
98		ralbi 3103	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟) → (∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
99	93, 97, 98	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
100	88, 99	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
101	100	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
102	78, 101	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)
103	102	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
104	69, 103	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8866  ℂcc 11153  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  seqcseq 14042  ↑cexp 14102  abscabs 15273   ⇝ cli 15520  πcpi 16102  ⇝_𝑢culm 26419  logclog 26596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420  df-log 26598  df-cxp 26599

This theorem is referenced by:  lgamgulm  27078  lgambdd  27080