Theorem lgamgulmlem6 27367

Description: The series 𝐺 is uniformly convergent on the compact region 𝑈, which describes a circle of radius 𝑅 with holes of size 1 / 𝑅 around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t	⊢ 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem6	⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑟   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑟,𝑧   𝑂,𝑟   𝜑,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧   𝑇,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥, 𝑧, 𝑘, 𝑚)   𝑈(𝑥, 𝑘)   𝐺(𝑥, 𝑧, 𝑘, 𝑚)   𝑂(𝑥, 𝑧, 𝑘, 𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem6

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 13008	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12731	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		lgamgulm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
4		cnex 11285	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
5	3, 4	rabex2 5301	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
7		lgamgulm.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
8	7, 3	lgamgulmlem1 27362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
9	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
10		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑈)
11	9, 10	sseldd 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
12	11	eldifad 4051	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
13		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℕ)
14	13	peano2nnd 12356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 13166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
16	13	nnrpd 13166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℝ+)
17	15, 16	rpdivcld 13185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
18	17	relogcld 26957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
20	12, 19	mulcld 11333	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
21	13	nncnd 12355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℂ)
22	13	nnne0d 12392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ≠ 0)
23	12, 21, 22	divcld 12097	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑧 / 𝑚) ∈ ℂ)
24		1cnd 11306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24	addcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
26	11, 13	dmgmdivn0 27361	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
27	25, 26	logcld 26904	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
28	20, 27	subcld 11673	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 7116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
30	4, 5	elmap 8903	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑m 𝑈) ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
31	29, 30	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑m 𝑈))
32		lgamgulm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
33	31, 32	fmptd 7115	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
34		lgamgulm.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
35		nnex 12345	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
36	35	mptex 7230	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)))) ∈ V
37	34, 36	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
39	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
40	39	nnred 12354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
41		2re 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
43		1red 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
44	40, 43	readdcld 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 11343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
46		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
47	46	nnsqcld 14392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑2) ∈ ℕ)
48	45, 47	nndivred 12396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) ∈ ℝ)
49	40, 48	remulcld 11343	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) ∈ ℝ)
50	46	peano2nnd 12356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
51	50	nnrpd 13166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
52	46	nnrpd 13166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
53	51, 52	rpdivcld 13185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
54	53	relogcld 26957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
55	40, 54	remulcld 11343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℝ)
56	39	peano2nnd 12356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
57	56	nnrpd 13166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
58	57, 52	rpmulcld 13184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑚) ∈ ℝ+)
59	58	relogcld 26957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) ∈ ℝ)
60		pire 26789	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
62	59, 61	readdcld 11342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) ∈ ℝ)
63	55, 62	readdcld 11342	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) ∈ ℝ)
64	49, 63	ifcld 4528	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) ∈ ℝ)
65	64, 34	fmptd 7115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℕ⟶ℝ)
66	65	ffvelcdmda 7085	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑛) ∈ ℝ)
67	7, 3, 32, 34	lgamgulmlem5 27366	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (abs‘((𝐺‘𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇‘𝑛))
68	7, 3, 32, 34	lgamgulmlem4 27365	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
69	1, 2, 6, 33, 38, 66, 67, 68	mtest 26737	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈))
70		1zzd 12731	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 1 ∈ ℤ)
71	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝑈 ∈ V)
72	33	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
73	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝑇 ∈ V)
74	66	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑛) ∈ ℝ)
75	67	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (abs‘((𝐺‘𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇‘𝑛))
76	68	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
77		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂))
78	1, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77	mtestbdd 26738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟)
79		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧abs
80		nffvmpt1 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)
81	79, 80	nffv 6896	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦))
82		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 ≤
83		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝑟
84	81, 82, 83	nfbr 5151	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟
85		nfv 1946	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟
86		2fveq3 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) = (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)))
87	86	breq1d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟))
88	84, 85, 87	cbvralw 3304	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟)
89		ulmcl 26714	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
90	89	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
91		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) = (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)
92	91	fmpt 7111	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
93	90, 92	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ)
94	91	fvmpt2 7006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧) = 𝑂)
95	94	fveq2d 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) = (abs‘𝑂))
96	95	breq1d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
97	96	ralimiaa 3098	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ → ∀𝑧 ∈ 𝑈 ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
98		ralbi 3117	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟) → (∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
99	93, 97, 98	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
100	88, 99	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
101	100	rexbidv 3186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
102	78, 101	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)
103	102	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
104	69, 103	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∘_f cof 7692   ↑_m cmap 8851  ℂcc 11202  ℝcr 11203  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   ≤ cle 11348   − cmin 11545   / cdiv 11977  ℕcn 12339  2c2 12401  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  seqcseq 14148  ↑cexp 14208  abscabs 15407   ⇝ cli 15657  πcpi 16238  ⇝_𝑢culm 26709  logclog 26888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242  df-tan 16243  df-pi 16244  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-cmp 23711  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193  df-ulm 26710  df-log 26890  df-cxp 26891

This theorem is used by:  lgamgulm  27368  lgambdd  27370