Theorem lgamgulmlem6 27000

Description: The series 𝐺 is uniformly convergent on the compact region 𝑈, which describes a circle of radius 𝑅 with holes of size 1 / 𝑅 around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t	⊢ 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem6	⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑟   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑟,𝑧   𝑂,𝑟   𝜑,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧   𝑇,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem6

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12790	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12522	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		lgamgulm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
4		cnex 11107	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
5	3, 4	rabex2 5286	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
7		lgamgulm.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
8	7, 3	lgamgulmlem1 26995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
10		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑈)
11	9, 10	sseldd 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
12	11	eldifad 3913	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
13		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℕ)
14	13	peano2nnd 12162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 12947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
16	13	nnrpd 12947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℝ+)
17	15, 16	rpdivcld 12966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
18	17	relogcld 26588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
20	12, 19	mulcld 11152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
21	13	nncnd 12161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℂ)
22	13	nnne0d 12195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ≠ 0)
23	12, 21, 22	divcld 11917	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑧 / 𝑚) ∈ ℂ)
24		1cnd 11127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24	addcld 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
26	11, 13	dmgmdivn0 26994	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
27	25, 26	logcld 26535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
28	20, 27	subcld 11492	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 7060	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
30	4, 5	elmap 8809	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑m 𝑈) ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
31	29, 30	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑m 𝑈))
32		lgamgulm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
33	31, 32	fmptd 7059	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
34		lgamgulm.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
35		nnex 12151	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
36	35	mptex 7169	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)))) ∈ V
37	34, 36	eqeltri 2832	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
39	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
40	39	nnred 12160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
41		2re 12219	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
43		1red 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
44	40, 43	readdcld 11161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
46		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
47	46	nnsqcld 14167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑2) ∈ ℕ)
48	45, 47	nndivred 12199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) ∈ ℝ)
49	40, 48	remulcld 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) ∈ ℝ)
50	46	peano2nnd 12162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
51	50	nnrpd 12947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
52	46	nnrpd 12947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
53	51, 52	rpdivcld 12966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
54	53	relogcld 26588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
55	40, 54	remulcld 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℝ)
56	39	peano2nnd 12162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
57	56	nnrpd 12947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
58	57, 52	rpmulcld 12965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑚) ∈ ℝ+)
59	58	relogcld 26588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) ∈ ℝ)
60		pire 26422	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
62	59, 61	readdcld 11161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) ∈ ℝ)
63	55, 62	readdcld 11161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) ∈ ℝ)
64	49, 63	ifcld 4526	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) ∈ ℝ)
65	64, 34	fmptd 7059	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℕ⟶ℝ)
66	65	ffvelcdmda 7029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑛) ∈ ℝ)
67	7, 3, 32, 34	lgamgulmlem5 26999	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (abs‘((𝐺‘𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇‘𝑛))
68	7, 3, 32, 34	lgamgulmlem4 26998	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
69	1, 2, 6, 33, 38, 66, 67, 68	mtest 26369	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈))
70		1zzd 12522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 1 ∈ ℤ)
71	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝑈 ∈ V)
72	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
73	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝑇 ∈ V)
74	66	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑛) ∈ ℝ)
75	67	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (abs‘((𝐺‘𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇‘𝑛))
76	68	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
77		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂))
78	1, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77	mtestbdd 26370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟)
79		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧abs
80		nffvmpt1 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)
81	79, 80	nffv 6844	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦))
82		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 ≤
83		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝑟
84	81, 82, 83	nfbr 5145	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟
85		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟
86		2fveq3 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) = (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)))
87	86	breq1d 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟))
88	84, 85, 87	cbvralw 3278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟)
89		ulmcl 26346	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
90	89	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
91		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) = (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)
92	91	fmpt 7055	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
93	90, 92	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ)
94	91	fvmpt2 6952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧) = 𝑂)
95	94	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) = (abs‘𝑂))
96	95	breq1d 5108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
97	96	ralimiaa 3072	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ → ∀𝑧 ∈ 𝑈 ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
98		ralbi 3091	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟) → (∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
99	93, 97, 98	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
100	88, 99	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
101	100	rexbidv 3160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
102	78, 101	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)
103	102	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
104	69, 103	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  ifcif 4479   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ↑_m cmap 8763  ℂcc 11024  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  seqcseq 13924  ↑cexp 13984  abscabs 15157   ⇝ cli 15407  πcpi 15989  ⇝_𝑢culm 26341  logclog 26519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-tan 15994  df-pi 15995  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-cmp 23331  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-ulm 26342  df-log 26521  df-cxp 26522

This theorem is referenced by:  lgamgulm  27001  lgambdd  27003