MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem6 25067
Description: The series 𝐺 is uniformly convergent on the compact region 𝑈, which describes a circle of radius 𝑅 with holes of size 1 / 𝑅 around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem6 (𝜑 → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ∧ (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑟   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑟,𝑧   𝑂,𝑟   𝜑,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧   𝑇,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem6
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11930 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11661 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 lgamgulm.u . . . . 5 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
4 cnex 10274 . . . . 5 ℂ ∈ V
53, 4rabex2 4977 . . . 4 𝑈 ∈ V
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ V)
7 lgamgulm.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
87, 3lgamgulmlem1 25062 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
98ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
10 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
119, 10sseldd 3764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
1211eldifad 3746 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
13 simplr 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℕ)
1413peano2nnd 11298 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
1514nnrpd 12075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
1613nnrpd 12075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1715, 16rpdivcld 12094 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
1817relogcld 24676 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
1918recnd 10326 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
2012, 19mulcld 10318 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
2113nncnd 11297 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℂ)
2213nnne0d 11327 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ≠ 0)
2312, 21, 22divcld 11060 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑧 / 𝑚) ∈ ℂ)
24 1cnd 10292 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 1 ∈ ℂ)
2523, 24addcld 10317 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
2611, 13dmgmdivn0 25061 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
2725, 26logcld 24624 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
2820, 27subcld 10651 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
2928fmpttd 6579 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
304, 5elmap 8093 . . . . 5 ((𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑈) ↔ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
3129, 30sylibr 225 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑈))
32 lgamgulm.g . . . 4 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
3331, 32fmptd 6578 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
34 lgamgulm.t . . . . 5 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
35 nnex 11286 . . . . . 6 ℕ ∈ V
3635mptex 6683 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)))) ∈ V
3734, 36eqeltri 2840 . . . 4 𝑇 ∈ V
3837a1i 11 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
397adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
4039nnred 11296 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
41 2re 11351 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
43 1red 10298 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
4440, 43readdcld 10327 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 10328 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
46 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
4746nnsqcld 13243 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑2) ∈ ℕ)
4845, 47nndivred 11331 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) ∈ ℝ)
4940, 48remulcld 10328 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) ∈ ℝ)
5046peano2nnd 11298 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
5150nnrpd 12075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
5246nnrpd 12075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
5351, 52rpdivcld 12094 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
5453relogcld 24676 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
5540, 54remulcld 10328 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℝ)
5639peano2nnd 11298 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
5756nnrpd 12075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
5857, 52rpmulcld 12093 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑚) ∈ ℝ+)
5958relogcld 24676 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) ∈ ℝ)
60 pire 24518 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
6259, 61readdcld 10327 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) ∈ ℝ)
6355, 62readdcld 10327 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) ∈ ℝ)
6449, 63ifcld 4290 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) ∈ ℝ)
6564, 34fmptd 6578 . . . 4 (𝜑𝑇:ℕ⟶ℝ)
6665ffvelrnda 6553 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
677, 3, 32, 34lgamgulmlem5 25066 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑈)) → (abs‘((𝐺𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇𝑛))
687, 3, 32, 34lgamgulmlem4 25065 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
691, 2, 6, 33, 38, 66, 67, 68mtest 24465 . 2 (𝜑 → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈))
70 1zzd 11661 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 1 ∈ ℤ)
715a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝑈 ∈ V)
7233adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
7337a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝑇 ∈ V)
7466adantlr 706 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
7567adantlr 706 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑈)) → (abs‘((𝐺𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇𝑛))
7668adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
77 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂))
781, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77mtestbdd 24466 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟)
79 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑧abs
80 nffvmpt1 6390 . . . . . . . . 9 𝑧((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)
8179, 80nffv 6389 . . . . . . . 8 𝑧(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦))
82 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑧
83 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑧𝑟
8481, 82, 83nfbr 4858 . . . . . . 7 𝑧(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟
85 nfv 2009 . . . . . . 7 𝑦(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟
86 2fveq3 6384 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) = (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)))
8786breq1d 4821 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟))
8884, 85, 87cbvral 3315 . . . . . 6 (∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟)
89 ulmcl 24442 . . . . . . . . 9 (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
9089adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
91 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑈𝑂) = (𝑧𝑈𝑂)
9291fmpt 6574 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ ↔ (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
9390, 92sylibr 225 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ)
9491fvmpt2 6484 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → ((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧) = 𝑂)
9594fveq2d 6383 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) = (abs‘𝑂))
9695breq1d 4821 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
9796ralimiaa 3098 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ → ∀𝑧𝑈 ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
98 ralbi 3215 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑈 ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟) → (∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
9993, 97, 983syl 18 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10088, 99syl5bb 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
101100rexbidv 3199 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10278, 101mpbid 223 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)
103102ex 401 . 2 (𝜑 → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10469, 103jca 507 1 (𝜑 → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ∧ (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3731  wss 3734  ifcif 4245   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  𝑓 cof 7097  𝑚 cmap 8064  cc 10191  cr 10192  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  cle 10333  cmin 10525   / cdiv 10943  cn 11279  2c2 11332  0cn0 11543  cz 11629  seqcseq 13015  cexp 13074  abscabs 14275  cli 14516  πcpi 15095  𝑢culm 24437  logclog 24608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528  df-div 10944  df-nn 11280  df-2 11340  df-3 11341  df-4 11342  df-5 11343  df-6 11344  df-7 11345  df-8 11346  df-9 11347  df-n0 11544  df-z 11630  df-dec 11747  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12153  df-xadd 12154  df-xmul 12155  df-ioo 12388  df-ioc 12389  df-ico 12390  df-icc 12391  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13272  df-bc 13301  df-hash 13329  df-shft 14108  df-cj 14140  df-re 14141  df-im 14142  df-sqrt 14276  df-abs 14277  df-limsup 14503  df-clim 14520  df-rlim 14521  df-sum 14718  df-ef 15096  df-sin 15098  df-cos 15099  df-tan 15100  df-pi 15101  df-struct 16148  df-ndx 16149  df-slot 16150  df-base 16152  df-sets 16153  df-ress 16154  df-plusg 16243  df-mulr 16244  df-starv 16245  df-sca 16246  df-vsca 16247  df-ip 16248  df-tset 16249  df-ple 16250  df-ds 16252  df-unif 16253  df-hom 16254  df-cco 16255  df-rest 16365  df-topn 16366  df-0g 16384  df-gsum 16385  df-topgen 16386  df-pt 16387  df-prds 16390  df-xrs 16444  df-qtop 16449  df-imas 16450  df-xps 16452  df-mre 16528  df-mrc 16529  df-acs 16531  df-mgm 17524  df-sgrp 17566  df-mnd 17577  df-submnd 17618  df-mulg 17824  df-cntz 18029  df-cmn 18477  df-psmet 20027  df-xmet 20028  df-met 20029  df-bl 20030  df-mopn 20031  df-fbas 20032  df-fg 20033  df-cnfld 20036  df-top 20994  df-topon 21011  df-topsp 21033  df-bases 21046  df-cld 21119  df-ntr 21120  df-cls 21121  df-nei 21198  df-lp 21236  df-perf 21237  df-cn 21327  df-cnp 21328  df-haus 21415  df-cmp 21486  df-tx 21661  df-hmeo 21854  df-fil 21945  df-fm 22037  df-flim 22038  df-flf 22039  df-xms 22420  df-ms 22421  df-tms 22422  df-cncf 22976  df-limc 23937  df-dv 23938  df-ulm 24438  df-log 24610  df-cxp 24611
This theorem is referenced by:  lgamgulm  25068  lgambdd  25070
  Copyright terms: Public domain W3C validator