Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem6 25731
 Description: The series 𝐺 is uniformly convergent on the compact region 𝑈, which describes a circle of radius 𝑅 with holes of size 1 / 𝑅 around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem6 (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑟   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑟,𝑧   𝑂,𝑟   𝜑,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧   𝑇,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem6
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12334 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12065 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 lgamgulm.u . . . . 5 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
4 cnex 10669 . . . . 5 ℂ ∈ V
53, 4rabex2 5208 . . . 4 𝑈 ∈ V
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ V)
7 lgamgulm.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
87, 3lgamgulmlem1 25726 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
10 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
119, 10sseldd 3895 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
1211eldifad 3872 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
13 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℕ)
1413peano2nnd 11704 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
1514nnrpd 12483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
1613nnrpd 12483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1715, 16rpdivcld 12502 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
1817relogcld 25326 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
1918recnd 10720 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
2012, 19mulcld 10712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
2113nncnd 11703 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℂ)
2213nnne0d 11737 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ≠ 0)
2312, 21, 22divcld 11467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑧 / 𝑚) ∈ ℂ)
24 1cnd 10687 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 1 ∈ ℂ)
2523, 24addcld 10711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
2611, 13dmgmdivn0 25725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
2725, 26logcld 25274 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
2820, 27subcld 11048 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
2928fmpttd 6876 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
304, 5elmap 8466 . . . . 5 ((𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑m 𝑈) ↔ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
3129, 30sylibr 237 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑m 𝑈))
32 lgamgulm.g . . . 4 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
3331, 32fmptd 6875 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
34 lgamgulm.t . . . . 5 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
35 nnex 11693 . . . . . 6 ℕ ∈ V
3635mptex 6983 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)))) ∈ V
3734, 36eqeltri 2848 . . . 4 𝑇 ∈ V
3837a1i 11 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
397adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
4039nnred 11702 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
41 2re 11761 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
43 1red 10693 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
4440, 43readdcld 10721 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 10722 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
46 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
4746nnsqcld 13668 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑2) ∈ ℕ)
4845, 47nndivred 11741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) ∈ ℝ)
4940, 48remulcld 10722 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) ∈ ℝ)
5046peano2nnd 11704 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
5150nnrpd 12483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
5246nnrpd 12483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
5351, 52rpdivcld 12502 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
5453relogcld 25326 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
5540, 54remulcld 10722 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℝ)
5639peano2nnd 11704 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
5756nnrpd 12483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
5857, 52rpmulcld 12501 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑚) ∈ ℝ+)
5958relogcld 25326 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) ∈ ℝ)
60 pire 25163 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
6259, 61readdcld 10721 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) ∈ ℝ)
6355, 62readdcld 10721 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) ∈ ℝ)
6449, 63ifcld 4469 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) ∈ ℝ)
6564, 34fmptd 6875 . . . 4 (𝜑𝑇:ℕ⟶ℝ)
6665ffvelrnda 6848 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
677, 3, 32, 34lgamgulmlem5 25730 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑈)) → (abs‘((𝐺𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇𝑛))
687, 3, 32, 34lgamgulmlem4 25729 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
691, 2, 6, 33, 38, 66, 67, 68mtest 25111 . 2 (𝜑 → seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈))
70 1zzd 12065 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 1 ∈ ℤ)
715a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝑈 ∈ V)
7233adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
7337a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝑇 ∈ V)
7466adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
7567adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑈)) → (abs‘((𝐺𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇𝑛))
7668adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
77 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂))
781, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77mtestbdd 25112 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟)
79 nfcv 2919 . . . . . . . . 9 𝑧abs
80 nffvmpt1 6674 . . . . . . . . 9 𝑧((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)
8179, 80nffv 6673 . . . . . . . 8 𝑧(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦))
82 nfcv 2919 . . . . . . . 8 𝑧
83 nfcv 2919 . . . . . . . 8 𝑧𝑟
8481, 82, 83nfbr 5083 . . . . . . 7 𝑧(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟
85 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑦(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟
86 2fveq3 6668 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) = (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)))
8786breq1d 5046 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟))
8884, 85, 87cbvralw 3352 . . . . . 6 (∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟)
89 ulmcl 25088 . . . . . . . . 9 (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
9089adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
91 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑈𝑂) = (𝑧𝑈𝑂)
9291fmpt 6871 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ ↔ (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
9390, 92sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ)
9491fvmpt2 6775 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → ((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧) = 𝑂)
9594fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) = (abs‘𝑂))
9695breq1d 5046 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
9796ralimiaa 3091 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ → ∀𝑧𝑈 ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
98 ralbi 3099 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑈 ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟) → (∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
9993, 97, 983syl 18 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10088, 99syl5bb 286 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
101100rexbidv 3221 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10278, 101mpbid 235 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)
103102ex 416 . 2 (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10469, 103jca 515 1 (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  ifcif 4423   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116  dom cdm 5528  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∘f cof 7409   ↑m cmap 8422  ℂcc 10586  ℝcr 10587  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593   ≤ cle 10727   − cmin 10921   / cdiv 11348  ℕcn 11687  2c2 11742  ℕ0cn0 11947  ℤcz 12033  seqcseq 13431  ↑cexp 13492  abscabs 14654   ⇝ cli 14902  πcpi 15481  ⇝𝑢culm 25083  logclog 25258 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-oadd 8122  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-dju 9376  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ioc 12797  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-shft 14487  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-limsup 14889  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-ef 15482  df-sin 15484  df-cos 15485  df-tan 15486  df-pi 15487  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-rest 16767  df-topn 16768  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-topgen 16788  df-pt 16789  df-prds 16792  df-xrs 16846  df-qtop 16851  df-imas 16852  df-xps 16854  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-mulg 18305  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-fbas 20176  df-fg 20177  df-cnfld 20180  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-nei 21811  df-lp 21849  df-perf 21850  df-cn 21940  df-cnp 21941  df-haus 22028  df-cmp 22100  df-tx 22275  df-hmeo 22468  df-fil 22559  df-fm 22651  df-flim 22652  df-flf 22653  df-xms 23035  df-ms 23036  df-tms 23037  df-cncf 23592  df-limc 24578  df-dv 24579  df-ulm 25084  df-log 25260  df-cxp 25261 This theorem is referenced by:  lgamgulm  25732  lgambdd  25734
 Copyright terms: Public domain W3C validator