Theorem lgamgulmlem6 26505

Description: The series 𝐺 is uniformly convergent on the compact region 𝑈, which describes a circle of radius 𝑅 with holes of size 1 / 𝑅 around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t	⊢ 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem6	⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑟   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑟,𝑧   𝑂,𝑟   𝜑,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧   𝑇,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem6

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12852	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12580	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		lgamgulm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
4		cnex 11178	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
5	3, 4	rabex2 5330	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
7		lgamgulm.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
8	7, 3	lgamgulmlem1 26500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
9	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
10		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑈)
11	9, 10	sseldd 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
12	11	eldifad 3958	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
13		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℕ)
14	13	peano2nnd 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 13001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
16	13	nnrpd 13001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℝ+)
17	15, 16	rpdivcld 13020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
18	17	relogcld 26100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
20	12, 19	mulcld 11221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
21	13	nncnd 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℂ)
22	13	nnne0d 12249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ≠ 0)
23	12, 21, 22	divcld 11977	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑧 / 𝑚) ∈ ℂ)
24		1cnd 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24	addcld 11220	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
26	11, 13	dmgmdivn0 26499	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
27	25, 26	logcld 26048	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
28	20, 27	subcld 11558	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 7102	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
30	4, 5	elmap 8853	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑m 𝑈) ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
31	29, 30	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑m 𝑈))
32		lgamgulm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
33	31, 32	fmptd 7101	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
34		lgamgulm.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
35		nnex 12205	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
36	35	mptex 7212	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)))) ∈ V
37	34, 36	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
39	7	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
40	39	nnred 12214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
41		2re 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
43		1red 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
44	40, 43	readdcld 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 11231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
46		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
47	46	nnsqcld 14194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑2) ∈ ℕ)
48	45, 47	nndivred 12253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) ∈ ℝ)
49	40, 48	remulcld 11231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) ∈ ℝ)
50	46	peano2nnd 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
51	50	nnrpd 13001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
52	46	nnrpd 13001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
53	51, 52	rpdivcld 13020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
54	53	relogcld 26100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
55	40, 54	remulcld 11231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℝ)
56	39	peano2nnd 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
57	56	nnrpd 13001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
58	57, 52	rpmulcld 13019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑚) ∈ ℝ+)
59	58	relogcld 26100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) ∈ ℝ)
60		pire 25937	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
62	59, 61	readdcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) ∈ ℝ)
63	55, 62	readdcld 11230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) ∈ ℝ)
64	49, 63	ifcld 4570	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) ∈ ℝ)
65	64, 34	fmptd 7101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℕ⟶ℝ)
66	65	ffvelcdmda 7074	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑛) ∈ ℝ)
67	7, 3, 32, 34	lgamgulmlem5 26504	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (abs‘((𝐺‘𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇‘𝑛))
68	7, 3, 32, 34	lgamgulmlem4 26503	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
69	1, 2, 6, 33, 38, 66, 67, 68	mtest 25885	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈))
70		1zzd 12580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 1 ∈ ℤ)
71	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝑈 ∈ V)
72	33	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
73	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝑇 ∈ V)
74	66	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑛) ∈ ℝ)
75	67	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (abs‘((𝐺‘𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇‘𝑛))
76	68	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
77		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂))
78	1, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77	mtestbdd 25886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟)
79		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧abs
80		nffvmpt1 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)
81	79, 80	nffv 6891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦))
82		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 ≤
83		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝑟
84	81, 82, 83	nfbr 5191	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟
85		nfv 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟
86		2fveq3 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) = (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)))
87	86	breq1d 5154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟))
88	84, 85, 87	cbvralw 3304	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟)
89		ulmcl 25862	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
90	89	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
91		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) = (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)
92	91	fmpt 7097	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
93	90, 92	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ)
94	91	fvmpt2 6998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧) = 𝑂)
95	94	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) = (abs‘𝑂))
96	95	breq1d 5154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
97	96	ralimiaa 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ → ∀𝑧 ∈ 𝑈 ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
98		ralbi 3104	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟) → (∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
99	93, 97, 98	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
100	88, 99	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
101	100	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
102	78, 101	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)
103	102	ex 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
104	69, 103	jca 513	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   ∖ cdif 3943   ⊆ wss 3946  ifcif 4524   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  dom cdm 5672  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396   ∘_f cof 7655   ↑_m cmap 8808  ℂcc 11095  ℝcr 11096  1c1 11098   + caddc 11100   · cmul 11102   ≤ cle 11236   − cmin 11431   / cdiv 11858  ℕcn 12199  2c2 12254  ℕ₀cn0 12459  ℤcz 12545  seqcseq 13953  ↑cexp 14014  abscabs 15168   ⇝ cli 15415  πcpi 15997  ⇝_𝑢culm 25857  logclog 26032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175  ax-addf 11176  ax-mulf 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-fi 9393  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-q 12920  df-rp 12962  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13315  df-ioc 13316  df-ico 13317  df-icc 13318  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-mod 13822  df-seq 13954  df-exp 14015  df-fac 14221  df-bc 14250  df-hash 14278  df-shft 15001  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-limsup 15402  df-clim 15419  df-rlim 15420  df-sum 15620  df-ef 15998  df-sin 16000  df-cos 16001  df-tan 16002  df-pi 16003  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-hom 17208  df-cco 17209  df-rest 17355  df-topn 17356  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-topgen 17376  df-pt 17377  df-prds 17380  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-mulg 18936  df-cntz 19166  df-cmn 19634  df-psmet 20910  df-xmet 20911  df-met 20912  df-bl 20913  df-mopn 20914  df-fbas 20915  df-fg 20916  df-cnfld 20919  df-top 22365  df-topon 22382  df-topsp 22404  df-bases 22418  df-cld 22492  df-ntr 22493  df-cls 22494  df-nei 22571  df-lp 22609  df-perf 22610  df-cn 22700  df-cnp 22701  df-haus 22788  df-cmp 22860  df-tx 23035  df-hmeo 23228  df-fil 23319  df-fm 23411  df-flim 23412  df-flf 23413  df-xms 23795  df-ms 23796  df-tms 23797  df-cncf 24363  df-limc 25352  df-dv 25353  df-ulm 25858  df-log 26034  df-cxp 26035

This theorem is referenced by:  lgamgulm  26506  lgambdd  26508