Theorem lgamgulmlem6 25297

Description: The series 𝐺 is uniformly convergent on the compact region 𝑈, which describes a circle of radius 𝑅 with holes of size 1 / 𝑅 around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t	⊢ 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem6	⊢ (𝜑 → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈) ∧ (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑟   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑟,𝑧   𝑂,𝑟   𝜑,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧   𝑇,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem6

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12134	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		lgamgulm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
4		cnex 10471	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
5	3, 4	rabex2 5135	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
7		lgamgulm.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
8	7, 3	lgamgulmlem1 25292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
9	8	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
10		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑈)
11	9, 10	sseldd 3896	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
12	11	eldifad 3877	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
13		simplr 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℕ)
14	13	peano2nnd 11509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 12283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
16	13	nnrpd 12283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℝ+)
17	15, 16	rpdivcld 12302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
18	17	relogcld 24891	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10522	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
20	12, 19	mulcld 10514	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
21	13	nncnd 11508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ∈ ℂ)
22	13	nnne0d 11541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑚 ≠ 0)
23	12, 21, 22	divcld 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑧 / 𝑚) ∈ ℂ)
24		1cnd 10489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24	addcld 10513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
26	11, 13	dmgmdivn0 25291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
27	25, 26	logcld 24839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
28	20, 27	subcld 10851	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
29	28	fmpttd 6749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
30	4, 5	elmap 8292	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑈) ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
31	29, 30	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑈))
32		lgamgulm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
33	31, 32	fmptd 6748	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
34		lgamgulm.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
35		nnex 11498	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
36	35	mptex 6859	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)))) ∈ V
37	34, 36	eqeltri 2881	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
39	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
40	39	nnred 11507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
41		2re 11565	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
43		1red 10495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
44	40, 43	readdcld 10523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
45	42, 44	remulcld 10524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
46		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
47	46	nnsqcld 13459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑2) ∈ ℕ)
48	45, 47	nndivred 11545	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) ∈ ℝ)
49	40, 48	remulcld 10524	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) ∈ ℝ)
50	46	peano2nnd 11509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
51	50	nnrpd 12283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
52	46	nnrpd 12283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
53	51, 52	rpdivcld 12302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
54	53	relogcld 24891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
55	40, 54	remulcld 10524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℝ)
56	39	peano2nnd 11509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
57	56	nnrpd 12283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
58	57, 52	rpmulcld 12301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑚) ∈ ℝ+)
59	58	relogcld 24891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) ∈ ℝ)
60		pire 24731	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
62	59, 61	readdcld 10523	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) ∈ ℝ)
63	55, 62	readdcld 10523	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) ∈ ℝ)
64	49, 63	ifcld 4432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) ∈ ℝ)
65	64, 34	fmptd 6748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇:ℕ⟶ℝ)
66	65	ffvelrnda 6723	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑛) ∈ ℝ)
67	7, 3, 32, 34	lgamgulmlem5 25296	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (abs‘((𝐺‘𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇‘𝑛))
68	7, 3, 32, 34	lgamgulmlem4 25295	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
69	1, 2, 6, 33, 38, 66, 67, 68	mtest 24679	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈))
70		1zzd 11867	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 1 ∈ ℤ)
71	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝑈 ∈ V)
72	33	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑𝑚 𝑈))
73	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → 𝑇 ∈ V)
74	66	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘𝑛) ∈ ℝ)
75	67	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (abs‘((𝐺‘𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇‘𝑛))
76	68	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
77		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂))
78	1, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77	mtestbdd 24680	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟)
79		nfcv 2951	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧abs
80		nffvmpt1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)
81	79, 80	nffv 6555	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦))
82		nfcv 2951	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧 ≤
83		nfcv 2951	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝑟
84	81, 82, 83	nfbr 5015	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟
85		nfv 1896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟
86		2fveq3 6550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) = (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)))
87	86	breq1d 4978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟))
88	84, 85, 87	cbvral 3401	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟)
89		ulmcl 24656	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
90	89	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
91		eqid 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) = (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)
92	91	fmpt 6744	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂):𝑈⟶ℂ)
93	90, 92	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ)
94	91	fvmpt2 6652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧) = 𝑂)
95	94	fveq2d 6549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) = (abs‘𝑂))
96	95	breq1d 4978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑈 ∧ 𝑂 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
97	96	ralimiaa 3128	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 𝑂 ∈ ℂ → ∀𝑧 ∈ 𝑈 ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
98		ralbi 3136	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑈 ((abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟) → (∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
99	93, 97, 98	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
100	88, 99	syl5bb 284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
101	100	rexbidv 3262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (abs‘((𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
102	78, 101	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)
103	102	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
104	69, 103	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢‘𝑈) ∧ (seq1( ∘𝑓 + , 𝐺)(⇝𝑢‘𝑈)(𝑧 ∈ 𝑈 ↦ 𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  ∃wrex 3108  {crab 3111  Vcvv 3440   ∖ cdif 3862   ⊆ wss 3865  ifcif 4387   class class class wbr 4968   ↦ cmpt 5047  dom cdm 5450  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   ∘_𝑓 cof 7272   ↑_𝑚 cmap 8263  ℂcc 10388  ℝcr 10389  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395   ≤ cle 10529   − cmin 10723   / cdiv 11151  ℕcn 11492  2c2 11546  ℕ₀cn0 11751  ℤcz 11835  seqcseq 13223  ↑cexp 13283  abscabs 14431   ⇝ cli 14679  πcpi 15257  ⇝_𝑢culm 24651  logclog 24823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-dju 9183  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-sin 15260  df-cos 15261  df-tan 15262  df-pi 15263  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-cmp 21683  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152  df-ulm 24652  df-log 24825  df-cxp 24826

This theorem is referenced by:  lgamgulm  25298  lgambdd  25300