MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem6 26979
Description: The series 𝐺 is uniformly convergent on the compact region π‘ˆ, which describes a circle of radius 𝑅 with holes of size 1 / 𝑅 around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
lgamgulm.u π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
lgamgulm.t 𝑇 = (π‘š ∈ β„• ↦ if((2 Β· 𝑅) ≀ π‘š, (𝑅 Β· ((2 Β· (𝑅 + 1)) / (π‘šβ†‘2))), ((𝑅 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) + ((logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) + Ο€))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem6 (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   𝐺,π‘Ÿ   π‘˜,π‘š,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧,𝑅   π‘ˆ,π‘š,π‘Ÿ,𝑧   𝑂,π‘Ÿ   πœ‘,π‘š,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   𝑇,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝑇(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)   π‘ˆ(π‘₯,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)   𝑂(π‘₯,𝑧,π‘˜,π‘š)

Proof of Theorem lgamgulmlem6
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12890 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12618 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 lgamgulm.u . . . . 5 π‘ˆ = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ ((absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (1 / 𝑅) ≀ (absβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))}
4 cnex 11214 . . . . 5 β„‚ ∈ V
53, 4rabex2 5332 . . . 4 π‘ˆ ∈ V
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
7 lgamgulm.r . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„•)
87, 3lgamgulmlem1 26974 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
98ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
10 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
119, 10sseldd 3974 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
1211eldifad 3953 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
13 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘š ∈ β„•)
1413peano2nnd 12254 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
1514nnrpd 13041 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ+)
1613nnrpd 13041 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
1715, 16rpdivcld 13060 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) ∈ ℝ+)
1817relogcld 26570 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) ∈ ℝ)
1918recnd 11267 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) ∈ β„‚)
2012, 19mulcld 11259 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) ∈ β„‚)
2113nncnd 12253 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘š ∈ β„‚)
2213nnne0d 12287 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘š β‰  0)
2312, 21, 22divcld 12015 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑧 / π‘š) ∈ β„‚)
24 1cnd 11234 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 1 ∈ β„‚)
2523, 24addcld 11258 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑧 / π‘š) + 1) ∈ β„‚)
2611, 13dmgmdivn0 26973 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑧 / π‘š) + 1) β‰  0)
2725, 26logcld 26517 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)) ∈ β„‚)
2820, 27subcld 11596 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1))) ∈ β„‚)
2928fmpttd 7118 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))):π‘ˆβŸΆβ„‚)
304, 5elmap 8883 . . . . 5 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))) ∈ (β„‚ ↑m π‘ˆ) ↔ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))):π‘ˆβŸΆβ„‚)
3129, 30sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))) ∈ (β„‚ ↑m π‘ˆ))
32 lgamgulm.g . . . 4 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ ((𝑧 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝑧 / π‘š) + 1)))))
3331, 32fmptd 7117 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
34 lgamgulm.t . . . . 5 𝑇 = (π‘š ∈ β„• ↦ if((2 Β· 𝑅) ≀ π‘š, (𝑅 Β· ((2 Β· (𝑅 + 1)) / (π‘šβ†‘2))), ((𝑅 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) + ((logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) + Ο€))))
35 nnex 12243 . . . . . 6 β„• ∈ V
3635mptex 7229 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• ↦ if((2 Β· 𝑅) ≀ π‘š, (𝑅 Β· ((2 Β· (𝑅 + 1)) / (π‘šβ†‘2))), ((𝑅 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) + ((logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) + Ο€)))) ∈ V
3734, 36eqeltri 2821 . . . 4 𝑇 ∈ V
3837a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
397adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑅 ∈ β„•)
4039nnred 12252 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
41 2re 12311 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ)
43 1red 11240 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
4440, 43readdcld 11268 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 11269 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (2 Β· (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
46 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
4746nnsqcld 14233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘šβ†‘2) ∈ β„•)
4845, 47nndivred 12291 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((2 Β· (𝑅 + 1)) / (π‘šβ†‘2)) ∈ ℝ)
4940, 48remulcld 11269 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑅 Β· ((2 Β· (𝑅 + 1)) / (π‘šβ†‘2))) ∈ ℝ)
5046peano2nnd 12254 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
5150nnrpd 13041 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ+)
5246nnrpd 13041 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
5351, 52rpdivcld 13060 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) ∈ ℝ+)
5453relogcld 26570 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) ∈ ℝ)
5540, 54remulcld 11269 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑅 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) ∈ ℝ)
5639peano2nnd 12254 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑅 + 1) ∈ β„•)
5756nnrpd 13041 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
5857, 52rpmulcld 13059 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑅 + 1) Β· π‘š) ∈ ℝ+)
5958relogcld 26570 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) ∈ ℝ)
60 pire 26406 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
6259, 61readdcld 11268 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) + Ο€) ∈ ℝ)
6355, 62readdcld 11268 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑅 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) + ((logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) + Ο€)) ∈ ℝ)
6449, 63ifcld 4571 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ if((2 Β· 𝑅) ≀ π‘š, (𝑅 Β· ((2 Β· (𝑅 + 1)) / (π‘šβ†‘2))), ((𝑅 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) + ((logβ€˜((𝑅 + 1) Β· π‘š)) + Ο€))) ∈ ℝ)
6564, 34fmptd 7117 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇:β„•βŸΆβ„)
6665ffvelcdmda 7087 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) ∈ ℝ)
677, 3, 32, 34lgamgulmlem5 26978 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ≀ (π‘‡β€˜π‘›))
687, 3, 32, 34lgamgulmlem4 26977 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
691, 2, 6, 33, 38, 66, 67, 68mtest 26353 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ))
70 1zzd 12618 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ 1 ∈ β„€)
715a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
7233adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ 𝐺:β„•βŸΆ(β„‚ ↑m π‘ˆ))
7337a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ 𝑇 ∈ V)
7466adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) ∈ ℝ)
7567adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ≀ (π‘‡β€˜π‘›))
7668adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
77 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂))
781, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77mtestbdd 26354 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ)
79 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧abs
80 nffvmpt1 6901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑧((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)
8179, 80nffv 6900 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧(absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦))
82 nfcv 2892 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑧 ≀
83 nfcv 2892 . . . . . . . 8 β„²π‘§π‘Ÿ
8481, 82, 83nfbr 5191 . . . . . . 7 Ⅎ𝑧(absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ
85 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦(absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ
86 2fveq3 6895 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) = (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)))
8786breq1d 5154 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ))
8884, 85, 87cbvralw 3294 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ)
89 ulmcl 26330 . . . . . . . . 9 (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂) β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂):π‘ˆβŸΆβ„‚)
9089adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂):π‘ˆβŸΆβ„‚)
91 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂) = (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)
9291fmpt 7113 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ 𝑂 ∈ β„‚ ↔ (𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂):π‘ˆβŸΆβ„‚)
9390, 92sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ 𝑂 ∈ β„‚)
9491fvmpt2 7009 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑂 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§) = 𝑂)
9594fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑂 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) = (absβ€˜π‘‚))
9695breq1d 5154 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑂 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ ↔ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
9796ralimiaa 3072 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ 𝑂 ∈ β„‚ β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ ((absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ ↔ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
98 ralbi 3093 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ ((absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ ↔ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
9993, 97, 983syl 18 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘§)) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
10088, 99bitrid 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
101100rexbidv 3169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (absβ€˜((𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
10278, 101mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ)
103102ex 411 . 2 (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ))
10469, 103jca 510 1 (πœ‘ β†’ (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘ˆ) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(β‡π‘’β€˜π‘ˆ)(𝑧 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑂) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ (absβ€˜π‘‚) ≀ π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3938   βŠ† wss 3941  ifcif 4525   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  dom cdm 5673  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ∘f cof 7677   ↑m cmap 8838  β„‚cc 11131  β„cr 11132  1c1 11134   + caddc 11136   Β· cmul 11138   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  β„•cn 12237  2c2 12292  β„•0cn0 12497  β„€cz 12583  seqcseq 13993  β†‘cexp 14053  abscabs 15208   ⇝ cli 15455  Ο€cpi 16037  β‡π‘’culm 26325  logclog 26501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-tan 16042  df-pi 16043  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-ulm 26326  df-log 26503  df-cxp 26504
This theorem is referenced by:  lgamgulm  26980  lgambdd  26982
  Copyright terms: Public domain W3C validator