Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nnuz 12865 |
. . 3
β’ β =
(β€β₯β1) |
2 | | 1zzd 12593 |
. . 3
β’ (π β 1 β
β€) |
3 | | lgamgulm.u |
. . . . 5
β’ π = {π₯ β β β£ ((absβπ₯) β€ π
β§ βπ β β0 (1 / π
) β€ (absβ(π₯ + π)))} |
4 | | cnex 11191 |
. . . . 5
β’ β
β V |
5 | 3, 4 | rabex2 5335 |
. . . 4
β’ π β V |
6 | 5 | a1i 11 |
. . 3
β’ (π β π β V) |
7 | | lgamgulm.r |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π
β β) |
8 | 7, 3 | lgamgulmlem1 26533 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β (β β (β€ β
β))) |
9 | 8 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β π β (β β (β€ β
β))) |
10 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β π§ β π) |
11 | 9, 10 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β π§ β (β β (β€ β
β))) |
12 | 11 | eldifad 3961 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β π§ β β) |
13 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β π β β) |
14 | 13 | peano2nnd 12229 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β (π + 1) β β) |
15 | 14 | nnrpd 13014 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β (π + 1) β
β+) |
16 | 13 | nnrpd 13014 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β π β β+) |
17 | 15, 16 | rpdivcld 13033 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β ((π + 1) / π) β
β+) |
18 | 17 | relogcld 26131 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β (logβ((π + 1) / π)) β β) |
19 | 18 | recnd 11242 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β (logβ((π + 1) / π)) β β) |
20 | 12, 19 | mulcld 11234 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β (π§ Β· (logβ((π + 1) / π))) β β) |
21 | 13 | nncnd 12228 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β π β β) |
22 | 13 | nnne0d 12262 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β π β 0) |
23 | 12, 21, 22 | divcld 11990 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β (π§ / π) β β) |
24 | | 1cnd 11209 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β 1 β β) |
25 | 23, 24 | addcld 11233 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β ((π§ / π) + 1) β β) |
26 | 11, 13 | dmgmdivn0 26532 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β ((π§ / π) + 1) β 0) |
27 | 25, 26 | logcld 26079 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β (logβ((π§ / π) + 1)) β β) |
28 | 20, 27 | subcld 11571 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β) β§ π§ β π) β ((π§ Β· (logβ((π + 1) / π))) β (logβ((π§ / π) + 1))) β β) |
29 | 28 | fmpttd 7115 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β (π§ β π β¦ ((π§ Β· (logβ((π + 1) / π))) β (logβ((π§ / π) + 1)))):πβΆβ) |
30 | 4, 5 | elmap 8865 |
. . . . 5
β’ ((π§ β π β¦ ((π§ Β· (logβ((π + 1) / π))) β (logβ((π§ / π) + 1)))) β (β βm
π) β (π§ β π β¦ ((π§ Β· (logβ((π + 1) / π))) β (logβ((π§ / π) + 1)))):πβΆβ) |
31 | 29, 30 | sylibr 233 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β) β (π§ β π β¦ ((π§ Β· (logβ((π + 1) / π))) β (logβ((π§ / π) + 1)))) β (β βm
π)) |
32 | | lgamgulm.g |
. . . 4
β’ πΊ = (π β β β¦ (π§ β π β¦ ((π§ Β· (logβ((π + 1) / π))) β (logβ((π§ / π) + 1))))) |
33 | 31, 32 | fmptd 7114 |
. . 3
β’ (π β πΊ:ββΆ(β βm
π)) |
34 | | lgamgulm.t |
. . . . 5
β’ π = (π β β β¦ if((2 Β· π
) β€ π, (π
Β· ((2 Β· (π
+ 1)) / (πβ2))), ((π
Β· (logβ((π + 1) / π))) + ((logβ((π
+ 1) Β· π)) + Ο)))) |
35 | | nnex 12218 |
. . . . . 6
β’ β
β V |
36 | 35 | mptex 7225 |
. . . . 5
β’ (π β β β¦ if((2
Β· π
) β€ π, (π
Β· ((2 Β· (π
+ 1)) / (πβ2))), ((π
Β· (logβ((π + 1) / π))) + ((logβ((π
+ 1) Β· π)) + Ο)))) β V |
37 | 34, 36 | eqeltri 2830 |
. . . 4
β’ π β V |
38 | 37 | a1i 11 |
. . 3
β’ (π β π β V) |
39 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β π
β β) |
40 | 39 | nnred 12227 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β π
β β) |
41 | | 2re 12286 |
. . . . . . . . . 10
β’ 2 β
β |
42 | 41 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β 2 β
β) |
43 | | 1red 11215 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β 1 β
β) |
44 | 40, 43 | readdcld 11243 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β (π
+ 1) β β) |
45 | 42, 44 | remulcld 11244 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (2 Β· (π
+ 1)) β
β) |
46 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
47 | 46 | nnsqcld 14207 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (πβ2) β β) |
48 | 45, 47 | nndivred 12266 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β ((2 Β· (π
+ 1)) / (πβ2)) β β) |
49 | 40, 48 | remulcld 11244 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β (π
Β· ((2 Β· (π
+ 1)) / (πβ2))) β β) |
50 | 46 | peano2nnd 12229 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β (π + 1) β β) |
51 | 50 | nnrpd 13014 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β (π + 1) β
β+) |
52 | 46 | nnrpd 13014 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β π β β+) |
53 | 51, 52 | rpdivcld 13033 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β ((π + 1) / π) β
β+) |
54 | 53 | relogcld 26131 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (logβ((π + 1) / π)) β β) |
55 | 40, 54 | remulcld 11244 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β (π
Β· (logβ((π + 1) / π))) β β) |
56 | 39 | peano2nnd 12229 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π β β) β (π
+ 1) β β) |
57 | 56 | nnrpd 13014 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π β β) β (π
+ 1) β
β+) |
58 | 57, 52 | rpmulcld 13032 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π β β) β ((π
+ 1) Β· π) β
β+) |
59 | 58 | relogcld 26131 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β (logβ((π
+ 1) Β· π)) β
β) |
60 | | pire 25968 |
. . . . . . . . 9
β’ Ο
β β |
61 | 60 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β) β Ο β
β) |
62 | 59, 61 | readdcld 11243 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β) β ((logβ((π
+ 1) Β· π)) + Ο) β
β) |
63 | 55, 62 | readdcld 11243 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β) β ((π
Β· (logβ((π + 1) / π))) + ((logβ((π
+ 1) Β· π)) + Ο)) β β) |
64 | 49, 63 | ifcld 4575 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β) β if((2 Β· π
) β€ π, (π
Β· ((2 Β· (π
+ 1)) / (πβ2))), ((π
Β· (logβ((π + 1) / π))) + ((logβ((π
+ 1) Β· π)) + Ο))) β β) |
65 | 64, 34 | fmptd 7114 |
. . . 4
β’ (π β π:ββΆβ) |
66 | 65 | ffvelcdmda 7087 |
. . 3
β’ ((π β§ π β β) β (πβπ) β β) |
67 | 7, 3, 32, 34 | lgamgulmlem5 26537 |
. . 3
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β π)) β (absβ((πΊβπ)βπ¦)) β€ (πβπ)) |
68 | 7, 3, 32, 34 | lgamgulmlem4 26536 |
. . 3
β’ (π β seq1( + , π) β dom β
) |
69 | 1, 2, 6, 33, 38, 66, 67, 68 | mtest 25916 |
. 2
β’ (π β seq1( βf
+ , πΊ) β dom
(βπ’βπ)) |
70 | | 1zzd 12593 |
. . . . 5
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β 1 β β€) |
71 | 5 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β π β V) |
72 | 33 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β πΊ:ββΆ(β βm
π)) |
73 | 37 | a1i 11 |
. . . . 5
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β π β V) |
74 | 66 | adantlr 714 |
. . . . 5
β’ (((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β§ π β β) β (πβπ) β β) |
75 | 67 | adantlr 714 |
. . . . 5
β’ (((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β§ (π β β β§ π¦ β π)) β (absβ((πΊβπ)βπ¦)) β€ (πβπ)) |
76 | 68 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β seq1( + , π) β dom β ) |
77 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β seq1( βf + ,
πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) |
78 | 1, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77 | mtestbdd 25917 |
. . . 4
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β βπ β β βπ¦ β π (absβ((π§ β π β¦ π)βπ¦)) β€ π) |
79 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π§abs |
80 | | nffvmpt1 6903 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π§((π§ β π β¦ π)βπ¦) |
81 | 79, 80 | nffv 6902 |
. . . . . . . 8
β’
β²π§(absβ((π§ β π β¦ π)βπ¦)) |
82 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . 8
β’
β²π§
β€ |
83 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . 8
β’
β²π§π |
84 | 81, 82, 83 | nfbr 5196 |
. . . . . . 7
β’
β²π§(absβ((π§ β π β¦ π)βπ¦)) β€ π |
85 | | nfv 1918 |
. . . . . . 7
β’
β²π¦(absβ((π§ β π β¦ π)βπ§)) β€ π |
86 | | 2fveq3 6897 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ = π§ β (absβ((π§ β π β¦ π)βπ¦)) = (absβ((π§ β π β¦ π)βπ§))) |
87 | 86 | breq1d 5159 |
. . . . . . 7
β’ (π¦ = π§ β ((absβ((π§ β π β¦ π)βπ¦)) β€ π β (absβ((π§ β π β¦ π)βπ§)) β€ π)) |
88 | 84, 85, 87 | cbvralw 3304 |
. . . . . 6
β’
(βπ¦ β
π (absβ((π§ β π β¦ π)βπ¦)) β€ π β βπ§ β π (absβ((π§ β π β¦ π)βπ§)) β€ π) |
89 | | ulmcl 25893 |
. . . . . . . . 9
β’ (seq1(
βf + , πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π) β (π§ β π β¦ π):πβΆβ) |
90 | 89 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β (π§ β π β¦ π):πβΆβ) |
91 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
β’ (π§ β π β¦ π) = (π§ β π β¦ π) |
92 | 91 | fmpt 7110 |
. . . . . . . 8
β’
(βπ§ β
π π β β β (π§ β π β¦ π):πβΆβ) |
93 | 90, 92 | sylibr 233 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β βπ§ β π π β β) |
94 | 91 | fvmpt2 7010 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π§ β π β§ π β β) β ((π§ β π β¦ π)βπ§) = π) |
95 | 94 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π§ β π β§ π β β) β (absβ((π§ β π β¦ π)βπ§)) = (absβπ)) |
96 | 95 | breq1d 5159 |
. . . . . . . 8
β’ ((π§ β π β§ π β β) β ((absβ((π§ β π β¦ π)βπ§)) β€ π β (absβπ) β€ π)) |
97 | 96 | ralimiaa 3083 |
. . . . . . 7
β’
(βπ§ β
π π β β β βπ§ β π ((absβ((π§ β π β¦ π)βπ§)) β€ π β (absβπ) β€ π)) |
98 | | ralbi 3104 |
. . . . . . 7
β’
(βπ§ β
π ((absβ((π§ β π β¦ π)βπ§)) β€ π β (absβπ) β€ π) β (βπ§ β π (absβ((π§ β π β¦ π)βπ§)) β€ π β βπ§ β π (absβπ) β€ π)) |
99 | 93, 97, 98 | 3syl 18 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β (βπ§ β π (absβ((π§ β π β¦ π)βπ§)) β€ π β βπ§ β π (absβπ) β€ π)) |
100 | 88, 99 | bitrid 283 |
. . . . 5
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β (βπ¦ β π (absβ((π§ β π β¦ π)βπ¦)) β€ π β βπ§ β π (absβπ) β€ π)) |
101 | 100 | rexbidv 3179 |
. . . 4
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β (βπ β β βπ¦ β π (absβ((π§ β π β¦ π)βπ¦)) β€ π β βπ β β βπ§ β π (absβπ) β€ π)) |
102 | 78, 101 | mpbid 231 |
. . 3
β’ ((π β§ seq1( βf +
, πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π)) β βπ β β βπ§ β π (absβπ) β€ π) |
103 | 102 | ex 414 |
. 2
β’ (π β (seq1( βf
+ , πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π) β βπ β β βπ§ β π (absβπ) β€ π)) |
104 | 69, 103 | jca 513 |
1
β’ (π β (seq1( βf
+ , πΊ) β dom
(βπ’βπ) β§ (seq1( βf + , πΊ)(βπ’βπ)(π§ β π β¦ π) β βπ β β βπ§ β π (absβπ) β€ π))) |