MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem6 26505
Description: The series 𝐺 is uniformly convergent on the compact region 𝑈, which describes a circle of radius 𝑅 with holes of size 1 / 𝑅 around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem6 (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑟   𝑘,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑟,𝑧   𝑂,𝑟   𝜑,𝑚,𝑟,𝑥,𝑧   𝑇,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem6
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12852 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12580 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 lgamgulm.u . . . . 5 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
4 cnex 11178 . . . . 5 ℂ ∈ V
53, 4rabex2 5330 . . . 4 𝑈 ∈ V
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ V)
7 lgamgulm.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
87, 3lgamgulmlem1 26500 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
10 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
119, 10sseldd 3981 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
1211eldifad 3958 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ ℂ)
13 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℕ)
1413peano2nnd 12216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
1514nnrpd 13001 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
1613nnrpd 13001 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1715, 16rpdivcld 13020 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
1817relogcld 26100 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
1918recnd 11229 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
2012, 19mulcld 11221 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
2113nncnd 12215 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ∈ ℂ)
2213nnne0d 12249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑚 ≠ 0)
2312, 21, 22divcld 11977 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑧 / 𝑚) ∈ ℂ)
24 1cnd 11196 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → 1 ∈ ℂ)
2523, 24addcld 11220 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
2611, 13dmgmdivn0 26499 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
2725, 26logcld 26048 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
2820, 27subcld 11558 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
2928fmpttd 7102 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
304, 5elmap 8853 . . . . 5 ((𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑m 𝑈) ↔ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))):𝑈⟶ℂ)
3129, 30sylibr 233 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))) ∈ (ℂ ↑m 𝑈))
32 lgamgulm.g . . . 4 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
3331, 32fmptd 7101 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
34 lgamgulm.t . . . . 5 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
35 nnex 12205 . . . . . 6 ℕ ∈ V
3635mptex 7212 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)))) ∈ V
3734, 36eqeltri 2830 . . . 4 𝑇 ∈ V
3837a1i 11 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
397adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
4039nnred 12214 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
41 2re 12273 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
43 1red 11202 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
4440, 43readdcld 11230 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 11231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
46 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
4746nnsqcld 14194 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑2) ∈ ℕ)
4845, 47nndivred 12253 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) ∈ ℝ)
4940, 48remulcld 11231 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) ∈ ℝ)
5046peano2nnd 12216 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
5150nnrpd 13001 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
5246nnrpd 13001 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
5351, 52rpdivcld 13020 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
5453relogcld 26100 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
5540, 54remulcld 11231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℝ)
5639peano2nnd 12216 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
5756nnrpd 13001 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
5857, 52rpmulcld 13019 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑚) ∈ ℝ+)
5958relogcld 26100 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) ∈ ℝ)
60 pire 25937 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
6259, 61readdcld 11230 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) ∈ ℝ)
6355, 62readdcld 11230 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) ∈ ℝ)
6449, 63ifcld 4570 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) ∈ ℝ)
6564, 34fmptd 7101 . . . 4 (𝜑𝑇:ℕ⟶ℝ)
6665ffvelcdmda 7074 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
677, 3, 32, 34lgamgulmlem5 26504 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑈)) → (abs‘((𝐺𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇𝑛))
687, 3, 32, 34lgamgulmlem4 26503 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
691, 2, 6, 33, 38, 66, 67, 68mtest 25885 . 2 (𝜑 → seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈))
70 1zzd 12580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 1 ∈ ℤ)
715a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝑈 ∈ V)
7233adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝐺:ℕ⟶(ℂ ↑m 𝑈))
7337a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → 𝑇 ∈ V)
7466adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
7567adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑈)) → (abs‘((𝐺𝑛)‘𝑦)) ≤ (𝑇𝑛))
7668adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
77 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂))
781, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77mtestbdd 25886 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟)
79 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑧abs
80 nffvmpt1 6892 . . . . . . . . 9 𝑧((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)
8179, 80nffv 6891 . . . . . . . 8 𝑧(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦))
82 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑧
83 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑧𝑟
8481, 82, 83nfbr 5191 . . . . . . 7 𝑧(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟
85 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑦(abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟
86 2fveq3 6886 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) = (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)))
8786breq1d 5154 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟))
8884, 85, 87cbvralw 3304 . . . . . 6 (∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟)
89 ulmcl 25862 . . . . . . . . 9 (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
9089adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
91 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑈𝑂) = (𝑧𝑈𝑂)
9291fmpt 7097 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ ↔ (𝑧𝑈𝑂):𝑈⟶ℂ)
9390, 92sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ)
9491fvmpt2 6998 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → ((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧) = 𝑂)
9594fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) = (abs‘𝑂))
9695breq1d 5154 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑈𝑂 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
9796ralimiaa 3083 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑈 𝑂 ∈ ℂ → ∀𝑧𝑈 ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
98 ralbi 3104 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑈 ((abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ (abs‘𝑂) ≤ 𝑟) → (∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
9993, 97, 983syl 18 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∀𝑧𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10088, 99bitrid 283 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
101100rexbidv 3179 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 (abs‘((𝑧𝑈𝑂)‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10278, 101mpbid 231 . . 3 ((𝜑 ∧ seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)
103102ex 414 . 2 (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟))
10469, 103jca 513 1 (𝜑 → (seq1( ∘f + , 𝐺) ∈ dom (⇝𝑢𝑈) ∧ (seq1( ∘f + , 𝐺)(⇝𝑢𝑈)(𝑧𝑈𝑂) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑧𝑈 (abs‘𝑂) ≤ 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  cdif 3943  wss 3946  ifcif 4524   class class class wbr 5144  cmpt 5227  dom cdm 5672  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396  f cof 7655  m cmap 8808  cc 11095  cr 11096  1c1 11098   + caddc 11100   · cmul 11102  cle 11236  cmin 11431   / cdiv 11858  cn 12199  2c2 12254  0cn0 12459  cz 12545  seqcseq 13953  cexp 14014  abscabs 15168  cli 15415  πcpi 15997  𝑢culm 25857  logclog 26032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175  ax-addf 11176  ax-mulf 11177
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-fi 9393  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-q 12920  df-rp 12962  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13315  df-ioc 13316  df-ico 13317  df-icc 13318  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-mod 13822  df-seq 13954  df-exp 14015  df-fac 14221  df-bc 14250  df-hash 14278  df-shft 15001  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-limsup 15402  df-clim 15419  df-rlim 15420  df-sum 15620  df-ef 15998  df-sin 16000  df-cos 16001  df-tan 16002  df-pi 16003  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-hom 17208  df-cco 17209  df-rest 17355  df-topn 17356  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-topgen 17376  df-pt 17377  df-prds 17380  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-mulg 18936  df-cntz 19166  df-cmn 19634  df-psmet 20910  df-xmet 20911  df-met 20912  df-bl 20913  df-mopn 20914  df-fbas 20915  df-fg 20916  df-cnfld 20919  df-top 22365  df-topon 22382  df-topsp 22404  df-bases 22418  df-cld 22492  df-ntr 22493  df-cls 22494  df-nei 22571  df-lp 22609  df-perf 22610  df-cn 22700  df-cnp 22701  df-haus 22788  df-cmp 22860  df-tx 23035  df-hmeo 23228  df-fil 23319  df-fm 23411  df-flim 23412  df-flf 23413  df-xms 23795  df-ms 23796  df-tms 23797  df-cncf 24363  df-limc 25352  df-dv 25353  df-ulm 25858  df-log 26034  df-cxp 26035
This theorem is referenced by:  lgamgulm  26506  lgambdd  26508
  Copyright terms: Public domain W3C validator