Theorem nn0mulcl 12562

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers. (Contributed by NM, 22-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12271	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		id 22	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ ⊆ ℂ)
3		df-n0 12527	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
4		nnmulcl 12290	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
6	2, 3, 5	un0mulcl 12560	. 2 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	mpan 690	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   · cmul 11160  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-nn 12267  df-n0 12527

This theorem is referenced by:  nn0mulcli  12564  nn0mulcld  12592  zmulcl  12666  nn0expcl  14116  expmul  14148  expmulnbnd  14274  iseraltlem2  15719  iseraltlem3  15720  fprodnn0cl  15993  nn0risefaccl  16058  crth  16815  iserodd  16873  vdwlem8  17026  smndex2dlinvh  18930  nn0srg  21455  elqaalem2  26362  atantayl3  26982  leibpilem2  26984  leibpi  26985  leibpisum  26986  log2cnv  26987  log2tlbnd  26988  log2ublem2  26990  log2ub  26992  basellem3  27126  chtublem  27255  bcmax  27322  bcp1ctr  27323  bclbnd  27324  dchrisumlem1  27533  nn0xmulclb  32775  fac2xp3  42240