![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > nn0mulcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of multiplication of nonnegative integers. (Contributed by NM, 22-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
nn0mulcl | โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ ยท ๐) โ โ0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nnsscn 12159 | . 2 โข โ โ โ | |
2 | id 22 | . . 3 โข (โ โ โ โ โ โ โ) | |
3 | df-n0 12415 | . . 3 โข โ0 = (โ โช {0}) | |
4 | nnmulcl 12178 | . . . 4 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท ๐) โ โ) | |
5 | 4 | adantl 483 | . . 3 โข ((โ โ โ โง (๐ โ โ โง ๐ โ โ)) โ (๐ ยท ๐) โ โ) |
6 | 2, 3, 5 | un0mulcl 12448 | . 2 โข ((โ โ โ โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ (๐ ยท ๐) โ โ0) |
7 | 1, 6 | mpan 689 | 1 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ ยท ๐) โ โ0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โ wcel 2107 โ wss 3911 (class class class)co 7358 โcc 11050 ยท cmul 11057 โcn 12154 โ0cn0 12414 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-ov 7361 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-ltxr 11195 df-nn 12155 df-n0 12415 |
This theorem is referenced by: nn0mulcli 12452 nn0mulcld 12479 zmulcl 12553 nn0expcl 13982 expmul 14014 expmulnbnd 14139 iseraltlem2 15568 iseraltlem3 15569 fprodnn0cl 15841 nn0risefaccl 15906 crth 16651 iserodd 16708 vdwlem8 16861 smndex2dlinvh 18728 nn0srg 20870 elqaalem2 25683 atantayl3 26292 leibpilem2 26294 leibpi 26295 leibpisum 26296 log2cnv 26297 log2tlbnd 26298 log2ublem2 26300 log2ub 26302 basellem3 26435 chtublem 26562 bcmax 26629 bcp1ctr 26630 bclbnd 26631 dchrisumlem1 26840 nn0xmulclb 31679 fac2xp3 40615 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |