MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0mulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0mulcl 12450
Description: Closure of multiplication of nonnegative integers. (Contributed by NM, 22-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0mulcl ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)

Proof of Theorem nn0mulcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 12159 . 2 โ„• โŠ† โ„‚
2 id 22 . . 3 (โ„• โŠ† โ„‚ โ†’ โ„• โŠ† โ„‚)
3 df-n0 12415 . . 3 โ„•0 = (โ„• โˆช {0})
4 nnmulcl 12178 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
54adantl 483 . . 3 ((โ„• โŠ† โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
62, 3, 5un0mulcl 12448 . 2 ((โ„• โŠ† โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
71, 6mpan 689 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3911  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050   ยท cmul 11057  โ„•cn 12154  โ„•0cn0 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-nn 12155  df-n0 12415
This theorem is referenced by:  nn0mulcli  12452  nn0mulcld  12479  zmulcl  12553  nn0expcl  13982  expmul  14014  expmulnbnd  14139  iseraltlem2  15568  iseraltlem3  15569  fprodnn0cl  15841  nn0risefaccl  15906  crth  16651  iserodd  16708  vdwlem8  16861  smndex2dlinvh  18728  nn0srg  20870  elqaalem2  25683  atantayl3  26292  leibpilem2  26294  leibpi  26295  leibpisum  26296  log2cnv  26297  log2tlbnd  26298  log2ublem2  26300  log2ub  26302  basellem3  26435  chtublem  26562  bcmax  26629  bcp1ctr  26630  bclbnd  26631  dchrisumlem1  26840  nn0xmulclb  31679  fac2xp3  40615
  Copyright terms: Public domain W3C validator