![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > nn0mulcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of multiplication of nonnegative integers. (Contributed by NM, 22-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
nn0mulcl | โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ ยท ๐) โ โ0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nnsscn 12219 | . 2 โข โ โ โ | |
2 | id 22 | . . 3 โข (โ โ โ โ โ โ โ) | |
3 | df-n0 12475 | . . 3 โข โ0 = (โ โช {0}) | |
4 | nnmulcl 12238 | . . . 4 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท ๐) โ โ) | |
5 | 4 | adantl 482 | . . 3 โข ((โ โ โ โง (๐ โ โ โง ๐ โ โ)) โ (๐ ยท ๐) โ โ) |
6 | 2, 3, 5 | un0mulcl 12508 | . 2 โข ((โ โ โ โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ (๐ ยท ๐) โ โ0) |
7 | 1, 6 | mpan 688 | 1 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ ยท ๐) โ โ0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โ wcel 2106 โ wss 3948 (class class class)co 7411 โcc 11110 ยท cmul 11117 โcn 12214 โ0cn0 12474 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7727 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7414 df-om 7858 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11252 df-mnf 11253 df-ltxr 11255 df-nn 12215 df-n0 12475 |
This theorem is referenced by: nn0mulcli 12512 nn0mulcld 12539 zmulcl 12613 nn0expcl 14043 expmul 14075 expmulnbnd 14200 iseraltlem2 15631 iseraltlem3 15632 fprodnn0cl 15903 nn0risefaccl 15968 crth 16713 iserodd 16770 vdwlem8 16923 smndex2dlinvh 18800 nn0srg 21021 elqaalem2 25840 atantayl3 26451 leibpilem2 26453 leibpi 26454 leibpisum 26455 log2cnv 26456 log2tlbnd 26457 log2ublem2 26459 log2ub 26461 basellem3 26594 chtublem 26721 bcmax 26788 bcp1ctr 26789 bclbnd 26790 dchrisumlem1 26999 nn0xmulclb 32022 fac2xp3 41106 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |