![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > nn0mulcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of multiplication of nonnegative integers. (Contributed by NM, 22-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
nn0mulcl | โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ ยท ๐) โ โ0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nnsscn 12216 | . 2 โข โ โ โ | |
2 | id 22 | . . 3 โข (โ โ โ โ โ โ โ) | |
3 | df-n0 12472 | . . 3 โข โ0 = (โ โช {0}) | |
4 | nnmulcl 12235 | . . . 4 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ ยท ๐) โ โ) | |
5 | 4 | adantl 482 | . . 3 โข ((โ โ โ โง (๐ โ โ โง ๐ โ โ)) โ (๐ ยท ๐) โ โ) |
6 | 2, 3, 5 | un0mulcl 12505 | . 2 โข ((โ โ โ โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ (๐ ยท ๐) โ โ0) |
7 | 1, 6 | mpan 688 | 1 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0) โ (๐ ยท ๐) โ โ0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โ wcel 2106 โ wss 3948 (class class class)co 7408 โcc 11107 ยท cmul 11114 โcn 12211 โ0cn0 12471 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7411 df-om 7855 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-ltxr 11252 df-nn 12212 df-n0 12472 |
This theorem is referenced by: nn0mulcli 12509 nn0mulcld 12536 zmulcl 12610 nn0expcl 14040 expmul 14072 expmulnbnd 14197 iseraltlem2 15628 iseraltlem3 15629 fprodnn0cl 15900 nn0risefaccl 15965 crth 16710 iserodd 16767 vdwlem8 16920 smndex2dlinvh 18797 nn0srg 21014 elqaalem2 25832 atantayl3 26441 leibpilem2 26443 leibpi 26444 leibpisum 26445 log2cnv 26446 log2tlbnd 26447 log2ublem2 26449 log2ub 26451 basellem3 26584 chtublem 26711 bcmax 26778 bcp1ctr 26779 bclbnd 26780 dchrisumlem1 26989 nn0xmulclb 31979 fac2xp3 41015 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |