Theorem nn0mulcl 12535

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers. (Contributed by NM, 22-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12233	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		id 23	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ ⊆ ℂ)
3		df-n0 12500	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
4		nnmulcl 12252	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
5	4	adantl 486	. . 3 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
6	2, 3, 5	un0mulcl 12533	. 2 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	mpan 702	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  (class class class)co 7410  ℂcc 11093   · cmul 11100  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-nn 12229  df-n0 12500

This theorem is referenced by:  nn0mulcli  12537  nn0mulcld  12565  zmulcl  12638  nn0expcl  14107  expmul  14139  expmulnbnd  14267  iseraltlem2  15730  iseraltlem3  15731  fprodnn0cl  16007  nn0risefaccl  16072  crth  16832  iserodd  16890  vdwlem8  17043  smndex2dlinvh  18974  nn0srg  21587  elqaalem2  26481  atantayl3  27104  leibpilem2  27106  leibpi  27107  leibpisum  27108  log2cnv  27109  log2tlbnd  27110  log2ublem2  27112  log2ub  27114  basellem3  27247  chtublem  27375  bcmax  27442  bcp1ctr  27443  bclbnd  27444  dchrisumlem1  27653  nn0xmulclb  33116