Theorem weiunso 36641

Description: A strict ordering on an indexed union can be constructed from a well-ordering on its index class and a collection of strict orderings on its members. (Contributed by Matthew House, 23-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
weiun.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (℩𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
weiun.2	⊢ 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑧) ∨ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ∧ 𝑦⦋(𝐹‘𝑦) / 𝑥⦌𝑆𝑧)))}

Assertion

Ref	Expression
weiunso	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑥   𝑦,𝐴,𝑧,𝑥   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑤   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem weiunso

Dummy variables 𝑡 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5552	. . . 4 ⊢ (𝑆 Or 𝐵 → 𝑆 Po 𝐵)
2	1	ralimi 3074	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵)
3		weiun.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (℩𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
4		weiun.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑧) ∨ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ∧ 𝑦⦋(𝐹‘𝑦) / 𝑥⦌𝑆𝑧)))}
5	3, 4	weiunpo 36640	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) → 𝑇 Po ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
6	2, 5	syl3an3 1166	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Po ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
7		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8		simplrr 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
9		animorrl 983	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))
10	3, 4	weiunlem1 36637	. . . . 5 ⊢ (𝑞𝑇𝑟 ↔ ((𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))))
11	7, 8, 9, 10	syl21anbrc 1346	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → 𝑞𝑇𝑟)
12	11	3mix1d 1338	. . 3 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → (𝑞𝑇𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟𝑇𝑞))
13		csbeq1 3853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑞) → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆)
14		csbeq1 3853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑞) → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
15	13, 14	soeq12d 5556	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑞) → (⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵))
16		simpll3 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵)
17		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑆 Or 𝐵
18		nfcsb1v 3874	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆
19		nfcsb1v 3874	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵
20	18, 19	nfso 5540	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵
21		csbeq1a 3864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝑆 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆)
22		csbeq1a 3864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝐵 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
23	21, 22	soeq12d 5556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑆 Or 𝐵 ↔ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵))
24	17, 20, 23	cbvralw 3279	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
25	16, 24	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
26		simpl1 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑅 We 𝐴)
27		simpl2 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
28	3, 4, 26, 27	weiunlem2 36638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ ⦋ 𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ¬ 𝑠𝑅(𝐹‘𝑡)))
29	28	simp1d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴)
30		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
31	29, 30	ffvelcdmd 7032	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴)
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴)
33	15, 25, 32	rspcdva 3578	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
34		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → 𝑡 = 𝑞)
35		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑞))
36	35	csbeq1d 3854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
37	34, 36	eleq12d 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → (𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵))
38	28	simp2d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵)
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵)
40		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
41	37, 39, 40	rspcdva 3578	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
42		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑟 → 𝑡 = 𝑟)
43		fveq2 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑟 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑟))
44	43	csbeq1d 3854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑟 → ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵)
45	42, 44	eleq12d 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑟 → (𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵))
46		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
47	45, 39, 46	rspcdva 3578	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵)
48		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟))
49	48	csbeq1d 3854	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵)
50	47, 49	eleqtrrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
51		solin 5560	. . . . 5 ⊢ ((⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵 ∧ (𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)) → (𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞))
52	33, 41, 50, 51	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞))
53		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟) → (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
54	48	anim1i 616	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟) → ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))
55	54	olcd 875	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))
56	53, 55, 10	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟) → 𝑞𝑇𝑟)
57	56	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟 → 𝑞𝑇𝑟))
58		idd 24	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑞 = 𝑟))
59	46	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
60	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
61		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟))
62	61	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → (𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑞))
63	61	csbeq1d 3854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆 = ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝑆)
64		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞)
65	63, 64	breqdi 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → 𝑟⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝑆𝑞)
66	62, 65	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → ((𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝑆𝑞))
67	66	olcd 875	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → ((𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞) ∨ ((𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝑆𝑞)))
68	3, 4	weiunlem1 36637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟𝑇𝑞 ↔ ((𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞) ∨ ((𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝑆𝑞))))
69	59, 60, 67, 68	syl21anbrc 1346	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → 𝑟𝑇𝑞)
70	69	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞 → 𝑟𝑇𝑞))
71	57, 58, 70	3orim123d 1447	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → ((𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → (𝑞𝑇𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟𝑇𝑞)))
72	52, 71	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝑞𝑇𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟𝑇𝑞))
73		simplrr 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
74		simplrl 777	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
75		animorrl 983	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)) → ((𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞) ∨ ((𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝑆𝑞)))
76	73, 74, 75, 68	syl21anbrc 1346	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)) → 𝑟𝑇𝑞)
77	76	3mix3d 1340	. . 3 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)) → (𝑞𝑇𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟𝑇𝑞))
78		weso 5616	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
79	26, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐴)
80		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
81	29, 80	ffvelcdmd 7032	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑟) ∈ 𝐴)
82		solin 5560	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∨ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)))
83	79, 31, 81, 82	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∨ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)))
84	12, 72, 77, 83	mpjao3dan 1435	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑞𝑇𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟𝑇𝑞))
85	6, 84	issod 5568	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3400  ⦋csb 3850  ∪ ciun 4947   class class class wbr 5099  {copab 5161   ↦ cmpt 5180   Po wpo 5531   Or wor 5532   Se wse 5576   We wwe 5577  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  ℩crio 7316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-riota 7317

This theorem is referenced by:  weiunwe  36644