Theorem weiunso 36764

Description: A strict ordering on an indexed union can be constructed from a well-ordering on its index class and a collection of strict orderings on its members. (Contributed by Matthew House, 23-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
weiun.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (℩𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
weiun.2	⊢ 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑧) ∨ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ∧ 𝑦⦋(𝐹‘𝑦) / 𝑥⦌𝑆𝑧)))}

Assertion

Ref	Expression
weiunso	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑥   𝑦,𝐴,𝑧,𝑥   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑤   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem weiunso

Dummy variables 𝑡 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sopo 5563	. . . 4 ⊢ (𝑆 Or 𝐵 → 𝑆 Po 𝐵)
2	1	ralimi 3089	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵)
3		weiun.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (℩𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
4		weiun.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑧) ∨ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ∧ 𝑦⦋(𝐹‘𝑦) / 𝑥⦌𝑆𝑧)))}
5	3, 4	weiunpo 36763	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) → 𝑇 Po ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
6	2, 5	syl3an3 1174	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Po ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
7		simplrl 784	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
8		simplrr 785	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
9		animorrl 991	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))
10	3, 4	weiunval 36760	. . . . 5 ⊢ (𝑞𝑇𝑟 ↔ ((𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))))
11	7, 8, 9, 10	syl21anbrc 1354	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → 𝑞𝑇𝑟)
12	11	3mix1d 1346	. . 3 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → (𝑞𝑇𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟𝑇𝑞))
13		csbeq1 3846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑞) → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆)
14		csbeq1 3846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑞) → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
15	13, 14	soeq12d 5567	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑞) → (⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵))
16		simpll3 1224	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵)
17		nfv 1924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑆 Or 𝐵
18		nfcsb1v 3867	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆
19		nfcsb1v 3867	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵
20	18, 19	nfso 5551	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵
21		csbeq1a 3857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝑆 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆)
22		csbeq1a 3857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝐵 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
23	21, 22	soeq12d 5567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑆 Or 𝐵 ↔ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵))
24	17, 20, 23	cbvralw 3294	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
25	16, 24	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
26		simpl1 1201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑅 We 𝐴)
27		simpl2 1202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
28	3, 4, 26, 27	weiunlem 36761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ ⦋ 𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ¬ 𝑠𝑅(𝐹‘𝑡)))
29	28	simp1d 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴)
30		simprl 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
31	29, 30	ffvelcdmd 7051	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴)
32	31	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴)
33	15, 25, 32	rspcdva 3573	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
34		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → 𝑡 = 𝑞)
35		fveq2 6852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑞))
36	35	csbeq1d 3847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
37	34, 36	eleq12d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → (𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵))
38	28	simp2d 1152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵)
39	38	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵)
40		simplrl 784	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
41	37, 39, 40	rspcdva 3573	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
42		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑟 → 𝑡 = 𝑟)
43		fveq2 6852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑟 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑟))
44	43	csbeq1d 3847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑟 → ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵)
45	42, 44	eleq12d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑟 → (𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵))
46		simplrr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
47	45, 39, 46	rspcdva 3573	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵)
48		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟))
49	48	csbeq1d 3847	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵)
50	47, 49	eleqtrrd 2855	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
51		solin 5571	. . . . 5 ⊢ ((⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆 Or ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵 ∧ (𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)) → (𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞))
52	33, 41, 50, 51	syl12anc 845	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞))
53		simpllr 783	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟) → (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
54	48	anim1i 623	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟) → ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))
55	54	olcd 883	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))
56	53, 55, 10	sylanbrc 591	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟) → 𝑞𝑇𝑟)
57	56	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟 → 𝑞𝑇𝑟))
58		idd 24	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝑞 = 𝑟 → 𝑞 = 𝑟))
59	46	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
60	40	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
61		simplr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟))
62	61	eqcomd 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → (𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑞))
63	61	csbeq1d 3847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆 = ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝑆)
64		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞)
65	63, 64	breqdi 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → 𝑟⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝑆𝑞)
66	62, 65	jca 518	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → ((𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝑆𝑞))
67	66	olcd 883	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → ((𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞) ∨ ((𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝑆𝑞)))
68	3, 4	weiunval 36760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟𝑇𝑞 ↔ ((𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞) ∨ ((𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝑆𝑞))))
69	59, 60, 67, 68	syl21anbrc 1354	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → 𝑟𝑇𝑞)
70	69	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞 → 𝑟𝑇𝑞))
71	57, 58, 70	3orim123d 1455	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → ((𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑞) → (𝑞𝑇𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟𝑇𝑞)))
72	52, 71	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) → (𝑞𝑇𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟𝑇𝑞))
73		simplrr 785	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
74		simplrl 784	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
75		animorrl 991	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)) → ((𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞) ∨ ((𝐹‘𝑟) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑟⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝑆𝑞)))
76	73, 74, 75, 68	syl21anbrc 1354	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)) → 𝑟𝑇𝑞)
77	76	3mix3d 1348	. . 3 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)) → (𝑞𝑇𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟𝑇𝑞))
78		weso 5627	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
79	26, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐴)
80		simprr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
81	29, 80	ffvelcdmd 7051	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑟) ∈ 𝐴)
82		solin 5571	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∨ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)))
83	79, 31, 81, 82	syl12anc 845	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∨ (𝐹‘𝑟)𝑅(𝐹‘𝑞)))
84	12, 72, 77, 83	mpjao3dan 1443	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑞𝑇𝑟 ∨ 𝑞 = 𝑟 ∨ 𝑟𝑇𝑞))
85	6, 84	issod 5579	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 856   ∨ w3o 1094   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∀wral 3066  {crab 3404  ⦋csb 3843  ∪ ciun 4939   class class class wbr 5090  {copab 5152   ↦ cmpt 5171   Po wpo 5542   Or wor 5543   Se wse 5587   We wwe 5588  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  ℩crio 7337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-fv 6514  df-riota 7338

This theorem is referenced by:  weiunwe  36767