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Theorem weiunso 36432
Description: A strict ordering on an indexed union can be constructed from a well-ordering on its index class and a collection of strict orderings on its members. (Contributed by Matthew House, 23-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
weiun.1 𝐹 = (𝑤 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝑢 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
weiun.2 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑧 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑧) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑦(𝐹𝑦) / 𝑥𝑆𝑧)))}
Assertion
Ref Expression
weiunso ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑥𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑥   𝑦,𝐴,𝑧,𝑥   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑤   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem weiunso
Dummy variables 𝑡 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sopo 5627 . . . 4 (𝑆 Or 𝐵𝑆 Po 𝐵)
21ralimi 3089 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵)
3 weiun.1 . . . 4 𝐹 = (𝑤 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝑢 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
4 weiun.2 . . . 4 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑧 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑧) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑦(𝐹𝑦) / 𝑥𝑆𝑧)))}
53, 4weiunpo 36431 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) → 𝑇 Po 𝑥𝐴 𝐵)
62, 5syl3an3 1165 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Po 𝑥𝐴 𝐵)
7 simplrl 776 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟)) → 𝑞 𝑥𝐴 𝐵)
8 simplrr 777 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟)) → 𝑟 𝑥𝐴 𝐵)
9 animorrl 981 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟)) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟)))
103, 4weiunlem1 36428 . . . . 5 (𝑞𝑇𝑟 ↔ ((𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))))
117, 8, 9, 10syl21anbrc 1344 . . . 4 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟)) → 𝑞𝑇𝑟)
12113mix1d 1336 . . 3 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟)) → (𝑞𝑇𝑟𝑞 = 𝑟𝑟𝑇𝑞))
13 csbeq1 3924 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐹𝑞) → 𝑠 / 𝑥𝑆 = (𝐹𝑞) / 𝑥𝑆)
14 csbeq1 3924 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐹𝑞) → 𝑠 / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)
1513, 14soeq12d 5631 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐹𝑞) → (𝑠 / 𝑥𝑆 Or 𝑠 / 𝑥𝐵(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆 Or (𝐹𝑞) / 𝑥𝐵))
16 simpll3 1214 . . . . . . 7 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵)
17 nfv 1913 . . . . . . . 8 𝑠 𝑆 Or 𝐵
18 nfcsb1v 3946 . . . . . . . . 9 𝑥𝑠 / 𝑥𝑆
19 nfcsb1v 3946 . . . . . . . . 9 𝑥𝑠 / 𝑥𝐵
2018, 19nfso 5614 . . . . . . . 8 𝑥𝑠 / 𝑥𝑆 Or 𝑠 / 𝑥𝐵
21 csbeq1a 3935 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠𝑆 = 𝑠 / 𝑥𝑆)
22 csbeq1a 3935 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠𝐵 = 𝑠 / 𝑥𝐵)
2321, 22soeq12d 5631 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑠 → (𝑆 Or 𝐵𝑠 / 𝑥𝑆 Or 𝑠 / 𝑥𝐵))
2417, 20, 23cbvralw 3312 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑠 / 𝑥𝑆 Or 𝑠 / 𝑥𝐵)
2516, 24sylib 218 . . . . . 6 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → ∀𝑠𝐴 𝑠 / 𝑥𝑆 Or 𝑠 / 𝑥𝐵)
26 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑅 We 𝐴)
27 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
283, 4, 26, 27weiunlem2 36429 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹: 𝑥𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑡 𝑥𝐴 𝐵𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵 ∧ ∀𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥𝐵 ¬ 𝑠𝑅(𝐹𝑡)))
2928simp1d 1142 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵𝐴)
30 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑞 𝑥𝐴 𝐵)
3129, 30ffvelcdmd 7119 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐴)
3231adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐴)
3315, 25, 32rspcdva 3636 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → (𝐹𝑞) / 𝑥𝑆 Or (𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)
34 id 22 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑞𝑡 = 𝑞)
35 fveq2 6920 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑞 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑞))
3635csbeq1d 3925 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑞(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)
3734, 36eleq12d 2838 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑞 → (𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝐵))
3828simp2d 1143 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑡 𝑥𝐴 𝐵𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → ∀𝑡 𝑥𝐴 𝐵𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵)
40 simplrl 776 . . . . . 6 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → 𝑞 𝑥𝐴 𝐵)
4137, 39, 40rspcdva 3636 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)
42 id 22 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑟𝑡 = 𝑟)
43 fveq2 6920 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑟 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑟))
4443csbeq1d 3925 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑟(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑟) / 𝑥𝐵)
4542, 44eleq12d 2838 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑟 → (𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵𝑟(𝐹𝑟) / 𝑥𝐵))
46 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → 𝑟 𝑥𝐴 𝐵)
4745, 39, 46rspcdva 3636 . . . . . 6 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → 𝑟(𝐹𝑟) / 𝑥𝐵)
48 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟))
4948csbeq1d 3925 . . . . . 6 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → (𝐹𝑞) / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑟) / 𝑥𝐵)
5047, 49eleqtrrd 2847 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → 𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)
51 solin 5634 . . . . 5 (((𝐹𝑞) / 𝑥𝑆 Or (𝐹𝑞) / 𝑥𝐵 ∧ (𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝐵𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)) → (𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟𝑞 = 𝑟𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞))
5233, 41, 50, 51syl12anc 836 . . . 4 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → (𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟𝑞 = 𝑟𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞))
53 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟) → (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵))
5448anim1i 614 . . . . . . . 8 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟) → ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))
5554olcd 873 . . . . . . 7 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟)))
5653, 55, 10sylanbrc 582 . . . . . 6 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟) → 𝑞𝑇𝑟)
5756ex 412 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → (𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟𝑞𝑇𝑟))
58 idd 24 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → (𝑞 = 𝑟𝑞 = 𝑟))
5946adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞) → 𝑟 𝑥𝐴 𝐵)
6040adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞) → 𝑞 𝑥𝐴 𝐵)
61 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞) → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟))
6261eqcomd 2746 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞) → (𝐹𝑟) = (𝐹𝑞))
6361csbeq1d 3925 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞) → (𝐹𝑞) / 𝑥𝑆 = (𝐹𝑟) / 𝑥𝑆)
64 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞) → 𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞)
6563, 64breqdi 5181 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞) → 𝑟(𝐹𝑟) / 𝑥𝑆𝑞)
6662, 65jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞) → ((𝐹𝑟) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑟(𝐹𝑟) / 𝑥𝑆𝑞))
6766olcd 873 . . . . . . 7 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞) → ((𝐹𝑟)𝑅(𝐹𝑞) ∨ ((𝐹𝑟) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑟(𝐹𝑟) / 𝑥𝑆𝑞)))
683, 4weiunlem1 36428 . . . . . . 7 (𝑟𝑇𝑞 ↔ ((𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑟)𝑅(𝐹𝑞) ∨ ((𝐹𝑟) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑟(𝐹𝑟) / 𝑥𝑆𝑞))))
6959, 60, 67, 68syl21anbrc 1344 . . . . . 6 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) ∧ 𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞) → 𝑟𝑇𝑞)
7069ex 412 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → (𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞𝑟𝑇𝑞))
7157, 58, 703orim123d 1444 . . . 4 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → ((𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟𝑞 = 𝑟𝑟(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑞) → (𝑞𝑇𝑟𝑞 = 𝑟𝑟𝑇𝑞)))
7252, 71mpd 15 . . 3 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟)) → (𝑞𝑇𝑟𝑞 = 𝑟𝑟𝑇𝑞))
73 simplrr 777 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑟)𝑅(𝐹𝑞)) → 𝑟 𝑥𝐴 𝐵)
74 simplrl 776 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑟)𝑅(𝐹𝑞)) → 𝑞 𝑥𝐴 𝐵)
75 animorrl 981 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑟)𝑅(𝐹𝑞)) → ((𝐹𝑟)𝑅(𝐹𝑞) ∨ ((𝐹𝑟) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑟(𝐹𝑟) / 𝑥𝑆𝑞)))
7673, 74, 75, 68syl21anbrc 1344 . . . 4 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑟)𝑅(𝐹𝑞)) → 𝑟𝑇𝑞)
77763mix3d 1338 . . 3 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (𝐹𝑟)𝑅(𝐹𝑞)) → (𝑞𝑇𝑟𝑞 = 𝑟𝑟𝑇𝑞))
78 weso 5691 . . . . 5 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
7926, 78syl 17 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐴)
80 simprr 772 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑟 𝑥𝐴 𝐵)
8129, 80ffvelcdmd 7119 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑟) ∈ 𝐴)
82 solin 5634 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ ((𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑟) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟) ∨ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∨ (𝐹𝑟)𝑅(𝐹𝑞)))
8379, 31, 81, 82syl12anc 836 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟) ∨ (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∨ (𝐹𝑟)𝑅(𝐹𝑞)))
8412, 72, 77, 83mpjao3dan 1432 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) ∧ (𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑞𝑇𝑟𝑞 = 𝑟𝑟𝑇𝑞))
856, 84issod 5642 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑥𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  {crab 3443  csb 3921   ciun 5015   class class class wbr 5166  {copab 5228  cmpt 5249   Po wpo 5605   Or wor 5606   Se wse 5650   We wwe 5651  wf 6569  cfv 6573  crio 7403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-riota 7404
This theorem is referenced by:  weiunwe  36435
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