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Theorem weiunfr 36433
Description: A well-founded relation on an indexed union can be constructed from a well-ordering on its index class and a collection of well-founded relations on its members. (Contributed by Matthew House, 23-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
weiun.1 𝐹 = (𝑤 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝑢 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
weiun.2 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑧 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑧) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑦(𝐹𝑦) / 𝑥𝑆𝑧)))}
Assertion
Ref Expression
weiunfr ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) → 𝑇 Fr 𝑥𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑥   𝑦,𝐴,𝑧,𝑥   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑤   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem weiunfr
Dummy variables 𝑡 𝑚 𝑛 𝑜 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1 3924 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) → 𝑠 / 𝑥𝑆 = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆)
2 csbeq1 3924 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) → 𝑠 / 𝑥𝐵 = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵)
31, 2freq12d 5669 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) → (𝑠 / 𝑥𝑆 Fr 𝑠 / 𝑥𝐵(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆 Fr (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵))
4 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵)
5 nfv 1913 . . . . . . . . 9 𝑠 𝑆 Fr 𝐵
6 nfcsb1v 3946 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑠 / 𝑥𝑆
7 nfcsb1v 3946 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑠 / 𝑥𝐵
86, 7nffr 5673 . . . . . . . . 9 𝑥𝑠 / 𝑥𝑆 Fr 𝑠 / 𝑥𝐵
9 csbeq1a 3935 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠𝑆 = 𝑠 / 𝑥𝑆)
10 csbeq1a 3935 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠𝐵 = 𝑠 / 𝑥𝐵)
119, 10freq12d 5669 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (𝑆 Fr 𝐵𝑠 / 𝑥𝑆 Fr 𝑠 / 𝑥𝐵))
125, 8, 11cbvralw 3312 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑠 / 𝑥𝑆 Fr 𝑠 / 𝑥𝐵)
134, 12sylib 218 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → ∀𝑠𝐴 𝑠 / 𝑥𝑆 Fr 𝑠 / 𝑥𝐵)
14 weiun.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑤 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝑢 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
15 weiun.2 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑧 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑧) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑦(𝐹𝑦) / 𝑥𝑆𝑧)))}
16 simpl1 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → 𝑅 We 𝐴)
17 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → 𝑅 Se 𝐴)
1814, 15, 16, 17weiunlem2 36429 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → (𝐹: 𝑥𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑡 𝑥𝐴 𝐵𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵 ∧ ∀𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥𝐵 ¬ 𝑠𝑅(𝐹𝑡)))
1918simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵𝐴)
2019fimassd 6768 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → (𝐹𝑟) ⊆ 𝐴)
21 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝)
22 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → 𝑟 𝑥𝐴 𝐵)
23 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → 𝑟 ≠ ∅)
2414, 15, 16, 17, 21, 22, 23weiunfrlem 36430 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → ((𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) ∈ (𝐹𝑟) ∧ ∀𝑡𝑟 ¬ (𝐹𝑡)𝑅(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵)(𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝)))
2524simp1d 1142 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) ∈ (𝐹𝑟))
2620, 25sseldd 4009 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) ∈ 𝐴)
273, 13, 26rspcdva 3636 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆 Fr (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵)
28 inss2 4259 . . . . . . 7 (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ⊆ (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵
2928a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ⊆ (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵)
30 vex 3492 . . . . . . . 8 𝑟 ∈ V
3130inex1 5335 . . . . . . 7 (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∈ V)
3319ffund 6751 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → Fun 𝐹)
34 fvelima 6987 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) ∈ (𝐹𝑟)) → ∃𝑡𝑟 (𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))
3533, 25, 34syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → ∃𝑡𝑟 (𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))
36 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑡𝑟 ∧ (𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))) → 𝑡𝑟)
37 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑡𝑟 ∧ (𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))) → 𝑟 𝑥𝐴 𝐵)
3837, 36sseldd 4009 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑡𝑟 ∧ (𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))) → 𝑡 𝑥𝐴 𝐵)
3918simp2d 1143 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → ∀𝑡 𝑥𝐴 𝐵𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵)
4039r19.21bi 3257 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ 𝑡 𝑥𝐴 𝐵) → 𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵)
4138, 40syldan 590 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑡𝑟 ∧ (𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))) → 𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵)
42 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑡𝑟 ∧ (𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))) → (𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))
4342csbeq1d 3925 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑡𝑟 ∧ (𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))) → (𝐹𝑡) / 𝑥𝐵 = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵)
4441, 43eleqtrd 2846 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑡𝑟 ∧ (𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))) → 𝑡(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵)
4536, 44elind 4223 . . . . . . . 8 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑡𝑟 ∧ (𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))) → 𝑡 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵))
4645ne0d 4365 . . . . . . 7 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑡𝑟 ∧ (𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))) → (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ≠ ∅)
4735, 46rexlimddv 3167 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ≠ ∅)
4827, 29, 32, 47frd 5656 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → ∃𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵)∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)
49 simprl 770 . . . . . 6 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) → 𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵))
5049elin1d 4227 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) → 𝑛𝑟)
51 fveq2 6920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑜 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑜))
5251breq1d 5176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑜 → ((𝐹𝑡)𝑅(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) ↔ (𝐹𝑜)𝑅(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝)))
5352notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑜 → (¬ (𝐹𝑡)𝑅(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) ↔ ¬ (𝐹𝑜)𝑅(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝)))
5424ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → ((𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) ∈ (𝐹𝑟) ∧ ∀𝑡𝑟 ¬ (𝐹𝑡)𝑅(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵)(𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝)))
5554simp2d 1143 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → ∀𝑡𝑟 ¬ (𝐹𝑡)𝑅(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))
56 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → 𝑜𝑟)
5753, 55, 56rspcdva 3636 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → ¬ (𝐹𝑜)𝑅(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))
58 fveqeq2 6929 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑛 → ((𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) ↔ (𝐹𝑛) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝)))
5954simp3d 1144 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → ∀𝑡 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵)(𝐹𝑡) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))
60 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → 𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵))
6158, 59, 60rspcdva 3636 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → (𝐹𝑛) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))
6261breq2d 5178 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → ((𝐹𝑜)𝑅(𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑜)𝑅(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝)))
6357, 62mtbird 325 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → ¬ (𝐹𝑜)𝑅(𝐹𝑛))
64 breq1 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑜 → (𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛𝑜(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛))
6564notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑜 → (¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛 ↔ ¬ 𝑜(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛))
66 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) → ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)
6766ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)
68 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → 𝑜𝑟)
69 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑜𝑡 = 𝑜)
7051csbeq1d 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑜(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑜) / 𝑥𝐵)
7169, 70eleq12d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑜 → (𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝐵))
7239ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → ∀𝑡 𝑥𝐴 𝐵𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵)
7322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → 𝑟 𝑥𝐴 𝐵)
7473, 56sseldd 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → 𝑜 𝑥𝐴 𝐵)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → 𝑜 𝑥𝐴 𝐵)
7671, 72, 75rspcdva 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝐵)
77 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛))
7861adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑛) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))
7977, 78eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑜) = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝))
8079csbeq1d 3925 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑜) / 𝑥𝐵 = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵)
8176, 80eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → 𝑜(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵)
8268, 81elind 4223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → 𝑜 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵))
8365, 67, 82rspcdva 3636 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → ¬ 𝑜(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)
8479csbeq1d 3925 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑜) / 𝑥𝑆 = (𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆)
8584breqd 5177 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → (𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛𝑜(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛))
8683, 85mtbird 325 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) ∧ (𝐹𝑜) = (𝐹𝑛)) → ¬ 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛)
8786ex 412 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → ((𝐹𝑜) = (𝐹𝑛) → ¬ 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛))
88 imnan 399 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑜) = (𝐹𝑛) → ¬ 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑜) = (𝐹𝑛) ∧ 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛))
8987, 88sylib 218 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → ¬ ((𝐹𝑜) = (𝐹𝑛) ∧ 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛))
90 pm4.56 989 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝐹𝑜)𝑅(𝐹𝑛) ∧ ¬ ((𝐹𝑜) = (𝐹𝑛) ∧ 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛)) ↔ ¬ ((𝐹𝑜)𝑅(𝐹𝑛) ∨ ((𝐹𝑜) = (𝐹𝑛) ∧ 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛)))
9190biimpi 216 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝐹𝑜)𝑅(𝐹𝑛) ∧ ¬ ((𝐹𝑜) = (𝐹𝑛) ∧ 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛)) → ¬ ((𝐹𝑜)𝑅(𝐹𝑛) ∨ ((𝐹𝑜) = (𝐹𝑛) ∧ 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛)))
9263, 89, 91syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → ¬ ((𝐹𝑜)𝑅(𝐹𝑛) ∨ ((𝐹𝑜) = (𝐹𝑛) ∧ 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛)))
9392intnand 488 . . . . . . 7 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → ¬ ((𝑜 𝑥𝐴 𝐵𝑛 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑜)𝑅(𝐹𝑛) ∨ ((𝐹𝑜) = (𝐹𝑛) ∧ 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛))))
9414, 15weiunlem1 36428 . . . . . . 7 (𝑜𝑇𝑛 ↔ ((𝑜 𝑥𝐴 𝐵𝑛 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑜)𝑅(𝐹𝑛) ∨ ((𝐹𝑜) = (𝐹𝑛) ∧ 𝑜(𝐹𝑜) / 𝑥𝑆𝑛))))
9593, 94sylnibr 329 . . . . . 6 (((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) ∧ 𝑜𝑟) → ¬ 𝑜𝑇𝑛)
9695ralrimiva 3152 . . . . 5 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) ∧ (𝑛 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑟(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝐵) ¬ 𝑚(𝑝 ∈ (𝐹𝑟)∀𝑞 ∈ (𝐹𝑟) ¬ 𝑞𝑅𝑝) / 𝑥𝑆𝑛)) → ∀𝑜𝑟 ¬ 𝑜𝑇𝑛)
9748, 50, 96reximssdv 3179 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) ∧ (𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅)) → ∃𝑛𝑟𝑜𝑟 ¬ 𝑜𝑇𝑛)
9897ex 412 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) → ((𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅) → ∃𝑛𝑟𝑜𝑟 ¬ 𝑜𝑇𝑛))
9998alrimiv 1926 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) → ∀𝑟((𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅) → ∃𝑛𝑟𝑜𝑟 ¬ 𝑜𝑇𝑛))
100 df-fr 5652 . 2 (𝑇 Fr 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑟((𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑟 ≠ ∅) → ∃𝑛𝑟𝑜𝑟 ¬ 𝑜𝑇𝑛))
10199, 100sylibr 234 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Fr 𝐵) → 𝑇 Fr 𝑥𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846  w3a 1087  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488  csb 3921  cin 3975  wss 3976  c0 4352   ciun 5015   class class class wbr 5166  {copab 5228  cmpt 5249   Fr wfr 5649   Se wse 5650   We wwe 5651  cima 5703  Fun wfun 6567  wf 6569  cfv 6573  crio 7403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-riota 7404
This theorem is referenced by:  weiunwe  36435
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