Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1191 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑅 We 𝐴) |
2 | | weso 5691 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐴) |
4 | | weiun.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (℩𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
5 | | weiun.2 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑇 = {〈𝑦, 𝑧〉 ∣ ((𝑦 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑧) ∨ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ∧ 𝑦⦋(𝐹‘𝑦) / 𝑥⦌𝑆𝑧)))} |
6 | | simpl2 1192 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴) |
7 | 4, 5, 1, 6 | weiunlem2 36429 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ ⦋ 𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ¬ 𝑠𝑅(𝐹‘𝑡))) |
8 | 7 | simp1d 1142 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴) |
9 | | simpr1 1194 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
10 | 8, 9 | ffvelcdmd 7119 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑝) ∈ 𝐴) |
11 | | sonr 5632 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝)) |
12 | 3, 10, 11 | syl2anc 583 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝)) |
13 | | csbeq1 3924 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑝) → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 = ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆) |
14 | | csbeq1 3924 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑝) → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵) |
15 | 13, 14 | poeq12d 5612 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑝) → (⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵)) |
16 | | simpl3 1193 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) |
17 | | nfv 1913 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑠 𝑆 Po 𝐵 |
18 | | nfcsb1v 3946 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 |
19 | | nfcsb1v 3946 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 |
20 | 18, 19 | nfpo 5613 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 |
21 | | csbeq1a 3935 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝑆 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆) |
22 | | csbeq1a 3935 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝐵 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵) |
23 | 21, 22 | poeq12d 5612 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑆 Po 𝐵 ↔ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)) |
24 | 17, 20, 23 | cbvralw 3312 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 𝑆 Po 𝐵 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵) |
25 | 16, 24 | sylib 218 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵) |
26 | 15, 25, 10 | rspcdva 3636 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵) |
27 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 𝑝 → 𝑡 = 𝑝) |
28 | | fveq2 6920 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = 𝑝 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑝)) |
29 | 28 | csbeq1d 3925 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 𝑝 → ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵) |
30 | 27, 29 | eleq12d 2838 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = 𝑝 → (𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑝 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵)) |
31 | 7 | simp2d 1143 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑡 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵) |
32 | 30, 31, 9 | rspcdva 3636 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑝 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵) |
33 | | poirr 5620 |
. . . . . . . 8
⊢
((⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑝 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵) → ¬ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝) |
34 | 26, 32, 33 | syl2anc 583 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝) |
35 | 34 | intnand 488 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝)) |
36 | | ioran 984 |
. . . . . 6
⊢ (¬
((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝)) ↔ (¬ (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝) ∧ ¬ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝))) |
37 | 12, 35, 36 | sylanbrc 582 |
. . . . 5
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝))) |
38 | 4, 5 | weiunlem1 36428 |
. . . . . 6
⊢ (𝑝𝑇𝑝 ↔ ((𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝)))) |
39 | 38 | simprbi 496 |
. . . . 5
⊢ (𝑝𝑇𝑝 → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝))) |
40 | 37, 39 | nsyl 140 |
. . . 4
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑝𝑇𝑝) |
41 | | simpr3 1196 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
42 | 9, 41 | jca 511 |
. . . . 5
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) |
43 | 4, 5 | weiunlem1 36428 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑝𝑇𝑞 ↔ ((𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞)))) |
44 | 43 | simprbi 496 |
. . . . . 6
⊢ (𝑝𝑇𝑞 → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞))) |
45 | 4, 5 | weiunlem1 36428 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑞𝑇𝑟 ↔ ((𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))) |
46 | 45 | simprbi 496 |
. . . . . 6
⊢ (𝑞𝑇𝑟 → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) |
47 | | simpr2 1195 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |
48 | 8, 47 | ffvelcdmd 7119 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴) |
49 | 8, 41 | ffvelcdmd 7119 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑟) ∈ 𝐴) |
50 | | sotr 5633 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑝) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ 𝐴)) → (((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟))) |
51 | 3, 10, 48, 49, 50 | syl13anc 1372 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟))) |
52 | | orc 866 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) |
53 | 51, 52 | syl6 35 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))) |
54 | | simprll 778 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟))) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞)) |
55 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟))) → (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) |
56 | 54, 55 | eqbrtrd 5188 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟))) → (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟)) |
57 | 56 | orcd 872 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟))) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) |
58 | 57 | ex 412 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))) |
59 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞)) |
60 | | simprrl 780 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) |
61 | 59, 60 | breqtrd 5192 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟)) |
62 | 61 | orcd 872 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) |
63 | 62 | ex 412 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟)) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))) |
64 | | simprll 778 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞)) |
65 | | simprrl 780 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟)) |
66 | 64, 65 | eqtrd 2780 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟)) |
67 | | simprlr 779 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) |
68 | | simprrr 781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟) |
69 | 64 | csbeq1d 3925 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆) |
70 | 69 | breqd 5177 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝑞⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟 ↔ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟)) |
71 | 68, 70 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑞⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟) |
72 | 26 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵) |
73 | 32 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑝 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵) |
74 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑡 = 𝑞 → 𝑡 = 𝑞) |
75 | | fveq2 6920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑡 = 𝑞 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑞)) |
76 | 75 | csbeq1d 3925 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑡 = 𝑞 → ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵) |
77 | 74, 76 | eleq12d 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑡 = 𝑞 → (𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)) |
78 | 77, 31, 47 | rspcdva 3636 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵) |
79 | 78 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵) |
80 | 64 | csbeq1d 3925 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵) |
81 | 79, 80 | eleqtrrd 2847 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵) |
82 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑡 = 𝑟 → 𝑡 = 𝑟) |
83 | | fveq2 6920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑡 = 𝑟 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑟)) |
84 | 83 | csbeq1d 3925 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑡 = 𝑟 → ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵) |
85 | 82, 84 | eleq12d 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑡 = 𝑟 → (𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵)) |
86 | 85, 31, 41 | rspcdva 3636 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵) |
87 | 86 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵) |
88 | 66 | csbeq1d 3925 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵) |
89 | 87, 88 | eleqtrrd 2847 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵) |
90 | | potr 5621 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵 ∧ (𝑝 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵)) → ((𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞 ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟) → 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)) |
91 | 72, 73, 81, 89, 90 | syl13anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ((𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞 ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟) → 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)) |
92 | 67, 71, 91 | mp2and 698 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟) |
93 | 66, 92 | jca 511 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)) |
94 | 93 | olcd 873 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) |
95 | 94 | ex 412 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟)) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))) |
96 | 53, 58, 63, 95 | ccased 1039 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))) |
97 | 44, 46, 96 | syl2ani 606 |
. . . . 5
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((𝑝𝑇𝑞 ∧ 𝑞𝑇𝑟) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))) |
98 | 4, 5 | weiunlem1 36428 |
. . . . . 6
⊢ (𝑝𝑇𝑟 ↔ ((𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))) |
99 | 98 | biimpri 228 |
. . . . 5
⊢ (((𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑝𝑇𝑟) |
100 | 42, 97, 99 | syl6an 683 |
. . . 4
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((𝑝𝑇𝑞 ∧ 𝑞𝑇𝑟) → 𝑝𝑇𝑟)) |
101 | 40, 100 | jca 511 |
. . 3
⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (¬ 𝑝𝑇𝑝 ∧ ((𝑝𝑇𝑞 ∧ 𝑞𝑇𝑟) → 𝑝𝑇𝑟))) |
102 | 101 | ralrimivvva 3211 |
. 2
⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) → ∀𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵(¬ 𝑝𝑇𝑝 ∧ ((𝑝𝑇𝑞 ∧ 𝑞𝑇𝑟) → 𝑝𝑇𝑟))) |
103 | | df-po 5607 |
. 2
⊢ (𝑇 Po ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑞 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑟 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵(¬ 𝑝𝑇𝑝 ∧ ((𝑝𝑇𝑞 ∧ 𝑞𝑇𝑟) → 𝑝𝑇𝑟))) |
104 | 102, 103 | sylibr 234 |
1
⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) → 𝑇 Po ∪
𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) |