Theorem weiunpo 36920

Description: A partial ordering on an indexed union can be constructed from a well-ordering on its index class and a collection of partial orderings on its members. (Contributed by Matthew House, 23-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
weiun.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (℩𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
weiun.2	⊢ 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑧) ∨ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ∧ 𝑦⦋(𝐹‘𝑦) / 𝑥⦌𝑆𝑧)))}

Assertion

Ref	Expression
weiunpo	⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) → 𝑇 Po ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑥   𝑦,𝐴,𝑧,𝑥   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑤   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem weiunpo

Dummy variables 𝑡 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑅 We 𝐴)
2		weso 5652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐴)
4		weiun.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↦ (℩𝑢 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 ∈ 𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
5		weiun.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑧) ∨ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ∧ 𝑦⦋(𝐹‘𝑦) / 𝑥⦌𝑆𝑧)))}
6		simpl2 1209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
7	4, 5, 1, 6	weiunlem 36918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ ⦋ 𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ¬ 𝑠𝑅(𝐹‘𝑡)))
8	7	simp1d 1158	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵⟶𝐴)
9		simpr1 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
10	8, 9	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑝) ∈ 𝐴)
11		sonr 5593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝))
12	3, 10, 11	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝))
13		csbeq1 3855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑝) → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 = ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆)
14		csbeq1 3855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑝) → ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵)
15	13, 14	poeq12d 5574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐹‘𝑝) → (⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵))
16		simpl3 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵)
17		nfv 1942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑆 Po 𝐵
18		nfcsb1v 3876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆
19		nfcsb1v 3876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵
20	18, 19	nfpo 5575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵
21		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝑆 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆)
22		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → 𝐵 = ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
23	21, 22	poeq12d 5574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑆 Po 𝐵 ↔ ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵))
24	17, 20, 23	cbvralw 3305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
25	16, 24	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋𝑠 / 𝑥⦌𝐵)
26	15, 25, 10	rspcdva 3581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵)
27		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑝 → 𝑡 = 𝑝)
28		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑝 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑝))
29	28	csbeq1d 3856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑝 → ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵)
30	27, 29	eleq12d 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑝 → (𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑝 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵))
31	7	simp2d 1159	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵)
32	30, 31, 9	rspcdva 3581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑝 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵)
33		poirr 5581	. . . . . . . 8 ⊢ ((⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑝 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵) → ¬ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝)
34	26, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝)
35	34	intnand 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝))
36		ioran 999	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝)) ↔ (¬ (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝) ∧ ¬ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝)))
37	12, 35, 36	sylanbrc 594	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝)))
38	4, 5	weiunval 36917	. . . . . 6 ⊢ (𝑝𝑇𝑝 ↔ ((𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝))))
39	38	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑝𝑇𝑝 → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑝) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑝) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑝)))
40	37, 39	nsyl 141	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑝𝑇𝑝)
41		simpr3 1213	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
42	9, 41	jca 520	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
43	4, 5	weiunval 36917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝𝑇𝑞 ↔ ((𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞))))
44	43	simprbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝑝𝑇𝑞 → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞)))
45	4, 5	weiunval 36917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞𝑇𝑟 ↔ ((𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))))
46	45	simprbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝑞𝑇𝑟 → ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))
47		simpr2 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
48	8, 47	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴)
49	8, 41	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝐹‘𝑟) ∈ 𝐴)
50		sotr 5594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑝) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ 𝐴)) → (((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟)))
51	3, 10, 48, 49, 50	syl13anc 1397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟)))
52		orc 880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))
53	51, 52	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))))
54		simprll 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟))) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞))
55		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟))) → (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟))
56	54, 55	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟))) → (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟))
57	56	orcd 886	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟))) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))
58	57	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟)) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))))
59		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞))
60		simprrl 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟))
61	59, 60	breqtrd 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟))
62	61	orcd 886	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))
63	62	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟)) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))))
64		simprll 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞))
65		simprrl 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟))
66	64, 65	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟))
67		simprlr 791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞)
68		simprrr 793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟)
69	64	csbeq1d 3856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆)
70	69	breqd 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → (𝑞⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟 ↔ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))
71	68, 70	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑞⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)
72	26	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵)
73	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑝 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵)
74		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → 𝑡 = 𝑞)
75		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑞))
76	75	csbeq1d 3856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
77	74, 76	eleq12d 2855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 𝑞 → (𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵))
78	77, 31, 47	rspcdva 3581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
79	78	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
80	64	csbeq1d 3856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝐵)
81	79, 80	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵)
82		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑟 → 𝑡 = 𝑟)
83		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 𝑟 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑟))
84	83	csbeq1d 3856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑟 → ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵)
85	82, 84	eleq12d 2855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 𝑟 → (𝑡 ∈ ⦋(𝐹‘𝑡) / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵))
86	85, 31, 41	rspcdva 3581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵)
87	86	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵)
88	66	csbeq1d 3856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋(𝐹‘𝑟) / 𝑥⦌𝐵)
89	87, 88	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵)
90		potr 5582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆 Po ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵 ∧ (𝑝 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝐵)) → ((𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞 ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟) → 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))
91	72, 73, 81, 89, 90	syl13anc 1397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ((𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞 ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟) → 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))
92	67, 71, 91	mp2and 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)
93	66, 92	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))
94	93	olcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟)))
95	94	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟)) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))))
96	53, 58, 63, 95	ccased 1052	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑞) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑞) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑞)) ∧ ((𝐹‘𝑞)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑞⦋(𝐹‘𝑞) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))))
97	44, 46, 96	syl2ani 618	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((𝑝𝑇𝑞 ∧ 𝑞𝑇𝑟) → ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))))
98	4, 5	weiunval 36917	. . . . . 6 ⊢ (𝑝𝑇𝑟 ↔ ((𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))))
99	98	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (((𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑝)𝑅(𝐹‘𝑟) ∨ ((𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑟) ∧ 𝑝⦋(𝐹‘𝑝) / 𝑥⦌𝑆𝑟))) → 𝑝𝑇𝑟)
100	42, 97, 99	syl6an 696	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ((𝑝𝑇𝑞 ∧ 𝑞𝑇𝑟) → 𝑝𝑇𝑟))
101	40, 100	jca 520	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (¬ 𝑝𝑇𝑝 ∧ ((𝑝𝑇𝑞 ∧ 𝑞𝑇𝑟) → 𝑝𝑇𝑟)))
102	101	ralrimivvva 3209	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) → ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵(¬ 𝑝𝑇𝑝 ∧ ((𝑝𝑇𝑞 ∧ 𝑞𝑇𝑟) → 𝑝𝑇𝑟)))
103		df-po 5569	. 2 ⊢ (𝑇 Po ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑞 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵∀𝑟 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵(¬ 𝑝𝑇𝑝 ∧ ((𝑝𝑇𝑞 ∧ 𝑞𝑇𝑟) → 𝑝𝑇𝑟)))
104	102, 103	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑆 Po 𝐵) → 𝑇 Po ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  {crab 3414  ⦋csb 3852  ∪ ciun 4955   class class class wbr 5108  {copab 5172   ↦ cmpt 5191   Po wpo 5567   Or wor 5568   Se wse 5612   We wwe 5613  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ℩crio 7366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-riota 7367

This theorem is referenced by:  weiunso  36921