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Theorem weiunpo 36431
Description: A partial ordering on an indexed union can be constructed from a well-ordering on its index class and a collection of partial orderings on its members. (Contributed by Matthew House, 23-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
weiun.1 𝐹 = (𝑤 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝑢 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
weiun.2 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑧 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑧) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑦(𝐹𝑦) / 𝑥𝑆𝑧)))}
Assertion
Ref Expression
weiunpo ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) → 𝑇 Po 𝑥𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑥   𝑦,𝐴,𝑧,𝑥   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑤   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem weiunpo
Dummy variables 𝑡 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑅 We 𝐴)
2 weso 5691 . . . . . . . 8 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑅 Or 𝐴)
4 weiun.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑤 𝑥𝐴 𝐵 ↦ (𝑢 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵}∀𝑣 ∈ {𝑥𝐴𝑤𝐵} ¬ 𝑣𝑅𝑢))
5 weiun.2 . . . . . . . . . 10 𝑇 = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑧 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑧) ∨ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ∧ 𝑦(𝐹𝑦) / 𝑥𝑆𝑧)))}
6 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑅 Se 𝐴)
74, 5, 1, 6weiunlem2 36429 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹: 𝑥𝐴 𝐵𝐴 ∧ ∀𝑡 𝑥𝐴 𝐵𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵 ∧ ∀𝑠𝐴𝑡 𝑠 / 𝑥𝐵 ¬ 𝑠𝑅(𝐹𝑡)))
87simp1d 1142 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐹: 𝑥𝐴 𝐵𝐴)
9 simpr1 1194 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑝 𝑥𝐴 𝐵)
108, 9ffvelcdmd 7119 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑝) ∈ 𝐴)
11 sonr 5632 . . . . . . 7 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐹𝑝) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑝))
123, 10, 11syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ¬ (𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑝))
13 csbeq1 3924 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐹𝑝) → 𝑠 / 𝑥𝑆 = (𝐹𝑝) / 𝑥𝑆)
14 csbeq1 3924 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐹𝑝) → 𝑠 / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑝) / 𝑥𝐵)
1513, 14poeq12d 5612 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐹𝑝) → (𝑠 / 𝑥𝑆 Po 𝑠 / 𝑥𝐵(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆 Po (𝐹𝑝) / 𝑥𝐵))
16 simpl3 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵)
17 nfv 1913 . . . . . . . . . . 11 𝑠 𝑆 Po 𝐵
18 nfcsb1v 3946 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑠 / 𝑥𝑆
19 nfcsb1v 3946 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑠 / 𝑥𝐵
2018, 19nfpo 5613 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑠 / 𝑥𝑆 Po 𝑠 / 𝑥𝐵
21 csbeq1a 3935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠𝑆 = 𝑠 / 𝑥𝑆)
22 csbeq1a 3935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠𝐵 = 𝑠 / 𝑥𝐵)
2321, 22poeq12d 5612 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (𝑆 Po 𝐵𝑠 / 𝑥𝑆 Po 𝑠 / 𝑥𝐵))
2417, 20, 23cbvralw 3312 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵 ↔ ∀𝑠𝐴 𝑠 / 𝑥𝑆 Po 𝑠 / 𝑥𝐵)
2516, 24sylib 218 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑠𝐴 𝑠 / 𝑥𝑆 Po 𝑠 / 𝑥𝐵)
2615, 25, 10rspcdva 3636 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑝) / 𝑥𝑆 Po (𝐹𝑝) / 𝑥𝐵)
27 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑝𝑡 = 𝑝)
28 fveq2 6920 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑝 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑝))
2928csbeq1d 3925 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑝(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑝) / 𝑥𝐵)
3027, 29eleq12d 2838 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑝 → (𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝐵))
317simp2d 1143 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑡 𝑥𝐴 𝐵𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵)
3230, 31, 9rspcdva 3636 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝐵)
33 poirr 5620 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑝) / 𝑥𝑆 Po (𝐹𝑝) / 𝑥𝐵𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝐵) → ¬ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑝)
3426, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑝)
3534intnand 488 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ¬ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑝) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑝))
36 ioran 984 . . . . . 6 (¬ ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑝) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑝) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑝)) ↔ (¬ (𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑝) ∧ ¬ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑝) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑝)))
3712, 35, 36sylanbrc 582 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ¬ ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑝) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑝) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑝)))
384, 5weiunlem1 36428 . . . . . 6 (𝑝𝑇𝑝 ↔ ((𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑝 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑝) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑝) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑝))))
3938simprbi 496 . . . . 5 (𝑝𝑇𝑝 → ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑝) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑝) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑝)))
4037, 39nsyl 140 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ¬ 𝑝𝑇𝑝)
41 simpr3 1196 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑟 𝑥𝐴 𝐵)
429, 41jca 511 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵))
434, 5weiunlem1 36428 . . . . . . 7 (𝑝𝑇𝑞 ↔ ((𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑞) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞))))
4443simprbi 496 . . . . . 6 (𝑝𝑇𝑞 → ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑞) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞)))
454, 5weiunlem1 36428 . . . . . . 7 (𝑞𝑇𝑟 ↔ ((𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))))
4645simprbi 496 . . . . . 6 (𝑞𝑇𝑟 → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟)))
47 simpr2 1195 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑞 𝑥𝐴 𝐵)
488, 47ffvelcdmd 7119 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐴)
498, 41ffvelcdmd 7119 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝐹𝑟) ∈ 𝐴)
50 sotr 5633 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ ((𝐹𝑝) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑟) ∈ 𝐴)) → (((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟)) → (𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟)))
513, 10, 48, 49, 50syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟)) → (𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟)))
52 orc 866 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) → ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟)))
5351, 52syl6 35 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟)) → ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟))))
54 simprll 778 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟))) → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
55 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟))) → (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟))
5654, 55eqbrtrd 5188 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟))) → (𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟))
5756orcd 872 . . . . . . . 8 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟))) → ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟)))
5857ex 412 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ((((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟)) → ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟))))
59 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → (𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑞))
60 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟))
6159, 60breqtrd 5192 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → (𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟))
6261orcd 872 . . . . . . . 8 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟)))
6362ex 412 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟)) → ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟))))
64 simprll 778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
65 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑟))
6664, 65eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑟))
67 simprlr 779 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞)
68 simprrr 781 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟)
6964csbeq1d 3925 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → (𝐹𝑝) / 𝑥𝑆 = (𝐹𝑞) / 𝑥𝑆)
7069breqd 5177 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → (𝑞(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))
7168, 70mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → 𝑞(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟)
7226adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → (𝐹𝑝) / 𝑥𝑆 Po (𝐹𝑝) / 𝑥𝐵)
7332adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝐵)
74 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑞𝑡 = 𝑞)
75 fveq2 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑞 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑞))
7675csbeq1d 3925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑞(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)
7774, 76eleq12d 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑞 → (𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝐵))
7877, 31, 47rspcdva 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)
8064csbeq1d 3925 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → (𝐹𝑝) / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑞) / 𝑥𝐵)
8179, 80eleqtrrd 2847 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → 𝑞(𝐹𝑝) / 𝑥𝐵)
82 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑟𝑡 = 𝑟)
83 fveq2 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑟 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑟))
8483csbeq1d 3925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑟(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑟) / 𝑥𝐵)
8582, 84eleq12d 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑟 → (𝑡(𝐹𝑡) / 𝑥𝐵𝑟(𝐹𝑟) / 𝑥𝐵))
8685, 31, 41rspcdva 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑟(𝐹𝑟) / 𝑥𝐵)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → 𝑟(𝐹𝑟) / 𝑥𝐵)
8866csbeq1d 3925 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → (𝐹𝑝) / 𝑥𝐵 = (𝐹𝑟) / 𝑥𝐵)
8987, 88eleqtrrd 2847 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → 𝑟(𝐹𝑝) / 𝑥𝐵)
90 potr 5621 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑝) / 𝑥𝑆 Po (𝐹𝑝) / 𝑥𝐵 ∧ (𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝐵𝑞(𝐹𝑝) / 𝑥𝐵𝑟(𝐹𝑝) / 𝑥𝐵)) → ((𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞𝑞(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟) → 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟))
9172, 73, 81, 89, 90syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → ((𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞𝑞(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟) → 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟))
9267, 71, 91mp2and 698 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟)
9366, 92jca 511 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟))
9493olcd 873 . . . . . . . 8 ((((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ (((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟)))
9594ex 412 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ((((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞) ∧ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟)) → ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟))))
9653, 58, 63, 95ccased 1039 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ((((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑞) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑞) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑞)) ∧ ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑞) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑞(𝐹𝑞) / 𝑥𝑆𝑟))) → ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟))))
9744, 46, 96syl2ani 606 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ((𝑝𝑇𝑞𝑞𝑇𝑟) → ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟))))
984, 5weiunlem1 36428 . . . . . 6 (𝑝𝑇𝑟 ↔ ((𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟))))
9998biimpri 228 . . . . 5 (((𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵) ∧ ((𝐹𝑝)𝑅(𝐹𝑟) ∨ ((𝐹𝑝) = (𝐹𝑟) ∧ 𝑝(𝐹𝑝) / 𝑥𝑆𝑟))) → 𝑝𝑇𝑟)
10042, 97, 99syl6an 683 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → ((𝑝𝑇𝑞𝑞𝑇𝑟) → 𝑝𝑇𝑟))
10140, 100jca 511 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) ∧ (𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵)) → (¬ 𝑝𝑇𝑝 ∧ ((𝑝𝑇𝑞𝑞𝑇𝑟) → 𝑝𝑇𝑟)))
102101ralrimivvva 3211 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) → ∀𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑝𝑇𝑝 ∧ ((𝑝𝑇𝑞𝑞𝑇𝑟) → 𝑝𝑇𝑟)))
103 df-po 5607 . 2 (𝑇 Po 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑝 𝑥𝐴 𝐵𝑞 𝑥𝐴 𝐵𝑟 𝑥𝐴 𝐵𝑝𝑇𝑝 ∧ ((𝑝𝑇𝑞𝑞𝑇𝑟) → 𝑝𝑇𝑟)))
104102, 103sylibr 234 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑆 Po 𝐵) → 𝑇 Po 𝑥𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  {crab 3443  csb 3921   ciun 5015   class class class wbr 5166  {copab 5228  cmpt 5249   Po wpo 5605   Or wor 5606   Se wse 5650   We wwe 5651  wf 6569  cfv 6573  crio 7403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-riota 7404
This theorem is referenced by:  weiunso  36432
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