Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xraddge02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xraddge02 31544
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xraddge02 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xraddge02
StepHypRef Expression
1 xrleid 13062 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
21adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴𝐴)
3 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 0xr 11198 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
53, 4jctir 521 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*))
6 xle2add 13170 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
75, 6mpancom 686 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
82, 7mpand 693 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
9 xaddid1 13152 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
109breq1d 5113 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
1110adantr 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
128, 11sylibd 238 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7353  0cc0 11047  *cxr 11184  cle 11186   +𝑒 cxad 13023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-xadd 13026
This theorem is referenced by:  xrge0addge  31545  esummono  32522  esumle  32526  gsumesum  32527  esumlef  32530  measssd  32683  measunl  32684  carsgsigalem  32784
  Copyright terms: Public domain W3C validator