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Theorem metnrmlem3 24240
Description: Lemma for metnrm 24241. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metnrmlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metnrmlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
metnrmlem.u π‘ˆ = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))
metnrmlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metnrmlem.v 𝑉 = βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 (𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2))
Assertion
Ref Expression
metnrmlem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑧 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧   𝑑,𝑠,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   𝐽,𝑠,𝑑,𝑀,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑠,𝑑   𝐺,𝑠,𝑑   𝑇,𝑠,𝑑,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,𝑠,𝑑,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑀   𝑋,𝑠,𝑑,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐹,𝑠,𝑑,𝑀,𝑧   𝑀,𝑉,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝐽(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑑,𝑠)

Proof of Theorem metnrmlem3
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2 metdscn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
3 metnrmlem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 metnrmlem.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
5 metnrmlem.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
6 incom 4166 . . . . 5 (𝑇 ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝑇)
7 metnrmlem.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
86, 7eqtrid 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∩ 𝑆) = βˆ…)
9 metnrmlem.v . . . 4 𝑉 = βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 (𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2))
101, 2, 3, 4, 5, 8, 9metnrmlem2 24239 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉))
1110simpld 496 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
12 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
13 metnrmlem.u . . . 4 π‘ˆ = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))
1412, 2, 3, 5, 4, 7, 13metnrmlem2 24239 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
1514simpld 496 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
1610simprd 497 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑉)
1714simprd 497 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
189ineq1i 4173 . . . 4 (𝑉 ∩ π‘ˆ) = (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 (𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ)
19 iunin1 5037 . . . 4 βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) = (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 (𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ)
2018, 19eqtr4i 2768 . . 3 (𝑉 ∩ π‘ˆ) = βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ)
2113ineq2i 4174 . . . . . . . 8 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) = ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
22 iunin2 5036 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) = ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
2321, 22eqtr4i 2768 . . . . . . 7 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
243adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2625cldss 22396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
275, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
282mopnuni 23810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3027, 29sseqtrrd 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
3130sselda 3949 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ 𝑋)
3231adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑠 ∈ 𝑋)
3325cldss 22396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
3534, 29sseqtrrd 3990 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑋)
3635sselda 3949 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)
3736adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)
381, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1a 24237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (0 < (πΊβ€˜π‘ ) ∧ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ+))
3938simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ+)
4039adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ+)
4140rphalfcld 12976 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) ∈ ℝ+)
4241rpxrd 12965 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) ∈ ℝ*)
4312, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1a 24237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ+))
4443adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ+))
4544simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ+)
4645rphalfcld 12976 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ+)
4746rpxrd 12965 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ*)
4840rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
4948rehalfcld 12407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) ∈ ℝ)
5045rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
5150rehalfcld 12407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ)
5249, 51rexaddd 13160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) +𝑒 (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) = ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) + (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
5348recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ β„‚)
5450recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
55 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ 2 ∈ β„‚)
56 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 β‰  0
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ 2 β‰  0)
5853, 54, 55, 57divdird 11976 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) = ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) + (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
5952, 58eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) +𝑒 (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) = ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2))
601, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1 24238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ≀ (𝑑𝐷𝑠))
6160ancom2s 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ≀ (𝑑𝐷𝑠))
62 xmetsym 23716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) β†’ (𝑑𝐷𝑠) = (𝑠𝐷𝑑))
6324, 37, 32, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑑𝐷𝑠) = (𝑠𝐷𝑑))
6461, 63breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ≀ (𝑠𝐷𝑑))
6512, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1 24238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ≀ (𝑠𝐷𝑑))
6640rpxrd 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ*)
6745rpxrd 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ*)
68 xmetcl 23700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) β†’ (𝑠𝐷𝑑) ∈ ℝ*)
6924, 32, 37, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠𝐷𝑑) ∈ ℝ*)
70 xle2add 13185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ* ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑠𝐷𝑑) ∈ ℝ* ∧ (𝑠𝐷𝑑) ∈ ℝ*)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ≀ (𝑠𝐷𝑑) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ≀ (𝑠𝐷𝑑)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) +𝑒 if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((𝑠𝐷𝑑) +𝑒 (𝑠𝐷𝑑))))
7166, 67, 69, 69, 70syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ≀ (𝑠𝐷𝑑) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ≀ (𝑠𝐷𝑑)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) +𝑒 if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((𝑠𝐷𝑑) +𝑒 (𝑠𝐷𝑑))))
7264, 65, 71mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) +𝑒 if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((𝑠𝐷𝑑) +𝑒 (𝑠𝐷𝑑)))
7348, 50readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
7473recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
7574, 55, 57divcan2d 11940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (2 Β· ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) = (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))))
76 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
7773rehalfcld 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ∈ ℝ)
78 rexmul 13197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℝ ∧ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ∈ ℝ) β†’ (2 Β·e ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) = (2 Β· ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)))
7976, 77, 78sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (2 Β·e ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) = (2 Β· ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)))
8048, 50rexaddd 13160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) +𝑒 if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) = (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))))
8175, 79, 803eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (2 Β·e ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) = (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) +𝑒 if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))))
82 x2times 13225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠𝐷𝑑) ∈ ℝ* β†’ (2 Β·e (𝑠𝐷𝑑)) = ((𝑠𝐷𝑑) +𝑒 (𝑠𝐷𝑑)))
8369, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (2 Β·e (𝑠𝐷𝑑)) = ((𝑠𝐷𝑑) +𝑒 (𝑠𝐷𝑑)))
8472, 81, 833brtr4d 5142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (2 Β·e ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) ≀ (2 Β·e (𝑠𝐷𝑑)))
8577rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ∈ ℝ*)
86 2rp 12927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ+
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
88 xlemul2 13217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑠𝐷𝑑) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ+) β†’ (((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ≀ (𝑠𝐷𝑑) ↔ (2 Β·e ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) ≀ (2 Β·e (𝑠𝐷𝑑))))
8985, 69, 87, 88syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ≀ (𝑠𝐷𝑑) ↔ (2 Β·e ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) ≀ (2 Β·e (𝑠𝐷𝑑))))
9084, 89mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ≀ (𝑠𝐷𝑑))
9159, 90eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) +𝑒 (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ≀ (𝑠𝐷𝑑))
92 bldisj 23767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) ∧ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) ∈ ℝ* ∧ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ* ∧ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) +𝑒 (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ≀ (𝑠𝐷𝑑))) β†’ ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) = βˆ…)
9324, 32, 37, 42, 47, 91, 92syl33anc 1386 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) = βˆ…)
94 eqimss 4005 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) = βˆ… β†’ ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ…)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ…)
9695anassrs 469 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ…)
9796ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ…)
98 iunss 5010 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ… ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ…)
9997, 98sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ…)
10023, 99eqsstrid 3997 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) βŠ† βˆ…)
101100ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) βŠ† βˆ…)
102 iunss 5010 . . . . 5 (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) βŠ† βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) βŠ† βˆ…)
103101, 102sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) βŠ† βˆ…)
104 ss0 4363 . . . 4 (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) βŠ† βˆ… β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) = βˆ…)
105103, 104syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) = βˆ…)
10620, 105eqtrid 2789 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∩ π‘ˆ) = βˆ…)
107 sseq2 3975 . . . 4 (𝑧 = 𝑉 β†’ (𝑆 βŠ† 𝑧 ↔ 𝑆 βŠ† 𝑉))
108 ineq1 4170 . . . . 5 (𝑧 = 𝑉 β†’ (𝑧 ∩ 𝑀) = (𝑉 ∩ 𝑀))
109108eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑧 = 𝑉 β†’ ((𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ… ↔ (𝑉 ∩ 𝑀) = βˆ…))
110107, 1093anbi13d 1439 . . 3 (𝑧 = 𝑉 β†’ ((𝑆 βŠ† 𝑧 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…) ↔ (𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑀 ∧ (𝑉 ∩ 𝑀) = βˆ…)))
111 sseq2 3975 . . . 4 (𝑀 = π‘ˆ β†’ (𝑇 βŠ† 𝑀 ↔ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
112 ineq2 4171 . . . . 5 (𝑀 = π‘ˆ β†’ (𝑉 ∩ 𝑀) = (𝑉 ∩ π‘ˆ))
113112eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑀 = π‘ˆ β†’ ((𝑉 ∩ 𝑀) = βˆ… ↔ (𝑉 ∩ π‘ˆ) = βˆ…))
114111, 1133anbi23d 1440 . . 3 (𝑀 = π‘ˆ β†’ ((𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑀 ∧ (𝑉 ∩ 𝑀) = βˆ…) ↔ (𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝑉 ∩ π‘ˆ) = βˆ…)))
115110, 114rspc2ev 3595 . 2 ((𝑉 ∈ 𝐽 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝑉 ∩ π‘ˆ) = βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑧 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))
11611, 15, 16, 17, 106, 115syl113anc 1383 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑧 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  2c2 12215  β„+crp 12922   +𝑒 cxad 13038   Β·e cxmu 13039  βˆžMetcxmet 20797  ballcbl 20799  MetOpencmopn 20802  Clsdccld 22383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-ec 8657  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388
This theorem is referenced by:  metnrm  24241
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