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Theorem metnrmlem3 24377
Description: Lemma for metnrm 24378. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
metnrmlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
metnrmlem.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
metnrmlem.4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
metnrmlem.u π‘ˆ = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))
metnrmlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metnrmlem.v 𝑉 = βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 (𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2))
Assertion
Ref Expression
metnrmlem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑧 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧   𝑑,𝑠,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   𝐽,𝑠,𝑑,𝑀,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑠,𝑑   𝐺,𝑠,𝑑   𝑇,𝑠,𝑑,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,𝑠,𝑑,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑀   𝑋,𝑠,𝑑,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐹,𝑠,𝑑,𝑀,𝑧   𝑀,𝑉,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝐽(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑑,𝑠)

Proof of Theorem metnrmlem3
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑇 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2 metdscn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
3 metnrmlem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 metnrmlem.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½))
5 metnrmlem.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
6 incom 4202 . . . . 5 (𝑇 ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝑇)
7 metnrmlem.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑇) = βˆ…)
86, 7eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∩ 𝑆) = βˆ…)
9 metnrmlem.v . . . 4 𝑉 = βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 (𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2))
101, 2, 3, 4, 5, 8, 9metnrmlem2 24376 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉))
1110simpld 496 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
12 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
13 metnrmlem.u . . . 4 π‘ˆ = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))
1412, 2, 3, 5, 4, 7, 13metnrmlem2 24376 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
1514simpld 496 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
1610simprd 497 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑉)
1714simprd 497 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
189ineq1i 4209 . . . 4 (𝑉 ∩ π‘ˆ) = (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 (𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ)
19 iunin1 5076 . . . 4 βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) = (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 (𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ)
2018, 19eqtr4i 2764 . . 3 (𝑉 ∩ π‘ˆ) = βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ)
2113ineq2i 4210 . . . . . . . 8 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) = ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
22 iunin2 5075 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) = ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
2321, 22eqtr4i 2764 . . . . . . 7 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) = βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
243adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2625cldss 22533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
275, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
282mopnuni 23947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3027, 29sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
3130sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ 𝑋)
3231adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑠 ∈ 𝑋)
3325cldss 22533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐽)
3534, 29sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑋)
3635sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)
3736adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑋)
381, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1a 24374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (0 < (πΊβ€˜π‘ ) ∧ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ+))
3938simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ+)
4039adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ+)
4140rphalfcld 13028 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) ∈ ℝ+)
4241rpxrd 13017 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) ∈ ℝ*)
4312, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1a 24374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ+))
4443adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π‘‘) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ+))
4544simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ+)
4645rphalfcld 13028 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ+)
4746rpxrd 13017 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ*)
4840rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
4948rehalfcld 12459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) ∈ ℝ)
5045rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
5150rehalfcld 12459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ)
5249, 51rexaddd 13213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) +𝑒 (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) = ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) + (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
5348recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ β„‚)
5450recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
55 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ 2 ∈ β„‚)
56 2ne0 12316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 β‰  0
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ 2 β‰  0)
5853, 54, 55, 57divdird 12028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) = ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) + (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)))
5952, 58eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) +𝑒 (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) = ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2))
601, 2, 3, 4, 5, 8metnrmlem1 24375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ≀ (𝑑𝐷𝑠))
6160ancom2s 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ≀ (𝑑𝐷𝑠))
62 xmetsym 23853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 ∈ 𝑋 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) β†’ (𝑑𝐷𝑠) = (𝑠𝐷𝑑))
6324, 37, 32, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑑𝐷𝑠) = (𝑠𝐷𝑑))
6461, 63breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ≀ (𝑠𝐷𝑑))
6512, 2, 3, 5, 4, 7metnrmlem1 24375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ≀ (𝑠𝐷𝑑))
6640rpxrd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ*)
6745rpxrd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ*)
68 xmetcl 23837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) β†’ (𝑠𝐷𝑑) ∈ ℝ*)
6924, 32, 37, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠𝐷𝑑) ∈ ℝ*)
70 xle2add 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ* ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑠𝐷𝑑) ∈ ℝ* ∧ (𝑠𝐷𝑑) ∈ ℝ*)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ≀ (𝑠𝐷𝑑) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ≀ (𝑠𝐷𝑑)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) +𝑒 if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((𝑠𝐷𝑑) +𝑒 (𝑠𝐷𝑑))))
7166, 67, 69, 69, 70syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) ≀ (𝑠𝐷𝑑) ∧ if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) ≀ (𝑠𝐷𝑑)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) +𝑒 if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((𝑠𝐷𝑑) +𝑒 (𝑠𝐷𝑑))))
7264, 65, 71mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) +𝑒 if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((𝑠𝐷𝑑) +𝑒 (𝑠𝐷𝑑)))
7348, 50readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
7473recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
7574, 55, 57divcan2d 11992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (2 Β· ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) = (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))))
76 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
7773rehalfcld 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ∈ ℝ)
78 rexmul 13250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℝ ∧ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ∈ ℝ) β†’ (2 Β·e ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) = (2 Β· ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)))
7976, 77, 78sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (2 Β·e ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) = (2 Β· ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)))
8048, 50rexaddd 13213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) +𝑒 if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) = (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))))
8175, 79, 803eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (2 Β·e ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) = (if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) +𝑒 if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))))
82 x2times 13278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠𝐷𝑑) ∈ ℝ* β†’ (2 Β·e (𝑠𝐷𝑑)) = ((𝑠𝐷𝑑) +𝑒 (𝑠𝐷𝑑)))
8369, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (2 Β·e (𝑠𝐷𝑑)) = ((𝑠𝐷𝑑) +𝑒 (𝑠𝐷𝑑)))
8472, 81, 833brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (2 Β·e ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) ≀ (2 Β·e (𝑠𝐷𝑑)))
8577rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ∈ ℝ*)
86 2rp 12979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ+
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ 2 ∈ ℝ+)
88 xlemul2 13270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ∈ ℝ* ∧ (𝑠𝐷𝑑) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ+) β†’ (((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ≀ (𝑠𝐷𝑑) ↔ (2 Β·e ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) ≀ (2 Β·e (𝑠𝐷𝑑))))
8985, 69, 87, 88syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ≀ (𝑠𝐷𝑑) ↔ (2 Β·e ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2)) ≀ (2 Β·e (𝑠𝐷𝑑))))
9084, 89mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) + if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘))) / 2) ≀ (𝑠𝐷𝑑))
9159, 90eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) +𝑒 (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ≀ (𝑠𝐷𝑑))
92 bldisj 23904 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) ∧ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) ∈ ℝ* ∧ (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2) ∈ ℝ* ∧ ((if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2) +𝑒 (if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2)) ≀ (𝑠𝐷𝑑))) β†’ ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) = βˆ…)
9324, 32, 37, 42, 47, 91, 92syl33anc 1386 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) = βˆ…)
94 eqimss 4041 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) = βˆ… β†’ ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ…)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ…)
9695anassrs 469 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ…)
9796ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ…)
98 iunss 5049 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ… ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ…)
9997, 98sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝑇 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ (𝑑(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΉβ€˜π‘‘), 1, (πΉβ€˜π‘‘)) / 2))) βŠ† βˆ…)
10023, 99eqsstrid 4031 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) βŠ† βˆ…)
101100ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) βŠ† βˆ…)
102 iunss 5049 . . . . 5 (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) βŠ† βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) βŠ† βˆ…)
103101, 102sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) βŠ† βˆ…)
104 ss0 4399 . . . 4 (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) βŠ† βˆ… β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) = βˆ…)
105103, 104syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑠(ballβ€˜π·)(if(1 ≀ (πΊβ€˜π‘ ), 1, (πΊβ€˜π‘ )) / 2)) ∩ π‘ˆ) = βˆ…)
10620, 105eqtrid 2785 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∩ π‘ˆ) = βˆ…)
107 sseq2 4009 . . . 4 (𝑧 = 𝑉 β†’ (𝑆 βŠ† 𝑧 ↔ 𝑆 βŠ† 𝑉))
108 ineq1 4206 . . . . 5 (𝑧 = 𝑉 β†’ (𝑧 ∩ 𝑀) = (𝑉 ∩ 𝑀))
109108eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑧 = 𝑉 β†’ ((𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ… ↔ (𝑉 ∩ 𝑀) = βˆ…))
110107, 1093anbi13d 1439 . . 3 (𝑧 = 𝑉 β†’ ((𝑆 βŠ† 𝑧 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…) ↔ (𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑀 ∧ (𝑉 ∩ 𝑀) = βˆ…)))
111 sseq2 4009 . . . 4 (𝑀 = π‘ˆ β†’ (𝑇 βŠ† 𝑀 ↔ 𝑇 βŠ† π‘ˆ))
112 ineq2 4207 . . . . 5 (𝑀 = π‘ˆ β†’ (𝑉 ∩ 𝑀) = (𝑉 ∩ π‘ˆ))
113112eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑀 = π‘ˆ β†’ ((𝑉 ∩ 𝑀) = βˆ… ↔ (𝑉 ∩ π‘ˆ) = βˆ…))
114111, 1133anbi23d 1440 . . 3 (𝑀 = π‘ˆ β†’ ((𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑀 ∧ (𝑉 ∩ 𝑀) = βˆ…) ↔ (𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝑉 ∩ π‘ˆ) = βˆ…)))
115110, 114rspc2ev 3625 . 2 ((𝑉 ∈ 𝐽 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ (𝑉 ∩ π‘ˆ) = βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑧 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))
11611, 15, 16, 17, 106, 115syl113anc 1383 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐽 (𝑆 βŠ† 𝑧 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑀 ∧ (𝑧 ∩ 𝑀) = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  β„+crp 12974   +𝑒 cxad 13090   Β·e cxmu 13091  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  Clsdccld 22520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525
This theorem is referenced by:  metnrm  24378
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