MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulneg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulneg2 12657
Description: Extended real version of mulneg2 11071. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulneg2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e -𝑒𝐵) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xmulneg2
StepHypRef Expression
1 xmulneg1 12656 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 ·e 𝐴) = -𝑒(𝐵 ·e 𝐴))
21ancoms 461 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 ·e 𝐴) = -𝑒(𝐵 ·e 𝐴))
3 xnegcl 12600 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
4 xmulcom 12653 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e -𝑒𝐵) = (-𝑒𝐵 ·e 𝐴))
53, 4sylan2 594 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e -𝑒𝐵) = (-𝑒𝐵 ·e 𝐴))
6 xmulcom 12653 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐵 ·e 𝐴))
7 xnegeq 12594 . . 3 ((𝐴 ·e 𝐵) = (𝐵 ·e 𝐴) → -𝑒(𝐴 ·e 𝐵) = -𝑒(𝐵 ·e 𝐴))
86, 7syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 ·e 𝐵) = -𝑒(𝐵 ·e 𝐴))
92, 5, 83eqtr4d 2866 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e -𝑒𝐵) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  (class class class)co 7150  *cxr 10668  -𝑒cxne 12498   ·e cxmu 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-xneg 12501  df-xmul 12503
This theorem is referenced by:  xmulmnf1  12663  xmulass  12674
  Copyright terms: Public domain W3C validator