Theorem zorn2lem5 10497

Description: Lemma for zorn2 10503. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7	⊢ 𝐻 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem5	⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem5

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2	1	tfr1 8399	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn On
3		fnfun 6649	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
5		fvelima 6957	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠)
6	4, 5	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠)
7		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On)
8		nfra1 3281	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅
9	7, 8	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)
10		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑠 ∈ 𝐴
11		df-ral 3062	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅))
12		onelon 6389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ On)
13		zorn2lem.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧}
14	13	ssrab3 4080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝐴
15		zorn2lem.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
16	1, 15, 13	zorn2lem1 10493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐻)
17	14, 16	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐴)
18		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ 𝑠 ∈ 𝐴))
19	17, 18	imbitrid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠 ∈ 𝐴))
20	12, 19	sylani 604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠 ∈ 𝐴))
21	20	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))
22	21	exp43 437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 We 𝐴 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))))
23	22	com3r 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 We 𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))))
24	23	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
25	24	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
26	25	spsd 2180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
27	11, 26	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
28	27	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))
29	9, 10, 28	rexlimd 3263	. . 3 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))
30	6, 29	syl5 34	. 2 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → 𝑠 ∈ 𝐴))
31	30	ssrdv 3988	1 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   We wwe 5630  ran crn 5677   “ cima 5679  Oncon0 6364  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  ℩crio 7366  recscrecs 8372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373

This theorem is referenced by:  zorn2lem6  10498  zorn2lem7  10499