Theorem zorn2lem5 10414

Description: Lemma for zorn2 10420. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7	⊢ 𝐻 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem5	⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem5

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2	1	tfr1 8327	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn On
3		fnfun 6586	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
5		fvelima 6893	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠)
6	4, 5	mpan 696	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠)
7		nfv 1921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On)
8		nfra1 3263	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅
9	7, 8	nfan 1906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)
10		nfv 1921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑠 ∈ 𝐴
11		df-ral 3054	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅))
12		onelon 6336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ On)
13		zorn2lem.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧}
14	13	ssrab3 4014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝐴
15		zorn2lem.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
16	1, 15, 13	zorn2lem1 10410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐻)
17	14, 16	sselid 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐴)
18		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ 𝑠 ∈ 𝐴))
19	17, 18	imbitrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠 ∈ 𝐴))
20	12, 19	sylani 610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠 ∈ 𝐴))
21	20	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))
22	21	exp43 437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 We 𝐴 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))))
23	22	com3r 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 We 𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))))
24	23	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
25	24	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
26	25	spsd 2199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
27	11, 26	biimtrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
28	27	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))
29	9, 10, 28	rexlimd 3246	. . 3 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))
30	6, 29	syl5 34	. 2 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → 𝑠 ∈ 𝐴))
31	30	ssrdv 3921	1 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1545   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154   We wwe 5571  ran crn 5620   “ cima 5622  Oncon0 6311  Fun wfun 6480   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  ℩crio 7313  recscrecs 8301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302

This theorem is referenced by:  zorn2lem6  10415  zorn2lem7  10416