Theorem zorn2lem5 10412

Description: Lemma for zorn2 10418. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7	⊢ 𝐻 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem5	⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem5

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2	1	tfr1 8328	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn On
3		fnfun 6592	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
5		fvelima 6899	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠)
6	4, 5	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠)
7		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On)
8		nfra1 3260	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅
9	7, 8	nfan 1900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)
10		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑠 ∈ 𝐴
11		df-ral 3052	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅))
12		onelon 6342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ On)
13		zorn2lem.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧}
14	13	ssrab3 4034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝐴
15		zorn2lem.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
16	1, 15, 13	zorn2lem1 10408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐻)
17	14, 16	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐴)
18		eleq1 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ 𝑠 ∈ 𝐴))
19	17, 18	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠 ∈ 𝐴))
20	12, 19	sylani 604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠 ∈ 𝐴))
21	20	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))
22	21	exp43 436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 We 𝐴 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))))
23	22	com3r 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 We 𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))))
24	23	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
25	24	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
26	25	spsd 2194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
27	11, 26	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
28	27	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))
29	9, 10, 28	rexlimd 3243	. . 3 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))
30	6, 29	syl5 34	. 2 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → 𝑠 ∈ 𝐴))
31	30	ssrdv 3939	1 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   We wwe 5576  ran crn 5625   “ cima 5627  Oncon0 6317  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  ℩crio 7314  recscrecs 8302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303

This theorem is referenced by:  zorn2lem6  10413  zorn2lem7  10414