MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem5 10495
Description: Lemma for zorn2 10501. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem5 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem5
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . . . 6 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
21tfr1 8397 . . . . 5 𝐹 Fn On
3 fnfun 6650 . . . . 5 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 Fun 𝐹
5 fvelima 6958 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑠)
64, 5mpan 689 . . 3 (𝑠 ∈ (𝐹𝑥) → ∃𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑠)
7 nfv 1918 . . . . 5 𝑦(𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On)
8 nfra1 3282 . . . . 5 𝑦𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅
97, 8nfan 1903 . . . 4 𝑦((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)
10 nfv 1918 . . . 4 𝑦 𝑠𝐴
11 df-ral 3063 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦𝑥𝐻 ≠ ∅))
12 onelon 6390 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ On)
13 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
1413ssrab3 4081 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐻𝐴
15 zorn2lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
161, 15, 13zorn2lem1 10491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐻)
1714, 16sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐴)
18 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑦) = 𝑠 → ((𝐹𝑦) ∈ 𝐴𝑠𝐴))
1917, 18imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) = 𝑠 → ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠𝐴))
2012, 19sylani 605 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑦) = 𝑠 → (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠𝐴))
2120com12 32 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))
2221exp43 438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝑤 We 𝐴 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴)))))
2322com3r 87 . . . . . . . . 9 (𝑤 We 𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴)))))
2423imp 408 . . . . . . . 8 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (𝑦𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))))
2524a2d 29 . . . . . . 7 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → ((𝑦𝑥𝐻 ≠ ∅) → (𝑦𝑥 → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))))
2625spsd 2181 . . . . . 6 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦(𝑦𝑥𝐻 ≠ ∅) → (𝑦𝑥 → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))))
2711, 26biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → (𝑦𝑥 → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))))
2827imp 408 . . . 4 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦𝑥 → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴)))
299, 10, 28rexlimd 3264 . . 3 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))
306, 29syl5 34 . 2 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑠 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑠𝐴))
3130ssrdv 3989 1 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  cmpt 5232   We wwe 5631  ran crn 5678  cima 5680  Oncon0 6365  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  cfv 6544  crio 7364  recscrecs 8370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371
This theorem is referenced by:  zorn2lem6  10496  zorn2lem7  10497
  Copyright terms: Public domain W3C validator