Theorem zorn2lem5 10429

Description: Lemma for zorn2 10435. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7	⊢ 𝐻 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem5	⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem5

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2	1	tfr1 8342	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn On
3		fnfun 6600	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
5		fvelima 6908	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠)
6	4, 5	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠)
7		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On)
8		nfra1 3259	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅
9	7, 8	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)
10		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑠 ∈ 𝐴
11		df-ral 3045	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅))
12		onelon 6345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ On)
13		zorn2lem.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧}
14	13	ssrab3 4041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝐴
15		zorn2lem.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
16	1, 15, 13	zorn2lem1 10425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐻)
17	14, 16	sselid 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐴)
18		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ 𝑠 ∈ 𝐴))
19	17, 18	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠 ∈ 𝐴))
20	12, 19	sylani 604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠 ∈ 𝐴))
21	20	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))
22	21	exp43 436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 We 𝐴 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))))
23	22	com3r 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 We 𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))))
24	23	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
25	24	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
26	25	spsd 2188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
27	11, 26	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
28	27	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))
29	9, 10, 28	rexlimd 3242	. . 3 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))
30	6, 29	syl5 34	. 2 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → 𝑠 ∈ 𝐴))
31	30	ssrdv 3949	1 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3402  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   We wwe 5583  ran crn 5632   “ cima 5634  Oncon0 6320  Fun wfun 6493   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  ℩crio 7325  recscrecs 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317

This theorem is referenced by:  zorn2lem6  10430  zorn2lem7  10431