MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem5 10498
Description: Lemma for zorn2 10504. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem5 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem5
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . . . 6 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
21tfr1 8400 . . . . 5 𝐹 Fn On
3 fnfun 6650 . . . . 5 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 Fun 𝐹
5 fvelima 6958 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑠 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑠)
64, 5mpan 687 . . 3 (𝑠 ∈ (𝐹𝑥) → ∃𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑠)
7 nfv 1916 . . . . 5 𝑦(𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On)
8 nfra1 3280 . . . . 5 𝑦𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅
97, 8nfan 1901 . . . 4 𝑦((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)
10 nfv 1916 . . . 4 𝑦 𝑠𝐴
11 df-ral 3061 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦𝑥𝐻 ≠ ∅))
12 onelon 6390 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ On)
13 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
1413ssrab3 4081 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐻𝐴
15 zorn2lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
161, 15, 13zorn2lem1 10494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐻)
1714, 16sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐴)
18 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑦) = 𝑠 → ((𝐹𝑦) ∈ 𝐴𝑠𝐴))
1917, 18imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) = 𝑠 → ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠𝐴))
2012, 19sylani 603 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑦) = 𝑠 → (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠𝐴))
2120com12 32 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴𝐻 ≠ ∅)) → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))
2221exp43 436 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝑤 We 𝐴 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴)))))
2322com3r 87 . . . . . . . . 9 (𝑤 We 𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴)))))
2423imp 406 . . . . . . . 8 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (𝑦𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))))
2524a2d 29 . . . . . . 7 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → ((𝑦𝑥𝐻 ≠ ∅) → (𝑦𝑥 → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))))
2625spsd 2179 . . . . . 6 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦(𝑦𝑥𝐻 ≠ ∅) → (𝑦𝑥 → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))))
2711, 26biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → (𝑦𝑥 → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))))
2827imp 406 . . . 4 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦𝑥 → ((𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴)))
299, 10, 28rexlimd 3262 . . 3 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑠𝑠𝐴))
306, 29syl5 34 . 2 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑠 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑠𝐴))
3130ssrdv 3989 1 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  cmpt 5232   We wwe 5631  ran crn 5678  cima 5680  Oncon0 6365  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  cfv 6544  crio 7367  recscrecs 8373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374
This theorem is referenced by:  zorn2lem6  10499  zorn2lem7  10500
  Copyright terms: Public domain W3C validator