Theorem zorn2lem5 10538

Description: Lemma for zorn2 10544. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7	⊢ 𝐻 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem5	⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem5

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2	1	tfr1 8436	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Fn On
3		fnfun 6669	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
5		fvelima 6974	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠)
6	4, 5	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠)
7		nfv 1912	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On)
8		nfra1 3282	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅
9	7, 8	nfan 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅)
10		nfv 1912	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑠 ∈ 𝐴
11		df-ral 3060	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅))
12		onelon 6411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ On)
13		zorn2lem.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐻 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑦)𝑔𝑅𝑧}
14	13	ssrab3 4092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐻 ⊆ 𝐴
15		zorn2lem.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
16	1, 15, 13	zorn2lem1 10534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐻)
17	14, 16	sselid 3993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐴)
18		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝐴 ↔ 𝑠 ∈ 𝐴))
19	17, 18	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠 ∈ 𝐴))
20	12, 19	sylani 604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → 𝑠 ∈ 𝐴))
21	20	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))
22	21	exp43 436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑤 We 𝐴 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))))
23	22	com3r 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 We 𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))))
24	23	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐻 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
25	24	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
26	25	spsd 2185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
27	11, 26	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅ → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))))
28	27	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴)))
29	9, 10, 28	rexlimd 3264	. . 3 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = 𝑠 → 𝑠 ∈ 𝐴))
30	6, 29	syl5 34	. 2 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑠 ∈ (𝐹 “ 𝑥) → 𝑠 ∈ 𝐴))
31	30	ssrdv 4001	1 ⊢ (((𝑤 We 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   We wwe 5640  ran crn 5690   “ cima 5692  Oncon0 6386  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  ℩crio 7387  recscrecs 8409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410

This theorem is referenced by:  zorn2lem6  10539  zorn2lem7  10540