Theorem fvelima 6950

Description: Function value in an image. Part of Theorem 4.4(iii) of [Monk1] p. 42. (Contributed by NM, 29-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fvelima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funbrfv 6933	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑥𝐹𝐴 → (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
2	1	reximdv 3177	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
3		elimag 6059	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴))
4	3	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴)
5	2, 4	impel 515	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102   “ cima 5653  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546

This theorem is used by:  funimassd  6951  ssimaex  6970  isofrlem  7348  fimaproj  8154  tz7.49  8458  rankwflemb  9803  rankwflembOLD  9804  tcrank  9904  zorn2lem5  10581  zorn2lem6  10582  uniimadom  10631  wunr1om  10807  tskr1om  10855  tskhf  10856  grur1  10908  imadrhmcl  21059  iscldtop  23418  kqfvima  24054  fmfnfmlem4  24281  fmfnfm  24282  qustgpopn  24444  cphsscph  25577  c1liplem1  26321  plypf1  26536  lrrecfr  28334  ltgseg  29064  axcontlem9  29555  uhgrspan1  29889  pthdlem2lem  30358  htthlem  31524  xrofsup  33405  tocyccntz  33751  rhmimaidl  34028  esplymhp  34246  dimval  34279  dimvalfi  34280  txomap  34512  qtophaus  34514  acwer1prc  35816  erdszelem7  36048  erdszelem8  36049  mrsub0  36367  mrsubccat  36369  mrsubcn  36370  msubrn  36380  mthmblem  36431  ivthALT  37215  weiunfr  37347  ftc2nc  38713  heibor1lem  38836  aks6d1c4  43267  imacrhmcl  43674  ismrc  43805  relpfrlem  46036  icccncfext  46990  dirkercncflem2  47207  smfpimbor1lem1  47901  imaf1co  50364