Theorem fvelima 6892

Description: Function value in an image. Part of Theorem 4.4(iii) of [Monk1] p. 42. (Contributed by NM, 29-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fvelima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funbrfv 6875	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑥𝐹𝐴 → (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
2	1	reximdv 3144	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
3		elimag 6019	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴)
5	2, 4	impel 505	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095   “ cima 5626  Fun wfun 6480  ‘cfv 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  funimassd  6893  ssimaex  6912  isofrlem  7281  fimaproj  8075  tz7.49  8374  rankwflemb  9708  tcrank  9799  zorn2lem5  10413  zorn2lem6  10414  uniimadom  10457  wunr1om  10632  tskr1om  10680  tskr1om2  10681  grur1  10733  imadrhmcl  20701  iscldtop  22999  kqfvima  23634  fmfnfmlem4  23861  fmfnfm  23862  qustgpopn  24024  cphsscph  25168  c1liplem1  25918  plypf1  26134  lrrecfr  27874  ltgseg  28560  axcontlem9  28936  uhgrspan1  29267  pthdlem2lem  29731  htthlem  30880  xrofsup  32729  tocyccntz  33105  rhmimaidl  33388  dimval  33586  dimvalfi  33587  txomap  33820  qtophaus  33822  erdszelem7  35189  erdszelem8  35190  mrsub0  35508  mrsubccat  35510  mrsubcn  35511  msubrn  35521  mthmblem  35572  ivthALT  36328  weiunfr  36460  ftc2nc  37701  heibor1lem  37808  aks6d1c4  42117  imacrhmcl  42507  ismrc  42694  relpfrlem  44947  icccncfext  45888  dirkercncflem2  46105  smfpimbor1lem1  46799  imaf1co  49160