Theorem fvelima 6907

Description: Function value in an image. Part of Theorem 4.4(iii) of [Monk1] p. 42. (Contributed by NM, 29-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fvelima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funbrfv 6890	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑥𝐹𝐴 → (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
2	1	reximdv 3153	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
3		elimag 6031	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴)
5	2, 4	impel 505	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100   “ cima 5635  Fun wfun 6494  ‘cfv 6500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508

This theorem is referenced by:  funimassd  6908  ssimaex  6927  isofrlem  7296  fimaproj  8087  tz7.49  8386  rankwflemb  9717  tcrank  9808  zorn2lem5  10422  zorn2lem6  10423  uniimadom  10466  wunr1om  10642  tskr1om  10690  tskr1om2  10691  grur1  10743  imadrhmcl  20742  iscldtop  23051  kqfvima  23686  fmfnfmlem4  23913  fmfnfm  23914  qustgpopn  24076  cphsscph  25219  c1liplem1  25969  plypf1  26185  lrrecfr  27951  ltgseg  28680  axcontlem9  29057  uhgrspan1  29388  pthdlem2lem  29852  htthlem  31004  xrofsup  32857  tocyccntz  33237  rhmimaidl  33524  esplymhp  33744  dimval  33777  dimvalfi  33778  txomap  34011  qtophaus  34013  erdszelem7  35410  erdszelem8  35411  mrsub0  35729  mrsubccat  35731  mrsubcn  35732  msubrn  35742  mthmblem  35793  ivthALT  36548  weiunfr  36680  ftc2nc  37950  heibor1lem  38057  aks6d1c4  42491  imacrhmcl  42881  ismrc  43055  relpfrlem  45306  icccncfext  46242  dirkercncflem2  46459  smfpimbor1lem1  47153  imaf1co  49511