Theorem fvelima 6955

Description: Function value in an image. Part of Theorem 4.4(iii) of [Monk1] p. 42. (Contributed by NM, 29-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fvelima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funbrfv 6940	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑥𝐹𝐴 → (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
2	1	reximdv 3171	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
3		elimag 6062	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴)
5	2, 4	impel 507	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   class class class wbr 5148   “ cima 5679  Fun wfun 6535  ‘cfv 6541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fv 6549

This theorem is referenced by:  funimassd  6956  ssimaex  6974  isofrlem  7334  fimaproj  8118  tz7.49  8442  rankwflemb  9785  tcrank  9876  zorn2lem5  10492  zorn2lem6  10493  uniimadom  10536  wunr1om  10711  tskr1om  10759  tskr1om2  10760  grur1  10812  imadrhmcl  20406  iscldtop  22591  kqfvima  23226  fmfnfmlem4  23453  fmfnfm  23454  qustgpopn  23616  cphsscph  24760  c1liplem1  25505  plypf1  25718  lrrecfr  27417  ltgseg  27837  axcontlem9  28220  uhgrspan1  28550  pthdlem2lem  29014  htthlem  30158  xrofsup  31968  tocyccntz  32291  rhmimaidl  32539  dimval  32675  dimvalfi  32676  txomap  32803  qtophaus  32805  erdszelem7  34177  erdszelem8  34178  mrsub0  34496  mrsubccat  34498  mrsubcn  34499  msubrn  34509  mthmblem  34560  ivthALT  35209  ftc2nc  36559  heibor1lem  36666  imacrhmcl  41087  ismrc  41425  icccncfext  44590  dirkercncflem2  44807  smfpimbor1lem1  45501