MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvelima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvelima 6724
Description: Function value in an image. Part of Theorem 4.4(iii) of [Monk1] p. 42. (Contributed by NM, 29-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
fvelima ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelima
StepHypRef Expression
1 funbrfv 6709 . . 3 (Fun 𝐹 → (𝑥𝐹𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝐴))
21reximdv 3271 . 2 (Fun 𝐹 → (∃𝑥𝐵 𝑥𝐹𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴))
3 elimag 5926 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐹𝐴))
43ibi 269 . 2 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝐵 𝑥𝐹𝐴)
52, 4impel 508 1 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ∃𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3137   class class class wbr 5057  cima 5551  Fun wfun 6342  cfv 6348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356
This theorem is referenced by:  ssimaex  6741  isofrlem  7085  fimaproj  7821  tz7.49  8073  rankwflemb  9214  tcrank  9305  zorn2lem5  9914  zorn2lem6  9915  uniimadom  9958  wunr1om  10133  tskr1om  10181  tskr1om2  10182  grur1  10234  iscldtop  21695  kqfvima  22330  fmfnfmlem4  22557  fmfnfm  22558  qustgpopn  22720  cphsscph  23846  c1liplem1  24585  plypf1  24794  ltgseg  26374  axcontlem9  26750  uhgrspan1  27077  pthdlem2lem  27540  htthlem  28686  xrofsup  30484  tocyccntz  30779  dimval  30989  dimvalfi  30990  txomap  31086  qtophaus  31088  erdszelem7  32432  erdszelem8  32433  mrsub0  32751  mrsubccat  32753  mrsubcn  32754  msubrn  32764  mthmblem  32815  ivthALT  33671  ftc2nc  34963  heibor1lem  35074  ismrc  39283  funimassd  41481  icccncfext  42154  dirkercncflem2  42374  smfpimbor1lem1  43058
  Copyright terms: Public domain W3C validator