Theorem fvelima 6926

Description: Function value in an image. Part of Theorem 4.4(iii) of [Monk1] p. 42. (Contributed by NM, 29-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fvelima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funbrfv 6909	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑥𝐹𝐴 → (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
2	1	reximdv 3176	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
3		elimag 6048	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴))
4	3	ibi 269	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴)
5	2, 4	impel 513	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   class class class wbr 5097   “ cima 5646  Fun wfun 6509  ‘cfv 6515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fv 6523

This theorem is referenced by:  funimassd  6927  ssimaex  6946  isofrlem  7318  fimaproj  8108  tz7.49  8409  rankwflemb  9744  tcrank  9835  zorn2lem5  10450  zorn2lem6  10451  uniimadom  10494  wunr1om  10670  tskr1om  10718  tskr1om2  10719  grur1  10771  imadrhmcl  20833  iscldtop  23142  kqfvima  23777  fmfnfmlem4  24004  fmfnfm  24005  qustgpopn  24167  cphsscph  25300  c1liplem1  26045  plypf1  26259  lrrecfr  28023  ltgseg  28752  axcontlem9  29129  uhgrspan1  29460  pthdlem2lem  29923  htthlem  31076  xrofsup  32929  tocyccntz  33284  rhmimaidl  33578  esplymhp  33825  dimval  33858  dimvalfi  33859  txomap  34091  qtophaus  34093  erdszelem7  35507  erdszelem8  35508  mrsub0  35826  mrsubccat  35828  mrsubcn  35829  msubrn  35839  mthmblem  35890  ivthALT  36655  weiunfr  36787  ftc2nc  38161  heibor1lem  38268  aks6d1c4  42701  imacrhmcl  43096  ismrc  43242  relpfrlem  45489  icccncfext  46421  dirkercncflem2  46638  smfpimbor1lem1  47332  imaf1co  49736