Theorem fvelima 6887

Description: Function value in an image. Part of Theorem 4.4(iii) of [Monk1] p. 42. (Contributed by NM, 29-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fvelima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funbrfv 6870	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑥𝐹𝐴 → (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
2	1	reximdv 3147	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
3		elimag 6013	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴)
5	2, 4	impel 505	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091   “ cima 5619  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  funimassd  6888  ssimaex  6907  isofrlem  7274  fimaproj  8065  tz7.49  8364  rankwflemb  9686  tcrank  9777  zorn2lem5  10391  zorn2lem6  10392  uniimadom  10435  wunr1om  10610  tskr1om  10658  tskr1om2  10659  grur1  10711  imadrhmcl  20713  iscldtop  23011  kqfvima  23646  fmfnfmlem4  23873  fmfnfm  23874  qustgpopn  24036  cphsscph  25179  c1liplem1  25929  plypf1  26145  lrrecfr  27887  ltgseg  28575  axcontlem9  28951  uhgrspan1  29282  pthdlem2lem  29746  htthlem  30895  xrofsup  32748  tocyccntz  33111  rhmimaidl  33395  esplymhp  33587  dimval  33611  dimvalfi  33612  txomap  33845  qtophaus  33847  erdszelem7  35239  erdszelem8  35240  mrsub0  35558  mrsubccat  35560  mrsubcn  35561  msubrn  35571  mthmblem  35622  ivthALT  36375  weiunfr  36507  ftc2nc  37748  heibor1lem  37855  aks6d1c4  42163  imacrhmcl  42553  ismrc  42740  relpfrlem  44992  icccncfext  45931  dirkercncflem2  46148  smfpimbor1lem1  46842  imaf1co  49193