Theorem fvelima 6949

Description: Function value in an image. Part of Theorem 4.4(iii) of [Monk1] p. 42. (Contributed by NM, 29-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fvelima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funbrfv 6932	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑥𝐹𝐴 → (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
2	1	reximdv 3156	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
3		elimag 6056	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴))
4	3	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴)
5	2, 4	impel 505	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124   “ cima 5662  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  funimassd  6950  ssimaex  6969  isofrlem  7338  fimaproj  8139  tz7.49  8464  rankwflemb  9812  tcrank  9903  zorn2lem5  10519  zorn2lem6  10520  uniimadom  10563  wunr1om  10738  tskr1om  10786  tskr1om2  10787  grur1  10839  imadrhmcl  20762  iscldtop  23038  kqfvima  23673  fmfnfmlem4  23900  fmfnfm  23901  qustgpopn  24063  cphsscph  25208  c1liplem1  25958  plypf1  26174  lrrecfr  27907  ltgseg  28580  axcontlem9  28956  uhgrspan1  29287  pthdlem2lem  29754  htthlem  30903  xrofsup  32749  tocyccntz  33160  rhmimaidl  33452  dimval  33645  dimvalfi  33646  txomap  33870  qtophaus  33872  erdszelem7  35224  erdszelem8  35225  mrsub0  35543  mrsubccat  35545  mrsubcn  35546  msubrn  35556  mthmblem  35607  ivthALT  36358  weiunfr  36490  ftc2nc  37731  heibor1lem  37838  aks6d1c4  42142  imacrhmcl  42504  ismrc  42691  relpfrlem  44945  icccncfext  45883  dirkercncflem2  46100  smfpimbor1lem1  46794  imaf1co  49062