Theorem fvelima 6963

Description: Function value in an image. Part of Theorem 4.4(iii) of [Monk1] p. 42. (Contributed by NM, 29-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fvelima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funbrfv 6947	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑥𝐹𝐴 → (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
2	1	reximdv 3159	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴))
3		elimag 6068	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴))
4	3	ibi 266	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝐴)
5	2, 4	impel 504	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059   class class class wbr 5149   “ cima 5681  Fun wfun 6543  ‘cfv 6549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557

This theorem is referenced by:  funimassd  6964  ssimaex  6982  isofrlem  7347  fimaproj  8140  tz7.49  8466  rankwflemb  9818  tcrank  9909  zorn2lem5  10525  zorn2lem6  10526  uniimadom  10569  wunr1om  10744  tskr1om  10792  tskr1om2  10793  grur1  10845  imadrhmcl  20697  iscldtop  23043  kqfvima  23678  fmfnfmlem4  23905  fmfnfm  23906  qustgpopn  24068  cphsscph  25223  c1liplem1  25973  plypf1  26191  lrrecfr  27906  ltgseg  28472  axcontlem9  28855  uhgrspan1  29188  pthdlem2lem  29653  htthlem  30799  xrofsup  32619  tocyccntz  32957  rhmimaidl  33244  dimval  33429  dimvalfi  33430  txomap  33566  qtophaus  33568  erdszelem7  34938  erdszelem8  34939  mrsub0  35257  mrsubccat  35259  mrsubcn  35260  msubrn  35270  mthmblem  35321  ivthALT  35950  ftc2nc  37306  heibor1lem  37413  aks6d1c4  41727  imacrhmcl  41889  ismrc  42263  icccncfext  45413  dirkercncflem2  45630  smfpimbor1lem1  46324