New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  cenc GIF version

Theorem cenc 6181
 Description: Cardinal exponentiation in terms of cardinality. Theorem XI.2.39 of [Rosser] p. 382. (Contributed by SF, 6-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cenc.1 A V
cenc.2 B V
Assertion
Ref Expression
cenc ( Nc 1Ac Nc 1B) = Nc (Am B)

Proof of Theorem cenc
Dummy variables a b g p t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnc 6125 . . . . . . . . 9 (1p Nc 1A1p1A)
2 enpw1 6062 . . . . . . . . 9 (pA1p1A)
31, 2bitr4i 243 . . . . . . . 8 (1p Nc 1ApA)
4 elnc 6125 . . . . . . . . 9 (1t Nc 1B1t1B)
5 enpw1 6062 . . . . . . . . 9 (tB1t1B)
64, 5bitr4i 243 . . . . . . . 8 (1t Nc 1BtB)
7 enmap1 6074 . . . . . . . . 9 (pA → (pm t) ≈ (Am t))
8 enmap2 6068 . . . . . . . . 9 (tB → (Am t) ≈ (Am B))
9 entr 6038 . . . . . . . . 9 (((pm t) ≈ (Am t) (Am t) ≈ (Am B)) → (pm t) ≈ (Am B))
107, 8, 9syl2an 463 . . . . . . . 8 ((pA tB) → (pm t) ≈ (Am B))
113, 6, 10syl2anb 465 . . . . . . 7 ((1p Nc 1A 1t Nc 1B) → (pm t) ≈ (Am B))
12 entr 6038 . . . . . . . 8 ((g ≈ (pm t) (pm t) ≈ (Am B)) → g ≈ (Am B))
1312ancoms 439 . . . . . . 7 (((pm t) ≈ (Am B) g ≈ (pm t)) → g ≈ (Am B))
1411, 13sylan 457 . . . . . 6 (((1p Nc 1A 1t Nc 1B) g ≈ (pm t)) → g ≈ (Am B))
15143impa 1146 . . . . 5 ((1p Nc 1A 1t Nc 1B g ≈ (pm t)) → g ≈ (Am B))
1615exlimivv 1635 . . . 4 (pt(1p Nc 1A 1t Nc 1B g ≈ (pm t)) → g ≈ (Am B))
17 cenc.1 . . . . . . 7 A V
1817pw1ex 4303 . . . . . 6 1A V
1918ncelncsi 6121 . . . . 5 Nc 1A NC
20 cenc.2 . . . . . . 7 B V
2120pw1ex 4303 . . . . . 6 1B V
2221ncelncsi 6121 . . . . 5 Nc 1B NC
23 elce 6175 . . . . 5 (( Nc 1A NC Nc 1B NC ) → (g ( Nc 1Ac Nc 1B) ↔ pt(1p Nc 1A 1t Nc 1B g ≈ (pm t))))
2419, 22, 23mp2an 653 . . . 4 (g ( Nc 1Ac Nc 1B) ↔ pt(1p Nc 1A 1t Nc 1B g ≈ (pm t)))
25 elnc 6125 . . . 4 (g Nc (Am B) ↔ g ≈ (Am B))
2616, 24, 253imtr4i 257 . . 3 (g ( Nc 1Ac Nc 1B) → g Nc (Am B))
2726ssriv 3277 . 2 ( Nc 1Ac Nc 1B) Nc (Am B)
2818ncid 6123 . . . . 5 1A Nc 1A
2921ncid 6123 . . . . 5 1B Nc 1B
30 pw1eq 4143 . . . . . . . . 9 (a = A1a = 1A)
3130eleq1d 2419 . . . . . . . 8 (a = A → (1a Nc 1A1A Nc 1A))
3231adantr 451 . . . . . . 7 ((a = A b = B) → (1a Nc 1A1A Nc 1A))
33 pw1eq 4143 . . . . . . . . 9 (b = B1b = 1B)
3433eleq1d 2419 . . . . . . . 8 (b = B → (1b Nc 1B1B Nc 1B))
3534adantl 452 . . . . . . 7 ((a = A b = B) → (1b Nc 1B1B Nc 1B))
36 oveq12 5532 . . . . . . . 8 ((a = A b = B) → (am b) = (Am B))
3736breq2d 4651 . . . . . . 7 ((a = A b = B) → (g ≈ (am b) ↔ g ≈ (Am B)))
3832, 35, 373anbi123d 1252 . . . . . 6 ((a = A b = B) → ((1a Nc 1A 1b Nc 1B g ≈ (am b)) ↔ (1A Nc 1A 1B Nc 1B g ≈ (Am B))))
3917, 20, 38spc2ev 2947 . . . . 5 ((1A Nc 1A 1B Nc 1B g ≈ (Am B)) → ab(1a Nc 1A 1b Nc 1B g ≈ (am b)))
4028, 29, 39mp3an12 1267 . . . 4 (g ≈ (Am B) → ab(1a Nc 1A 1b Nc 1B g ≈ (am b)))
41 elce 6175 . . . . 5 (( Nc 1A NC Nc 1B NC ) → (g ( Nc 1Ac Nc 1B) ↔ ab(1a Nc 1A 1b Nc 1B g ≈ (am b))))
4219, 22, 41mp2an 653 . . . 4 (g ( Nc 1Ac Nc 1B) ↔ ab(1a Nc 1A 1b Nc 1B g ≈ (am b)))
4340, 25, 423imtr4i 257 . . 3 (g Nc (Am B) → g ( Nc 1Ac Nc 1B))
4443ssriv 3277 . 2 Nc (Am B) ( Nc 1Ac Nc 1B)
4527, 44eqssi 3288 1 ( Nc 1Ac Nc 1B) = Nc (Am B)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859  ℘1cpw1 4135   class class class wbr 4639  (class class class)co 5525   ↑m cmap 5999   ≈ cen 6028   NC cncs 6088   Nc cnc 6091   ↑c cce 6096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-compose 5748  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-pw1fn 5766  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-map 6001  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-ce 6106 This theorem is referenced by:  ce0nnulb  6182  ceclb  6183  ce0  6190  ce2  6192
 Copyright terms: Public domain W3C validator