Theorem fnfrec 6321

Description: The recursive function generator is a function over the finite cardinals. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnfrec.1	⊢ F = FRec (G, I)
fnfrec.2	⊢ (φ → G ∈ Funs )
fnfrec.3	⊢ (φ → I ∈ dom G)
fnfrec.4	⊢ (φ → ran G ⊆ dom G)

Assertion

Ref	Expression
fnfrec	⊢ (φ → F Fn Nn )

Proof of Theorem fnfrec

Dummy variables x y z w t a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breldm 4912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (xFy → x ∈ dom F)
2	1	adantl 452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((φ ∧ xFy) → x ∈ dom F)
3		fnfrec.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ F = FRec (G, I)
4		fnfrec.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (φ → G ∈ Funs )
5		fnfrec.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (φ → I ∈ dom G)
6		fnfrec.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (φ → ran G ⊆ dom G)
7	3, 4, 5, 6	dmfrec 6317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (φ → dom F = Nn )
8	7	adantr 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((φ ∧ xFy) → dom F = Nn )
9	2, 8	eleqtrd 2429	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ ∧ xFy) → x ∈ Nn )
10	9	adantrr 697	. . . . . . 7 ⊢ ((φ ∧ (xFy ∧ xFz)) → x ∈ Nn )
11	3	frecexg 6313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (G ∈ Funs → F ∈ V)
12		fnfreclem1 6318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (F ∈ V → {w ∣ ∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z)} ∈ V)
13	4, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (φ → {w ∣ ∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z)} ∈ V)
14		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = 0c → (wFy ↔ 0cFy))
15		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = 0c → (wFz ↔ 0cFz))
16	14, 15	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = 0c → ((wFy ∧ wFz) ↔ (0cFy ∧ 0cFz)))
17	16	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = 0c → (((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ((0cFy ∧ 0cFz) → y = z)))
18	17	2albidv 1627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = 0c → (∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ∀y∀z((0cFy ∧ 0cFz) → y = z)))
19		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = t → (wFy ↔ tFy))
20		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = t → (wFz ↔ tFz))
21	19, 20	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = t → ((wFy ∧ wFz) ↔ (tFy ∧ tFz)))
22	21	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = t → (((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ((tFy ∧ tFz) → y = z)))
23	22	2albidv 1627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = t → (∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z)))
24		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (w = (t +c 1c) → (wFy ↔ (t +c 1c)Fy))
25		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (w = (t +c 1c) → (wFz ↔ (t +c 1c)Fz))
26	24, 25	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = (t +c 1c) → ((wFy ∧ wFz) ↔ ((t +c 1c)Fy ∧ (t +c 1c)Fz)))
27	26	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = (t +c 1c) → (((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ (((t +c 1c)Fy ∧ (t +c 1c)Fz) → y = z)))
28	27	2albidv 1627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = (t +c 1c) → (∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ∀y∀z(((t +c 1c)Fy ∧ (t +c 1c)Fz) → y = z)))
29		breq2 4644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = a → ((t +c 1c)Fy ↔ (t +c 1c)Fa))
30		breq2 4644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z = b → ((t +c 1c)Fz ↔ (t +c 1c)Fb))
31	29, 30	bi2anan9 843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y = a ∧ z = b) → (((t +c 1c)Fy ∧ (t +c 1c)Fz) ↔ ((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb)))
32		eqeq12 2365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y = a ∧ z = b) → (y = z ↔ a = b))
33	31, 32	imbi12d 311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y = a ∧ z = b) → ((((t +c 1c)Fy ∧ (t +c 1c)Fz) → y = z) ↔ (((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b)))
34	33	cbval2v 2006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y∀z(((t +c 1c)Fy ∧ (t +c 1c)Fz) → y = z) ↔ ∀a∀b(((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b))
35	28, 34	syl6bb 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = (t +c 1c) → (∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ∀a∀b(((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b)))
36		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = x → (wFy ↔ xFy))
37		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = x → (wFz ↔ xFz))
38	36, 37	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = x → ((wFy ∧ wFz) ↔ (xFy ∧ xFz)))
39	38	imbi1d 308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = x → (((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ((xFy ∧ xFz) → y = z)))
40	39	2albidv 1627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = x → (∀y∀z((wFy ∧ wFz) → y = z) ↔ ∀y∀z((xFy ∧ xFz) → y = z)))
41	3, 4, 5, 6	fnfreclem2 6319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (φ → (0cFy → y = I))
42	41	imp 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((φ ∧ 0cFy) → y = I)
43	42	adantrr 697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((φ ∧ (0cFy ∧ 0cFz)) → y = I)
44	3, 4, 5, 6	fnfreclem2 6319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (φ → (0cFz → z = I))
45	44	imp 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((φ ∧ 0cFz) → z = I)
46	45	adantrl 696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((φ ∧ (0cFy ∧ 0cFz)) → z = I)
47	43, 46	eqtr4d 2388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((φ ∧ (0cFy ∧ 0cFz)) → y = z)
48	47	ex 423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (φ → ((0cFy ∧ 0cFz) → y = z))
49	48	alrimivv 1632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (φ → ∀y∀z((0cFy ∧ 0cFz) → y = z))
50	4	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fa) → G ∈ Funs )
51	5	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fa) → I ∈ dom G)
52	6	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fa) → ran G ⊆ dom G)
53		simplr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fa) → t ∈ Nn )
54		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fa) → (t +c 1c)Fa)
55	3, 50, 51, 52, 53, 54	fnfreclem3 6320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fa) → ∃y(tFy ∧ yGa))
56	55	adantlrr 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) ∧ (t +c 1c)Fa) → ∃y(tFy ∧ yGa))
57	56	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → ((t +c 1c)Fa → ∃y(tFy ∧ yGa)))
58	4	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fb) → G ∈ Funs )
59	5	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fb) → I ∈ dom G)
60	6	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fb) → ran G ⊆ dom G)
61		simplr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fb) → t ∈ Nn )
62		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fb) → (t +c 1c)Fb)
63	3, 58, 59, 60, 61, 62	fnfreclem3 6320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((φ ∧ t ∈ Nn ) ∧ (t +c 1c)Fb) → ∃z(tFz ∧ zGb))
64	63	adantlrr 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) ∧ (t +c 1c)Fb) → ∃z(tFz ∧ zGb))
65	64	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → ((t +c 1c)Fb → ∃z(tFz ∧ zGb)))
66	57, 65	anim12d 546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → (((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → (∃y(tFy ∧ yGa) ∧ ∃z(tFz ∧ zGb))))
67		eeanv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb)) ↔ (∃y(tFy ∧ yGa) ∧ ∃z(tFz ∧ zGb)))
68	66, 67	syl6ibr 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → (((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → ∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))))
69		19.29 1596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → ∃y(∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))))
70		19.29 1596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → ∃z(((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))))
71	70	eximi 1576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃y(∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → ∃y∃z(((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))))
72	69, 71	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → ∃y∃z(((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))))
73		pm3.35 570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((tFy ∧ tFz) ∧ ((tFy ∧ tFz) → y = z)) → y = z)
74		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (y = z → (yGa ↔ zGa))
75	74	anbi1d 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (y = z → ((yGa ∧ zGb) ↔ (zGa ∧ zGb)))
76	75	biimpa 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((y = z ∧ (yGa ∧ zGb)) → (zGa ∧ zGb))
77		elfunsi 5832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (G ∈ Funs → Fun G)
78		funbrfv 5357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (Fun G → (zGa → (G ‘z) = a))
79	4, 77, 78	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (φ → (zGa → (G ‘z) = a))
80		funbrfv 5357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (Fun G → (zGb → (G ‘z) = b))
81	4, 77, 80	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (φ → (zGb → (G ‘z) = b))
82	79, 81	anim12d 546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (φ → ((zGa ∧ zGb) → ((G ‘z) = a ∧ (G ‘z) = b)))
83		eqtr2 2371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((G ‘z) = a ∧ (G ‘z) = b) → a = b)
84	76, 82, 83	syl56 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (φ → ((y = z ∧ (yGa ∧ zGb)) → a = b))
85	84	exp3a 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (φ → (y = z → ((yGa ∧ zGb) → a = b)))
86	73, 85	syl5 28	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (φ → (((tFy ∧ tFz) ∧ ((tFy ∧ tFz) → y = z)) → ((yGa ∧ zGb) → a = b)))
87	86	exp3a 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (φ → ((tFy ∧ tFz) → (((tFy ∧ tFz) → y = z) → ((yGa ∧ zGb) → a = b))))
88	87	com34 77	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (φ → ((tFy ∧ tFz) → ((yGa ∧ zGb) → (((tFy ∧ tFz) → y = z) → a = b))))
89	88	imp3a 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (φ → (((tFy ∧ tFz) ∧ (yGa ∧ zGb)) → (((tFy ∧ tFz) → y = z) → a = b)))
90	89	com12 27	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((tFy ∧ tFz) ∧ (yGa ∧ zGb)) → (φ → (((tFy ∧ tFz) → y = z) → a = b)))
91	90	an4s 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb)) → (φ → (((tFy ∧ tFz) → y = z) → a = b)))
92	91	com3l 75	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (φ → (((tFy ∧ tFz) → y = z) → (((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb)) → a = b)))
93	92	imp3a 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (φ → ((((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → a = b))
94	93	exlimdvv 1637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (φ → (∃y∃z(((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → a = b))
95	94	adantr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((φ ∧ t ∈ Nn ) → (∃y∃z(((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → a = b))
96	72, 95	syl5 28	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((φ ∧ t ∈ Nn ) → ((∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) ∧ ∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb))) → a = b))
97	96	exp3a 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((φ ∧ t ∈ Nn ) → (∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) → (∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb)) → a = b)))
98	97	impr 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → (∃y∃z((tFy ∧ yGa) ∧ (tFz ∧ zGb)) → a = b))
99	68, 98	syld 40	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → (((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b))
100	99	alrimivv 1632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((φ ∧ (t ∈ Nn ∧ ∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z))) → ∀a∀b(((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b))
101	100	expr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((φ ∧ t ∈ Nn ) → (∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) → ∀a∀b(((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b)))
102	101	ancoms 439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((t ∈ Nn ∧ φ) → (∀y∀z((tFy ∧ tFz) → y = z) → ∀a∀b(((t +c 1c)Fa ∧ (t +c 1c)Fb) → a = b)))
103	13, 18, 23, 35, 40, 49, 102	findsd 4411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ Nn ∧ φ) → ∀y∀z((xFy ∧ xFz) → y = z))
104	103	19.21bbi 1865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ Nn ∧ φ) → ((xFy ∧ xFz) → y = z))
105	104	ex 423	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ Nn → (φ → ((xFy ∧ xFz) → y = z)))
106	105	imp3a 420	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ Nn → ((φ ∧ (xFy ∧ xFz)) → y = z))
107	10, 106	mpcom 32	. . . . . 6 ⊢ ((φ ∧ (xFy ∧ xFz)) → y = z)
108	107	ex 423	. . . . 5 ⊢ (φ → ((xFy ∧ xFz) → y = z))
109	108	alrimivv 1632	. . . 4 ⊢ (φ → ∀y∀z((xFy ∧ xFz) → y = z))
110	109	alrimiv 1631	. . 3 ⊢ (φ → ∀x∀y∀z((xFy ∧ xFz) → y = z))
111		dffun2 5120	. . 3 ⊢ (Fun F ↔ ∀x∀y∀z((xFy ∧ xFz) → y = z))
112	110, 111	sylibr 203	. 2 ⊢ (φ → Fun F)
113		df-fn 4791	. 2 ⊢ (F Fn Nn ↔ (Fun F ∧ dom F = Nn ))
114	112, 7, 113	sylanbrc 645	1 ⊢ (φ → F Fn Nn )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  Vcvv 2860   ⊆ wss 3258  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374  0_cc0c 4375   +_c cplc 4376   class class class wbr 4640  dom cdm 4773  ran crn 4774  Fun wfun 4776   Fn wfn 4777   ‘cfv 4782   Funs cfuns 5760   FRec cfrec 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3972  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-fo 4794  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-pprod 5739  df-fix 5741  df-cup 5743  df-disj 5745  df-addcfn 5747  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-clos1 5874  df-frec 6311

This theorem is referenced by:  frec0  6322  frecsuc  6323