New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  fnfreclem2 GIF version

Theorem fnfreclem2 6318
 Description: Lemma for fnfrec 6320. Calculate the unique value of F at zero. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fnfreclem2.1 F = FRec (G, I)
fnfreclem2.2 (φG V)
fnfreclem2.3 (φI dom G)
fnfreclem2.4 (φ → ran G dom G)
Assertion
Ref Expression
fnfreclem2 (φ → (0cFXX = I))

Proof of Theorem fnfreclem2
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4640 . 2 (0cFX0c, X F)
2 snex 4111 . . . 4 {0c, I} V
3 csucex 6259 . . . . 5 (w V (w +c 1c)) V
4 fnfreclem2.2 . . . . 5 (φG V)
5 pprodexg 5837 . . . . 5 (((w V (w +c 1c)) V G V) → PProd ((w V (w +c 1c)), G) V)
63, 4, 5sylancr 644 . . . 4 (φPProd ((w V (w +c 1c)), G) V)
7 fnfreclem2.1 . . . . . 6 F = FRec (G, I)
8 df-frec 6310 . . . . . 6 FRec (G, I) = Clos1 ({0c, I}, PProd ((w V (w +c 1c)), G))
97, 8eqtri 2373 . . . . 5 F = Clos1 ({0c, I}, PProd ((w V (w +c 1c)), G))
109clos1basesucg 5884 . . . 4 (({0c, I} V PProd ((w V (w +c 1c)), G) V) → (0c, X F ↔ (0c, X {0c, I} z F z PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, X)))
112, 6, 10sylancr 644 . . 3 (φ → (0c, X F ↔ (0c, X {0c, I} z F z PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, X)))
12 0cex 4392 . . . . . . 7 0c V
13 fnfreclem2.3 . . . . . . 7 (φI dom G)
14 opexg 4587 . . . . . . 7 ((0c V I dom G) → 0c, I V)
1512, 13, 14sylancr 644 . . . . . 6 (φ0c, I V)
16 elsnc2g 3761 . . . . . 6 (0c, I V → (0c, X {0c, I} ↔ 0c, X = 0c, I))
1715, 16syl 15 . . . . 5 (φ → (0c, X {0c, I} ↔ 0c, X = 0c, I))
18 opth 4602 . . . . . 6 (0c, X = 0c, I ↔ (0c = 0c X = I))
1918simprbi 450 . . . . 5 (0c, X = 0c, IX = I)
2017, 19syl6bi 219 . . . 4 (φ → (0c, X {0c, I} → X = I))
21 0cnsuc 4401 . . . . . . . . . . 11 ( Proj1 z +c 1c) ≠ 0c
22 df-ne 2518 . . . . . . . . . . 11 (( Proj1 z +c 1c) ≠ 0c ↔ ¬ ( Proj1 z +c 1c) = 0c)
2321, 22mpbi 199 . . . . . . . . . 10 ¬ ( Proj1 z +c 1c) = 0c
2423intnanr 881 . . . . . . . . 9 ¬ (( Proj1 z +c 1c) = 0c Proj2 zGX)
25 qrpprod 5836 . . . . . . . . . 10 ( Proj1 z, Proj2 z PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, X ↔ ( Proj1 z(w V (w +c 1c))0c Proj2 zGX))
26 opeq 4619 . . . . . . . . . . 11 z = Proj1 z, Proj2 z
2726breq1i 4646 . . . . . . . . . 10 (z PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, X Proj1 z, Proj2 z PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, X)
28 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 z V
2928proj1ex 4593 . . . . . . . . . . . . . 14 Proj1 z V
30 addceq1 4383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (w = Proj1 z → (w +c 1c) = ( Proj1 z +c 1c))
31 eqid 2353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (w V (w +c 1c)) = (w V (w +c 1c))
32 1cex 4142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1c V
3329, 32addcex 4394 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( Proj1 z +c 1c) V
3430, 31, 33fvmpt 5700 . . . . . . . . . . . . . 14 ( Proj1 z V → ((w V (w +c 1c)) ‘ Proj1 z) = ( Proj1 z +c 1c))
3529, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13 ((w V (w +c 1c)) ‘ Proj1 z) = ( Proj1 z +c 1c)
3635eqeq1i 2360 . . . . . . . . . . . 12 (((w V (w +c 1c)) ‘ Proj1 z) = 0c ↔ ( Proj1 z +c 1c) = 0c)
37 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 w V
3837, 32addcex 4394 . . . . . . . . . . . . . 14 (w +c 1c) V
3938, 31fnmpti 5690 . . . . . . . . . . . . 13 (w V (w +c 1c)) Fn V
40 fnbrfvb 5358 . . . . . . . . . . . . 13 (((w V (w +c 1c)) Fn V Proj1 z V) → (((w V (w +c 1c)) ‘ Proj1 z) = 0c Proj1 z(w V (w +c 1c))0c))
4139, 29, 40mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12 (((w V (w +c 1c)) ‘ Proj1 z) = 0c Proj1 z(w V (w +c 1c))0c)
4236, 41bitr3i 242 . . . . . . . . . . 11 (( Proj1 z +c 1c) = 0c Proj1 z(w V (w +c 1c))0c)
4342anbi1i 676 . . . . . . . . . 10 ((( Proj1 z +c 1c) = 0c Proj2 zGX) ↔ ( Proj1 z(w V (w +c 1c))0c Proj2 zGX))
4425, 27, 433bitr4i 268 . . . . . . . . 9 (z PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, X ↔ (( Proj1 z +c 1c) = 0c Proj2 zGX))
4524, 44mtbir 290 . . . . . . . 8 ¬ z PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, X
4645a1i 10 . . . . . . 7 (z F → ¬ z PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, X)
4746nrex 2716 . . . . . 6 ¬ z F z PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, X
4847pm2.21i 123 . . . . 5 (z F z PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, XX = I)
4948a1i 10 . . . 4 (φ → (z F z PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, XX = I))
5020, 49jaod 369 . . 3 (φ → ((0c, X {0c, I} z F z PProd ((w V (w +c 1c)), G)0c, X) → X = I))
5111, 50sylbid 206 . 2 (φ → (0c, X FX = I))
521, 51syl5bi 208 1 (φ → (0cFXX = I))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ⊆ wss 3257  {csn 3737  1cc1c 4134  0cc0c 4374   +c cplc 4375  ⟨cop 4561   Proj1 cproj1 4563   Proj2 cproj2 4564   class class class wbr 4639  dom cdm 4772  ran crn 4773   Fn wfn 4776   ‘cfv 4781   ↦ cmpt 5651   PProd cpprod 5737   Clos1 cclos1 5872   FRec cfrec 6309 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fo 4793  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-pprod 5738  df-fix 5740  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-clos1 5873  df-frec 6310 This theorem is referenced by:  fnfrec  6320
 Copyright terms: Public domain W3C validator