Theorem 0sgmppw 15315

Description: A prime power 𝑃↑𝐾 has 𝐾 + 1 divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0sgmppw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (𝐾 + 1))

Proof of Theorem 0sgmppw

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12305	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnexpcl 10663	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
4		0sgm 15307	. . . 4 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
6		0zd 9357	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
7		nn0z 9365	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
9	6, 8	fzfigd 10542	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0...𝐾) ∈ Fin)
10		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃↑𝑛)) = (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃↑𝑛))
11	10	dvdsppwf1o 15311	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃↑𝑛)):(0...𝐾)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)})
12	9, 11	fihasheqf1od 10900	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(0...𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
13	5, 12	eqtr4d 2232	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (♯‘(0...𝐾)))
14		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
15		nn0uz 9655	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	14, 15	eleqtrdi 2289	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
17		hashfz 10932	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘(0...𝐾)) = ((𝐾 − 0) + 1))
18	16, 17	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(0...𝐾)) = ((𝐾 − 0) + 1))
19		nn0cn 9278	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
21	20	subid1d 8345	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 0) = 𝐾)
22	21	oveq1d 5940	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 0) + 1) = (𝐾 + 1))
23	13, 18, 22	3eqtrd 2233	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (𝐾 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  0cc0 7898  1c1 7899   + caddc 7901   − cmin 8216  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620  ...cfz 10102  ↑cexp 10649  ♯chash 10886   ∥ cdvds 11971  ℙcprime 12302   σ csgm 15303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018  ax-pre-suploc 8019  ax-addf 8020  ax-mulf 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-pm 6719  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-xnn0 9332  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-xneg 9866  df-xadd 9867  df-ioo 9986  df-ico 9988  df-icc 9989  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-fl 10379  df-mod 10434  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-fac 10837  df-bc 10859  df-ihash 10887  df-shft 10999  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-clim 11463  df-sumdc 11538  df-ef 11832  df-e 11833  df-dvds 11972  df-gcd 12148  df-prm 12303  df-pc 12481  df-rest 12945  df-topgen 12964  df-psmet 14177  df-xmet 14178  df-met 14179  df-bl 14180  df-mopn 14181  df-top 14320  df-topon 14333  df-bases 14365  df-ntr 14418  df-cn 14510  df-cnp 14511  df-tx 14575  df-cncf 14893  df-limced 14978  df-dvap 14979  df-relog 15180  df-rpcxp 15181  df-sgm 15304

This theorem is referenced by: (None)