Theorem 0sgmppw 15973

Description: A prime power 𝑃↑𝐾 has 𝐾 + 1 divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0sgmppw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (𝐾 + 1))

Proof of Theorem 0sgmppw

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12832	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnexpcl 10938	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
4		0sgm 15965	. . . 4 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
6		0zd 9606	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
7		nn0z 9614	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
9	6, 8	fzfigd 10817	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0...𝐾) ∈ Fin)
10		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃↑𝑛)) = (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃↑𝑛))
11	10	dvdsppwf1o 15969	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃↑𝑛)):(0...𝐾)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)})
12	9, 11	fihasheqf1od 11177	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(0...𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
13	5, 12	eqtr4d 2270	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (♯‘(0...𝐾)))
14		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
15		nn0uz 9907	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	14, 15	eleqtrdi 2327	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
17		hashfz 11211	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘(0...𝐾)) = ((𝐾 − 0) + 1))
18	16, 17	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(0...𝐾)) = ((𝐾 − 0) + 1))
19		nn0cn 9523	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
21	20	subid1d 8589	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 0) = 𝐾)
22	21	oveq1d 6073	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 0) + 1) = (𝐾 + 1))
23	13, 18, 22	3eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (𝐾 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   − cmin 8460  ℕcn 9254  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  ...cfz 10361  ↑cexp 10924  ♯chash 11163   ∥ cdvds 12498  ℙcprime 12829   σ csgm 15961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-xnn0 9581  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-ioo 10244  df-ico 10246  df-icc 10247  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-shft 11525  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-e 12360  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-prm 12830  df-pc 13008  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14803  df-xmet 14804  df-met 14805  df-bl 14806  df-mopn 14807  df-top 14975  df-topon 14988  df-bases 15020  df-ntr 15073  df-cn 15165  df-cnp 15166  df-tx 15230  df-cncf 15548  df-limced 15633  df-dvap 15634  df-relog 15835  df-rpcxp 15836  df-sgm 15962

This theorem is referenced by: (None)