Theorem 0sgmppw 16209

Description: A prime power 𝑃↑𝐾 has 𝐾 + 1 divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0sgmppw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (𝐾 + 1))

Proof of Theorem 0sgmppw

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12906	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnexpcl 11003	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
4		0sgm 16176	. . . 4 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
6		0zd 9661	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
7		nn0z 9669	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
9	6, 8	fzfigd 10882	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0...𝐾) ∈ Fin)
10		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃↑𝑛)) = (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃↑𝑛))
11	10	dvdsppwf1o 16205	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↦ (𝑃↑𝑛)):(0...𝐾)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)})
12	9, 11	fihasheqf1od 11243	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(0...𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
13	5, 12	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (♯‘(0...𝐾)))
14		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
15		nn0uz 9967	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	14, 15	eleqtrdi 2331	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
17		hashfz 11277	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘(0...𝐾)) = ((𝐾 − 0) + 1))
18	16, 17	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (♯‘(0...𝐾)) = ((𝐾 − 0) + 1))
19		nn0cn 9578	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
21	20	subid1d 8628	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 0) = 𝐾)
22	21	oveq1d 6100	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 − 0) + 1) = (𝐾 + 1))
23	13, 18, 22	3eqtrd 2275	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 σ (𝑃↑𝐾)) = (𝐾 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183   − cmin 8499  ℕcn 9307  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  ...cfz 10422  ↑cexp 10989  ♯chash 11229   ∥ cdvds 12572  ℙcprime 12903   σ csgm 16157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300  ax-pre-suploc 8301  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-xnn0 9636  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-xadd 10186  df-ioo 10305  df-ico 10307  df-icc 10308  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10774  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-fac 11179  df-bc 11201  df-ihash 11230  df-shft 11595  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780  df-clim 12063  df-sumdc 12138  df-ef 12433  df-e 12434  df-dvds 12573  df-gcd 12749  df-prm 12904  df-pc 13086  df-rest 13646  df-topgen 13665  df-psmet 14931  df-xmet 14932  df-met 14933  df-bl 14934  df-mopn 14935  df-top 15151  df-topon 15164  df-bases 15196  df-ntr 15249  df-cn 15341  df-cnp 15342  df-tx 15406  df-cncf 15724  df-limced 15809  df-dvap 15810  df-relog 16012  df-rpcxp 16013  df-sgm 16160

This theorem is used by: (None)