Theorem 1sgmprm 16091

Description: The sum of divisors for a prime is P + 1 because the only divisors are 1 and P. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1sgmprm	|- ( P e. Prime -> ( 1 sigma P ) = ( P + 1 ) )

Proof of Theorem 1sgmprm

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8266	. . 3 |- 1 e. CC
2		1nn0 9562	. . 3 |- 1 e. NN0
3		sgmppw 16089	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ P e. Prime /\ 1 e. NN0 ) -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) )
4	1, 2, 3	mp3an13 1369	. 2 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) )
5		prmnn 12871	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
6	5	nncnd 9301	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. CC )
7	6	exp1d 11089	. . 3 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 1 ) = P )
8	7	oveq2d 6095	. 2 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = ( 1 sigma P ) )
9	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> P e. NN )
10	9	nnrpd 10078	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> P e. RR+ )
11	10	rpcxp1d 16010	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( P ^c 1 ) = P )
12	11	oveq1d 6094	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = ( P ^ k ) )
13	12	sumeq2dv 12117	. . 3 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) )
14		1m1e0 9356	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
15	14	oveq2i 6090	. . . . . . 7 |- ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) = ( 0 ... 0 )
16	15	sumeq1i 12112	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k )
17		0z 9638	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
18	6	exp0d 11088	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 0 ) = 1 )
19	18, 1	eqeltrdi 2329	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 0 ) e. CC )
20		oveq2 6087	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
21	20	fsum1 12162	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( P ^ 0 ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
22	17, 19, 21	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
23	22, 18	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = 1 )
24	16, 23	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) = 1 )
25	24, 7	oveq12d 6097	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) + ( P ^ 1 ) ) = ( 1 + P ) )
26	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> 1 e. NN0 )
27		nn0uz 9940	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
28	26, 27	eleqtrdi 2331	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
29		elfznn0 10504	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... 1 ) -> k e. NN0 )
30		expcl 10977	. . . . . 6 |- ( ( P e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. CC )
31	6, 29, 30	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( P ^ k ) e. CC )
32		oveq2 6087	. . . . 5 |- ( k = 1 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 1 ) )
33	28, 31, 32	fsumm1 12166	. . . 4 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) + ( P ^ 1 ) ) )
34		addcom 8457	. . . . 5 |- ( ( P e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( P + 1 ) = ( 1 + P ) )
35	6, 1, 34	sylancl 417	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P + 1 ) = ( 1 + P ) )
36	25, 33, 35	3eqtr4d 2281	. . 3 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) = ( P + 1 ) )
37	13, 36	eqtrd 2271	. 2 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = ( P + 1 ) )
38	4, 8, 37	3eqtr3d 2279	1 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma P ) = ( P + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   CCcc 8171   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   - cmin 8491   NNcn 9287   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   ZZ>=cuz 9904   ...cfz 10394   ^cexp 10958   sum_csu 12102   Primecprime 12868   ^c ccxp 15941   sigma csgm 16078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-pre-suploc 8294  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-er 6801  df-map 6918  df-pm 6919  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-xnn0 9614  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-xadd 10158  df-ioo 10277  df-ico 10279  df-icc 10280  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-bc 11169  df-ihash 11198  df-shft 11563  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ef 12398  df-e 12399  df-dvds 12538  df-gcd 12714  df-prm 12869  df-pc 13047  df-rest 13578  df-topgen 13597  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-top 15082  df-topon 15095  df-bases 15127  df-ntr 15180  df-cn 15272  df-cnp 15273  df-tx 15337  df-cncf 15655  df-limced 15740  df-dvap 15741  df-relog 15942  df-rpcxp 15943  df-sgm 16079

This theorem is referenced by:  perfect1  16095