Theorem 1sgmprm 15689

Description: The sum of divisors for a prime is P + 1 because the only divisors are 1 and P. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1sgmprm	|- ( P e. Prime -> ( 1 sigma P ) = ( P + 1 ) )

Proof of Theorem 1sgmprm

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8108	. . 3 |- 1 e. CC
2		1nn0 9401	. . 3 |- 1 e. NN0
3		sgmppw 15687	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ P e. Prime /\ 1 e. NN0 ) -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) )
4	1, 2, 3	mp3an13 1362	. 2 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) )
5		prmnn 12653	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
6	5	nncnd 9140	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. CC )
7	6	exp1d 10907	. . 3 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 1 ) = P )
8	7	oveq2d 6026	. 2 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = ( 1 sigma P ) )
9	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> P e. NN )
10	9	nnrpd 9907	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> P e. RR+ )
11	10	rpcxp1d 15620	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( P ^c 1 ) = P )
12	11	oveq1d 6025	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = ( P ^ k ) )
13	12	sumeq2dv 11900	. . 3 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) )
14		1m1e0 9195	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
15	14	oveq2i 6021	. . . . . . 7 |- ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) = ( 0 ... 0 )
16	15	sumeq1i 11895	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k )
17		0z 9473	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
18	6	exp0d 10906	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 0 ) = 1 )
19	18, 1	eqeltrdi 2320	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 0 ) e. CC )
20		oveq2 6018	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
21	20	fsum1 11944	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( P ^ 0 ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
22	17, 19, 21	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
23	22, 18	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = 1 )
24	16, 23	eqtrid 2274	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) = 1 )
25	24, 7	oveq12d 6028	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) + ( P ^ 1 ) ) = ( 1 + P ) )
26	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> 1 e. NN0 )
27		nn0uz 9774	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
28	26, 27	eleqtrdi 2322	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
29		elfznn0 10327	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... 1 ) -> k e. NN0 )
30		expcl 10796	. . . . . 6 |- ( ( P e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. CC )
31	6, 29, 30	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( P ^ k ) e. CC )
32		oveq2 6018	. . . . 5 |- ( k = 1 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 1 ) )
33	28, 31, 32	fsumm1 11948	. . . 4 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) + ( P ^ 1 ) ) )
34		addcom 8299	. . . . 5 |- ( ( P e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( P + 1 ) = ( 1 + P ) )
35	6, 1, 34	sylancl 413	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P + 1 ) = ( 1 + P ) )
36	25, 33, 35	3eqtr4d 2272	. . 3 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) = ( P + 1 ) )
37	13, 36	eqtrd 2262	. 2 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = ( P + 1 ) )
38	4, 8, 37	3eqtr3d 2270	1 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma P ) = ( P + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   CCcc 8013   0cc0 8015   1c1 8016   + caddc 8018   - cmin 8333   NNcn 9126   NN0cn0 9385   ZZcz 9462   ZZ>=cuz 9738   ...cfz 10221   ^cexp 10777   sum_csu 11885   Primecprime 12650   ^c ccxp 15552   sigma csgm 15676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135  ax-pre-suploc 8136  ax-addf 8137  ax-mulf 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-oadd 6577  df-er 6693  df-map 6810  df-pm 6811  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-xnn0 9449  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-xneg 9985  df-xadd 9986  df-ioo 10105  df-ico 10107  df-icc 10108  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-fac 10965  df-bc 10987  df-ihash 11015  df-shft 11347  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886  df-ef 12180  df-e 12181  df-dvds 12320  df-gcd 12496  df-prm 12651  df-pc 12829  df-rest 13295  df-topgen 13314  df-psmet 14528  df-xmet 14529  df-met 14530  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-top 14693  df-topon 14706  df-bases 14738  df-ntr 14791  df-cn 14883  df-cnp 14884  df-tx 14948  df-cncf 15266  df-limced 15351  df-dvap 15352  df-relog 15553  df-rpcxp 15554  df-sgm 15677

This theorem is referenced by:  perfect1  15693