Theorem 1sgmprm 15653

Description: The sum of divisors for a prime is P + 1 because the only divisors are 1 and P. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1sgmprm	|- ( P e. Prime -> ( 1 sigma P ) = ( P + 1 ) )

Proof of Theorem 1sgmprm

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8080	. . 3 |- 1 e. CC
2		1nn0 9373	. . 3 |- 1 e. NN0
3		sgmppw 15651	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ P e. Prime /\ 1 e. NN0 ) -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) )
4	1, 2, 3	mp3an13 1362	. 2 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) )
5		prmnn 12618	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
6	5	nncnd 9112	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. CC )
7	6	exp1d 10877	. . 3 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 1 ) = P )
8	7	oveq2d 6010	. 2 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = ( 1 sigma P ) )
9	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> P e. NN )
10	9	nnrpd 9878	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> P e. RR+ )
11	10	rpcxp1d 15584	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( P ^c 1 ) = P )
12	11	oveq1d 6009	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = ( P ^ k ) )
13	12	sumeq2dv 11865	. . 3 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) )
14		1m1e0 9167	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
15	14	oveq2i 6005	. . . . . . 7 |- ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) = ( 0 ... 0 )
16	15	sumeq1i 11860	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k )
17		0z 9445	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
18	6	exp0d 10876	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 0 ) = 1 )
19	18, 1	eqeltrdi 2320	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 0 ) e. CC )
20		oveq2 6002	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
21	20	fsum1 11909	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( P ^ 0 ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
22	17, 19, 21	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
23	22, 18	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = 1 )
24	16, 23	eqtrid 2274	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) = 1 )
25	24, 7	oveq12d 6012	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) + ( P ^ 1 ) ) = ( 1 + P ) )
26	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> 1 e. NN0 )
27		nn0uz 9745	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
28	26, 27	eleqtrdi 2322	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
29		elfznn0 10298	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... 1 ) -> k e. NN0 )
30		expcl 10766	. . . . . 6 |- ( ( P e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. CC )
31	6, 29, 30	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( P ^ k ) e. CC )
32		oveq2 6002	. . . . 5 |- ( k = 1 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 1 ) )
33	28, 31, 32	fsumm1 11913	. . . 4 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) + ( P ^ 1 ) ) )
34		addcom 8271	. . . . 5 |- ( ( P e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( P + 1 ) = ( 1 + P ) )
35	6, 1, 34	sylancl 413	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P + 1 ) = ( 1 + P ) )
36	25, 33, 35	3eqtr4d 2272	. . 3 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) = ( P + 1 ) )
37	13, 36	eqtrd 2262	. 2 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = ( P + 1 ) )
38	4, 8, 37	3eqtr3d 2270	1 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma P ) = ( P + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   CCcc 7985   0cc0 7987   1c1 7988   + caddc 7990   - cmin 8305   NNcn 9098   NN0cn0 9357   ZZcz 9434   ZZ>=cuz 9710   ...cfz 10192   ^cexp 10747   sum_csu 11850   Primecprime 12615   ^c ccxp 15516   sigma csgm 15640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107  ax-pre-suploc 8108  ax-addf 8109  ax-mulf 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-of 6208  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-2o 6553  df-oadd 6556  df-er 6670  df-map 6787  df-pm 6788  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-xnn0 9421  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-xneg 9956  df-xadd 9957  df-ioo 10076  df-ico 10078  df-icc 10079  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-fac 10935  df-bc 10957  df-ihash 10985  df-shft 11312  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-sumdc 11851  df-ef 12145  df-e 12146  df-dvds 12285  df-gcd 12461  df-prm 12616  df-pc 12794  df-rest 13260  df-topgen 13279  df-psmet 14492  df-xmet 14493  df-met 14494  df-bl 14495  df-mopn 14496  df-top 14657  df-topon 14670  df-bases 14702  df-ntr 14755  df-cn 14847  df-cnp 14848  df-tx 14912  df-cncf 15230  df-limced 15315  df-dvap 15316  df-relog 15517  df-rpcxp 15518  df-sgm 15641

This theorem is referenced by:  perfect1  15657