Theorem 1sgmprm 15724

Description: The sum of divisors for a prime is P + 1 because the only divisors are 1 and P. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1sgmprm	|- ( P e. Prime -> ( 1 sigma P ) = ( P + 1 ) )

Proof of Theorem 1sgmprm

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8125	. . 3 |- 1 e. CC
2		1nn0 9418	. . 3 |- 1 e. NN0
3		sgmppw 15722	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ P e. Prime /\ 1 e. NN0 ) -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) )
4	1, 2, 3	mp3an13 1364	. 2 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) )
5		prmnn 12687	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
6	5	nncnd 9157	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. CC )
7	6	exp1d 10931	. . 3 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 1 ) = P )
8	7	oveq2d 6034	. 2 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = ( 1 sigma P ) )
9	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> P e. NN )
10	9	nnrpd 9929	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> P e. RR+ )
11	10	rpcxp1d 15655	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( P ^c 1 ) = P )
12	11	oveq1d 6033	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = ( P ^ k ) )
13	12	sumeq2dv 11933	. . 3 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) )
14		1m1e0 9212	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
15	14	oveq2i 6029	. . . . . . 7 |- ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) = ( 0 ... 0 )
16	15	sumeq1i 11928	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k )
17		0z 9490	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
18	6	exp0d 10930	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 0 ) = 1 )
19	18, 1	eqeltrdi 2322	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 0 ) e. CC )
20		oveq2 6026	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
21	20	fsum1 11978	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( P ^ 0 ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
22	17, 19, 21	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
23	22, 18	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = 1 )
24	16, 23	eqtrid 2276	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) = 1 )
25	24, 7	oveq12d 6036	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) + ( P ^ 1 ) ) = ( 1 + P ) )
26	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> 1 e. NN0 )
27		nn0uz 9791	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
28	26, 27	eleqtrdi 2324	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
29		elfznn0 10349	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... 1 ) -> k e. NN0 )
30		expcl 10820	. . . . . 6 |- ( ( P e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. CC )
31	6, 29, 30	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( P ^ k ) e. CC )
32		oveq2 6026	. . . . 5 |- ( k = 1 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 1 ) )
33	28, 31, 32	fsumm1 11982	. . . 4 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) + ( P ^ 1 ) ) )
34		addcom 8316	. . . . 5 |- ( ( P e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( P + 1 ) = ( 1 + P ) )
35	6, 1, 34	sylancl 413	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P + 1 ) = ( 1 + P ) )
36	25, 33, 35	3eqtr4d 2274	. . 3 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) = ( P + 1 ) )
37	13, 36	eqtrd 2264	. 2 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = ( P + 1 ) )
38	4, 8, 37	3eqtr3d 2272	1 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma P ) = ( P + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   - cmin 8350   NNcn 9143   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243   ^cexp 10801   sum_csu 11918   Primecprime 12684   ^c ccxp 15587   sigma csgm 15711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-pre-suploc 8153  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-pm 6820  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-xnn0 9466  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-ioo 10127  df-ico 10129  df-icc 10130  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11380  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844  df-sumdc 11919  df-ef 12214  df-e 12215  df-dvds 12354  df-gcd 12530  df-prm 12685  df-pc 12863  df-rest 13329  df-topgen 13348  df-psmet 14563  df-xmet 14564  df-met 14565  df-bl 14566  df-mopn 14567  df-top 14728  df-topon 14741  df-bases 14773  df-ntr 14826  df-cn 14918  df-cnp 14919  df-tx 14983  df-cncf 15301  df-limced 15386  df-dvap 15387  df-relog 15588  df-rpcxp 15589  df-sgm 15712

This theorem is referenced by:  perfect1  15728