Theorem 1sgmprm 15854

Description: The sum of divisors for a prime is P + 1 because the only divisors are 1 and P. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1sgmprm	|- ( P e. Prime -> ( 1 sigma P ) = ( P + 1 ) )

Proof of Theorem 1sgmprm

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8219	. . 3 |- 1 e. CC
2		1nn0 9511	. . 3 |- 1 e. NN0
3		sgmppw 15852	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ P e. Prime /\ 1 e. NN0 ) -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) )
4	1, 2, 3	mp3an13 1365	. 2 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) )
5		prmnn 12803	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
6	5	nncnd 9250	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. CC )
7	6	exp1d 11029	. . 3 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 1 ) = P )
8	7	oveq2d 6065	. 2 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma ( P ^ 1 ) ) = ( 1 sigma P ) )
9	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> P e. NN )
10	9	nnrpd 10026	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> P e. RR+ )
11	10	rpcxp1d 15782	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( P ^c 1 ) = P )
12	11	oveq1d 6064	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = ( P ^ k ) )
13	12	sumeq2dv 12049	. . 3 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) )
14		1m1e0 9305	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
15	14	oveq2i 6060	. . . . . . 7 |- ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) = ( 0 ... 0 )
16	15	sumeq1i 12044	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k )
17		0z 9587	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
18	6	exp0d 11028	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 0 ) = 1 )
19	18, 1	eqeltrdi 2323	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> ( P ^ 0 ) e. CC )
20		oveq2 6057	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
21	20	fsum1 12094	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( P ^ 0 ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
22	17, 19, 21	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = ( P ^ 0 ) )
23	22, 18	eqtrd 2265	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( P ^ k ) = 1 )
24	16, 23	eqtrid 2277	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) = 1 )
25	24, 7	oveq12d 6067	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) + ( P ^ 1 ) ) = ( 1 + P ) )
26	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> 1 e. NN0 )
27		nn0uz 9888	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
28	26, 27	eleqtrdi 2325	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
29		elfznn0 10447	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... 1 ) -> k e. NN0 )
30		expcl 10918	. . . . . 6 |- ( ( P e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. CC )
31	6, 29, 30	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ k e. ( 0 ... 1 ) ) -> ( P ^ k ) e. CC )
32		oveq2 6057	. . . . 5 |- ( k = 1 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 1 ) )
33	28, 31, 32	fsumm1 12098	. . . 4 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( 1 - 1 ) ) ( P ^ k ) + ( P ^ 1 ) ) )
34		addcom 8409	. . . . 5 |- ( ( P e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( P + 1 ) = ( 1 + P ) )
35	6, 1, 34	sylancl 413	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P + 1 ) = ( 1 + P ) )
36	25, 33, 35	3eqtr4d 2275	. . 3 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( P ^ k ) = ( P + 1 ) )
37	13, 36	eqtrd 2265	. 2 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( P ^c 1 ) ^ k ) = ( P + 1 ) )
38	4, 8, 37	3eqtr3d 2273	1 |- ( P e. Prime -> ( 1 sigma P ) = ( P + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   CCcc 8124   0cc0 8126   1c1 8127   + caddc 8129   - cmin 8443   NNcn 9236   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852   ...cfz 10341   ^cexp 10899   sum_csu 12034   Primecprime 12800   ^c ccxp 15714   sigma csgm 15841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246  ax-pre-suploc 8247  ax-addf 8248  ax-mulf 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-disj 4085  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-er 6766  df-map 6883  df-pm 6884  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-xnn0 9563  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-xneg 10104  df-xadd 10105  df-ioo 10224  df-ico 10226  df-icc 10227  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-fac 11087  df-bc 11109  df-ihash 11137  df-shft 11496  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-clim 11960  df-sumdc 12035  df-ef 12330  df-e 12331  df-dvds 12470  df-gcd 12646  df-prm 12801  df-pc 12979  df-rest 13446  df-topgen 13465  df-psmet 14683  df-xmet 14684  df-met 14685  df-bl 14686  df-mopn 14687  df-top 14855  df-topon 14868  df-bases 14900  df-ntr 14953  df-cn 15045  df-cnp 15046  df-tx 15110  df-cncf 15428  df-limced 15513  df-dvap 15514  df-relog 15715  df-rpcxp 15716  df-sgm 15842

This theorem is referenced by:  perfect1  15858