Theorem divcanap2d 9131

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divclapd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)

Assertion

Ref	Expression
divcanap2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcanap2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divclapd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
4		divcanap2 9019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186   · cmul 8191   # cap 8918   / cdiv 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012

This theorem is used by:  nneo  9761  zeo2  9764  intfracq  10779  modqlt  10792  hashf1  11310  resqrexlemover  11799  resqrexlemcalc1  11803  cvgratz  12325  mertenslemi1  12328  efgt0  12477  tanaddap  12532  divconjdvds  12642  bitsmod  12749  mulgcd  12819  qredeq  12900  qredeu  12901  prmind2  12924  nnmaxpwlemnfac  12977  nnmaxpwlemparts  12978  pythagtriplem16  13088  pythagtriplem19  13091  pcprendvds2  13100  pcpremul  13102  pcadd  13149  4sqlem19  13218  znrrg  15105  dvrecap  15951  dveflem  15964  tangtx  16077  root1idef  16096  birthdaylem2  16238  pellexlem2  16242  chtqub  16308  mersenne  16309  perfectlem2  16312  perfect  16313  bposlem9  16331  lgseisenlem1  16406  lgseisenlem3  16408  lgsquadlem1  16413  lgsquad2lem1  16417  m1lgs  16421  2sqlem8  16459