Theorem dvmptfsum 14961

Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfsum.j	|- J = ( K ↾t S )
dvmptfsum.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
dvmptfsum.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfsum.x	|- ( ph -> X e. J )
dvmptfsum.i	|- ( ph -> I e. Fin )
dvmptfsum.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfsum.b	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvmptfsum.d	|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfsum	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Distinct variable groups:   x, i, I   ph, i, x   S, i, x   i, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, i)   B( x, i)   J( x, i)   K( x, i)

Proof of Theorem dvmptfsum

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3203	. 2 |- I C_ I
2		dvmptfsum.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
3		sseq1 3206	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ I <-> (/) C_ I ) )
4		sumeq1 11520	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. (/) A )
5	4	mpteq2dv 4124	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) )
6	5	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) )
7		sumeq1 11520	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. (/) B )
8	7	mpteq2dv 4124	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
9	6, 8	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
10	3, 9	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) ) )
12		sseq1 3206	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ I <-> b C_ I ) )
13		sumeq1 11520	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> sum_ i e. a A = sum_ i e. b A )
14	13	mpteq2dv 4124	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) )
15	14	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) )
16		sumeq1 11520	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> sum_ i e. a B = sum_ i e. b B )
17	16	mpteq2dv 4124	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) )
18	15, 17	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
19	12, 18	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) ) )
21		sseq1 3206	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ I <-> ( b u. { c } ) C_ I ) )
22		sumeq1 11520	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. ( b u. { c } ) A )
23	22	mpteq2dv 4124	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) )
24	23	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) )
25		sumeq1 11520	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. ( b u. { c } ) B )
26	25	mpteq2dv 4124	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
27	24, 26	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) )
28	21, 27	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
29	28	imbi2d 230	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
30		sseq1 3206	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( a C_ I <-> I C_ I ) )
31		sumeq1 11520	. . . . . . . . 9 |- ( a = I -> sum_ i e. a A = sum_ i e. I A )
32	31	mpteq2dv 4124	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) )
33	32	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) )
34		sumeq1 11520	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> sum_ i e. a B = sum_ i e. I B )
35	34	mpteq2dv 4124	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )
36	33, 35	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
37	30, 36	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = I -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
38	37	imbi2d 230	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) ) )
39		dvmptfsum.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
40		dvmptfsum.j	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t S )
41		dvmptfsum.k	. . . . . . . . 9 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
42	41	cnfldtopn 14775	. . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
43		dvmptfsum.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. J )
44		0cnd 8019	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. CC )
45	39, 40, 42, 43, 44	dvconstss 14934	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( X X. { 0 } ) ) = ( X X. { 0 } ) )
46		fconstmpt 4710	. . . . . . . 8 |- ( X X. { 0 } ) = ( x e. X |-> 0 )
47	46	oveq2i 5933	. . . . . . 7 |- ( S _D ( X X. { 0 } ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 0 ) )
48	45, 47, 46	3eqtr3g 2252	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> 0 ) ) = ( x e. X |-> 0 ) )
49		sum0 11553	. . . . . . . 8 |- sum_ i e. (/) A = 0
50	49	mpteq2i 4120	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) = ( x e. X |-> 0 )
51	50	oveq2i 5933	. . . . . 6 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 0 ) )
52		sum0 11553	. . . . . . 7 |- sum_ i e. (/) B = 0
53	52	mpteq2i 4120	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
54	48, 51, 53	3eqtr4g 2254	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
55	54	a1d 22	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
56		ssun1 3326	. . . . . . . . 9 |- b C_ ( b u. { c } )
57		sstr 3191	. . . . . . . . 9 |- ( ( b C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> b C_ I )
58	56, 57	mpan 424	. . . . . . . 8 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I )
59	58	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
60	39	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
61		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> b e. Fin )
62	61	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b e. Fin )
63		simp-4l 541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> ph )
64	58	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b C_ I )
65	64	sselda 3183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> i e. I )
66		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> a e. X )
67		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( ph /\ i e. I /\ a e. X )
68		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ a / x ]_ A
69	68	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x [_ a / x ]_ A e. CC
70	67, 69	nfim 1586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
71		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( x e. X <-> a e. X ) )
72	71	3anbi3d 1329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) ) )
73		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> A = [_ a / x ]_ A )
74	73	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( A e. CC <-> [_ a / x ]_ A e. CC ) )
75	72, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC ) ) )
76		dvmptfsum.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
77	70, 75, 76	chvarfv 1714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
78	63, 65, 66, 77	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
79	62, 78	fsumcl 11565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
80	79	adantlrr 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
81		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ a / x ]_ B
82	81	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x [_ a / x ]_ B e. CC
83	67, 82	nfim 1586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
84		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> B = [_ a / x ]_ B )
85	84	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( B e. CC <-> [_ a / x ]_ B e. CC ) )
86	72, 85	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC ) ) )
87		dvmptfsum.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
88	83, 86, 87	chvarfv 1714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
89	63, 65, 66, 88	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
90	62, 89	fsumcl 11565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. CC )
91	90	adantlrr 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. CC )
92		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a sum_ i e. b A
93		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x b
94	93, 68	nfsum 11522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ A
95	73	sumeq2sdv 11535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> sum_ i e. b A = sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
96	92, 94, 95	cbvmpt 4128	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
97	96	oveq2i 5933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) )
98		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a sum_ i e. b B
99	93, 81	nfsum 11522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ B
100	84	sumeq2sdv 11535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> sum_ i e. b B = sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
101	98, 99, 100	cbvmpt 4128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
102	97, 101	eqeq12i 2210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) <-> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
103	102	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
104	103	ad2antll 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
105	41	cnfldtopon 14776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K e. (TopOn ` CC )
106		recnprss 14923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
107	39, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S C_ CC )
108		resttopon 14407	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
109	105, 107, 108	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
110	40, 109	eqeltrid 2283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. (TopOn ` S ) )
111		toponss 14262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` S ) /\ X e. J ) -> X C_ S )
112	110, 43, 111	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X C_ S )
113	112	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> X C_ S )
114		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> -. c e. b )
115	114	anim2i 342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> ( ph /\ -. c e. b ) )
116		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ph )
117		ssun2 3327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { c } C_ ( b u. { c } )
118		sstr 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { c } C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> { c } C_ I )
119	117, 118	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> { c } C_ I )
120		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- c e. _V
121	120	snss 3757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. I <-> { c } C_ I )
122	119, 121	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. I )
123	122	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> c e. I )
124		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> a e. X )
125	76	3expb 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
126	125	ancom2s 566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> A e. CC )
127	126	ralrimivva 2579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I A e. CC )
128		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
129	128	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC
130		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
131	130	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ A e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
132	69, 129, 74, 131	rspc2 2879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
133	132	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
134	127, 133	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
135	116, 123, 124, 134	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
136	135	adantlrr 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
137	115, 136	sylanl1 402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
138	87	3expb 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> B e. CC )
139	138	ancom2s 566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> B e. CC )
140	139	ralrimivva 2579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I B e. CC )
141		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
142	141	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC
143		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
144	143	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ B e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
145	82, 142, 85, 144	rspc2 2879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
146	145	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
147	140, 146	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
148	116, 123, 124, 147	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
149	148	adantlrr 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
150	115, 149	sylanl1 402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
151		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ph )
152	122	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> c e. I )
153		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( ph /\ c e. I )
154		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i S
155		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i _D
156		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i X
157		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i [_ c / i ]_ A
158	156, 157	nfmpt 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A )
159	154, 155, 158	nfov 5952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
160		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ B
161	156, 160	nfmpt 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
162	159, 161	nfeq 2347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
163	153, 162	nfim 1586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
164		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( i e. I <-> c e. I ) )
165	164	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( ph /\ i e. I ) <-> ( ph /\ c e. I ) ) )
166		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = c -> A = [_ c / i ]_ A )
167	166	mpteq2dv 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
168	167	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) )
169		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> B = [_ c / i ]_ B )
170	169	mpteq2dv 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
171	168, 170	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) )
172	165, 171	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = c -> ( ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) ) )
173		dvmptfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
174	163, 172, 173	chvarfv 1714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
175		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a [_ c / i ]_ A
176		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x c
177	176, 68	nfcsbw 3121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
178	73	csbeq2dv 3110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
179	175, 177, 178	cbvmpt 4128	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
180	179	oveq2i 5933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
181		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a [_ c / i ]_ B
182	176, 81	nfcsbw 3121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
183	84	csbeq2dv 3110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
184	181, 182, 183	cbvmpt 4128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
185	174, 180, 184	3eqtr3g 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
186	151, 152, 185	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
187	115, 186	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
188	60, 80, 91, 104, 113, 137, 150, 187	dvmptaddx 14955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
189		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) A
190		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( b u. { c } )
191	190, 68	nfsum 11522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A
192	73	sumeq2sdv 11535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) A = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
193	189, 191, 192	cbvmpt 4128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
194		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> -. c e. b )
195		disjsn 3684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b i^i { c } ) = (/) <-> -. c e. b )
196	194, 195	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b i^i { c } ) = (/) )
197	115, 196	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b i^i { c } ) = (/) )
198		eqidd 2197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) = ( b u. { c } ) )
199	120	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> c e. _V )
200	115, 194	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> -. c e. b )
201		unsnfi 6980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. Fin /\ c e. _V /\ -. c e. b ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
202	62, 199, 200, 201	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
203		simp-4l 541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> ph )
204		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) C_ I )
205	204	sselda 3183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> i e. I )
206		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> a e. X )
207	203, 205, 206, 77	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
208	197, 198, 202, 207	fsumsplit 11572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) )
209		sumsns 11580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
210	120, 135, 209	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
211	115, 210	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
212	211	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
213	208, 212	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
214	213	mpteq2dva 4123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
215	193, 214	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
216	215	adantrr 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
217	216	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) )
218		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) B
219	190, 81	nfsum 11522	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B
220	84	sumeq2sdv 11535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) B = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
221	218, 219, 220	cbvmpt 4128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
222	203, 205, 206, 88	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
223	197, 198, 202, 222	fsumsplit 11572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) )
224		sumsns 11580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
225	120, 148, 224	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
226	225	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
227	115, 226	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
228	223, 227	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
229	228	mpteq2dva 4123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
230	221, 229	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
231	230	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
232	188, 217, 231	3eqtr4d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
233	232	exp32 365	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
234	233	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
235	59, 234	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
236	235	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ph -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
237	236	a2d 26	. . . 4 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
238	11, 20, 29, 38, 55, 237	findcard2s 6951	. . 3 |- ( I e. Fin -> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
239	2, 238	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
240	1, 239	mpi 15	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   [_csb 3084   u. cun 3155   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   {cpr 3623   |-> cmpt 4094   X. cxp 4661   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   + caddc 7882   sum_csu 11518   ↾_t crest 12910   TopOpenctopn 12911  ℂ_fldccnfld 14112  TopOnctopon 14246   _D cdv 14891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-pm 6710  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-rest 12912  df-topn 12913  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113  df-top 14234  df-topon 14247  df-topsp 14267  df-bases 14279  df-ntr 14332  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-xms 14575  df-ms 14576  df-cncf 14807  df-limced 14892  df-dvap 14893

This theorem is referenced by:  dvply1  15001