Theorem dvmptfsum 15828

Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfsum.j	|- J = ( K ↾t S )
dvmptfsum.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
dvmptfsum.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfsum.x	|- ( ph -> X e. J )
dvmptfsum.i	|- ( ph -> I e. Fin )
dvmptfsum.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfsum.b	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvmptfsum.d	|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfsum	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Distinct variable groups:   x, i, I   ph, i, x   S, i, x   i, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, i)   B( x, i)   J( x, i)   K( x, i)

Proof of Theorem dvmptfsum

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3268	. 2 |- I C_ I
2		dvmptfsum.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
3		sseq1 3271	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ I <-> (/) C_ I ) )
4		sumeq1 12123	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. (/) A )
5	4	mpteq2dv 4222	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) )
6	5	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) )
7		sumeq1 12123	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. (/) B )
8	7	mpteq2dv 4222	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
9	6, 8	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
10	3, 9	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) ) )
12		sseq1 3271	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ I <-> b C_ I ) )
13		sumeq1 12123	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> sum_ i e. a A = sum_ i e. b A )
14	13	mpteq2dv 4222	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) )
15	14	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) )
16		sumeq1 12123	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> sum_ i e. a B = sum_ i e. b B )
17	16	mpteq2dv 4222	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) )
18	15, 17	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
19	12, 18	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) ) )
21		sseq1 3271	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ I <-> ( b u. { c } ) C_ I ) )
22		sumeq1 12123	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. ( b u. { c } ) A )
23	22	mpteq2dv 4222	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) )
24	23	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) )
25		sumeq1 12123	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. ( b u. { c } ) B )
26	25	mpteq2dv 4222	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
27	24, 26	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) )
28	21, 27	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
29	28	imbi2d 230	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
30		sseq1 3271	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( a C_ I <-> I C_ I ) )
31		sumeq1 12123	. . . . . . . . 9 |- ( a = I -> sum_ i e. a A = sum_ i e. I A )
32	31	mpteq2dv 4222	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) )
33	32	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) )
34		sumeq1 12123	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> sum_ i e. a B = sum_ i e. I B )
35	34	mpteq2dv 4222	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )
36	33, 35	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
37	30, 36	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = I -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
38	37	imbi2d 230	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) ) )
39		dvmptfsum.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
40		dvmptfsum.j	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t S )
41		dvmptfsum.k	. . . . . . . . 9 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
42	41	cnfldtopn 15642	. . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
43		dvmptfsum.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. J )
44		0cnd 8319	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. CC )
45	39, 40, 42, 43, 44	dvconstss 15801	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( X X. { 0 } ) ) = ( X X. { 0 } ) )
46		fconstmpt 4822	. . . . . . . 8 |- ( X X. { 0 } ) = ( x e. X |-> 0 )
47	46	oveq2i 6096	. . . . . . 7 |- ( S _D ( X X. { 0 } ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 0 ) )
48	45, 47, 46	3eqtr3g 2294	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> 0 ) ) = ( x e. X |-> 0 ) )
49		sum0 12157	. . . . . . . 8 |- sum_ i e. (/) A = 0
50	49	mpteq2i 4218	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) = ( x e. X |-> 0 )
51	50	oveq2i 6096	. . . . . 6 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 0 ) )
52		sum0 12157	. . . . . . 7 |- sum_ i e. (/) B = 0
53	52	mpteq2i 4218	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
54	48, 51, 53	3eqtr4g 2296	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
55	54	a1d 22	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
56		ssun1 3392	. . . . . . . . 9 |- b C_ ( b u. { c } )
57		sstr 3256	. . . . . . . . 9 |- ( ( b C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> b C_ I )
58	56, 57	mpan 428	. . . . . . . 8 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I )
59	58	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
60	39	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
61		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> b e. Fin )
62	61	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b e. Fin )
63		simp-4l 547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> ph )
64	58	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b C_ I )
65	64	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> i e. I )
66		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> a e. X )
67		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( ph /\ i e. I /\ a e. X )
68		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ a / x ]_ A
69	68	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x [_ a / x ]_ A e. CC
70	67, 69	nfim 1625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
71		eleq1w 2299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( x e. X <-> a e. X ) )
72	71	3anbi3d 1359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) ) )
73		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> A = [_ a / x ]_ A )
74	73	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( A e. CC <-> [_ a / x ]_ A e. CC ) )
75	72, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC ) ) )
76		dvmptfsum.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
77	70, 75, 76	chvarfv 1752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
78	63, 65, 66, 77	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
79	62, 78	fsumcl 12169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
80	79	adantlrr 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
81		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ a / x ]_ B
82	81	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x [_ a / x ]_ B e. CC
83	67, 82	nfim 1625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
84		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> B = [_ a / x ]_ B )
85	84	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( B e. CC <-> [_ a / x ]_ B e. CC ) )
86	72, 85	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC ) ) )
87		dvmptfsum.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
88	83, 86, 87	chvarfv 1752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
89	63, 65, 66, 88	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
90	62, 89	fsumcl 12169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. CC )
91	90	adantlrr 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. CC )
92		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a sum_ i e. b A
93		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x b
94	93, 68	nfsum 12125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ A
95	73	sumeq2sdv 12138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> sum_ i e. b A = sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
96	92, 94, 95	cbvmpt 4226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
97	96	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) )
98		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a sum_ i e. b B
99	93, 81	nfsum 12125	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ B
100	84	sumeq2sdv 12138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> sum_ i e. b B = sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
101	98, 99, 100	cbvmpt 4226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
102	97, 101	eqeq12i 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) <-> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
103	102	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
104	103	ad2antll 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
105	41	cnfldtopon 15643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K e. (TopOn ` CC )
106		recnprss 15790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
107	39, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S C_ CC )
108		resttopon 15274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
109	105, 107, 108	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
110	40, 109	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. (TopOn ` S ) )
111		toponss 15129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` S ) /\ X e. J ) -> X C_ S )
112	110, 43, 111	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X C_ S )
113	112	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> X C_ S )
114		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> -. c e. b )
115	114	anim2i 342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> ( ph /\ -. c e. b ) )
116		simplll 539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ph )
117		ssun2 3393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { c } C_ ( b u. { c } )
118		sstr 3256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { c } C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> { c } C_ I )
119	117, 118	mpan 428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> { c } C_ I )
120		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- c e. _V
121	120	snss 3850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. I <-> { c } C_ I )
122	119, 121	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. I )
123	122	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> c e. I )
124		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> a e. X )
125	76	3expb 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
126	125	ancom2s 572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> A e. CC )
127	126	ralrimivva 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I A e. CC )
128		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
129	128	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC
130		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
131	130	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ A e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
132	69, 129, 74, 131	rspc2 2941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
133	132	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
134	127, 133	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
135	116, 123, 124, 134	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
136	135	adantlrr 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
137	115, 136	sylanl1 406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
138	87	3expb 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> B e. CC )
139	138	ancom2s 572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> B e. CC )
140	139	ralrimivva 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I B e. CC )
141		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
142	141	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC
143		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
144	143	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ B e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
145	82, 142, 85, 144	rspc2 2941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
146	145	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
147	140, 146	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
148	116, 123, 124, 147	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
149	148	adantlrr 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
150	115, 149	sylanl1 406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
151		simpll 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ph )
152	122	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> c e. I )
153		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( ph /\ c e. I )
154		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i S
155		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i _D
156		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i X
157		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i [_ c / i ]_ A
158	156, 157	nfmpt 4223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A )
159	154, 155, 158	nfov 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
160		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ B
161	156, 160	nfmpt 4223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
162	159, 161	nfeq 2400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
163	153, 162	nfim 1625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
164		eleq1w 2299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( i e. I <-> c e. I ) )
165	164	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( ph /\ i e. I ) <-> ( ph /\ c e. I ) ) )
166		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = c -> A = [_ c / i ]_ A )
167	166	mpteq2dv 4222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
168	167	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) )
169		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> B = [_ c / i ]_ B )
170	169	mpteq2dv 4222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
171	168, 170	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) )
172	165, 171	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = c -> ( ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) ) )
173		dvmptfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
174	163, 172, 173	chvarfv 1752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
175		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a [_ c / i ]_ A
176		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x c
177	176, 68	nfcsbw 3184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
178	73	csbeq2dv 3173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
179	175, 177, 178	cbvmpt 4226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
180	179	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
181		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a [_ c / i ]_ B
182	176, 81	nfcsbw 3184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
183	84	csbeq2dv 3173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
184	181, 182, 183	cbvmpt 4226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
185	174, 180, 184	3eqtr3g 2294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
186	151, 152, 185	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
187	115, 186	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
188	60, 80, 91, 104, 113, 137, 150, 187	dvmptaddx 15822	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
189		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) A
190		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( b u. { c } )
191	190, 68	nfsum 12125	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A
192	73	sumeq2sdv 12138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) A = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
193	189, 191, 192	cbvmpt 4226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
194		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> -. c e. b )
195		disjsn 3771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b i^i { c } ) = (/) <-> -. c e. b )
196	194, 195	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b i^i { c } ) = (/) )
197	115, 196	sylanl1 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b i^i { c } ) = (/) )
198		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) = ( b u. { c } ) )
199	120	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> c e. _V )
200	115, 194	sylanl1 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> -. c e. b )
201		unsnfi 7226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. Fin /\ c e. _V /\ -. c e. b ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
202	62, 199, 200, 201	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
203		simp-4l 547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> ph )
204		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) C_ I )
205	204	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> i e. I )
206		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> a e. X )
207	203, 205, 206, 77	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
208	197, 198, 202, 207	fsumsplit 12176	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) )
209		sumsns 12184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
210	120, 135, 209	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
211	115, 210	sylanl1 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
212	211	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
213	208, 212	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
214	213	mpteq2dva 4221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
215	193, 214	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
216	215	adantrr 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
217	216	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) )
218		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) B
219	190, 81	nfsum 12125	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B
220	84	sumeq2sdv 12138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) B = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
221	218, 219, 220	cbvmpt 4226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
222	203, 205, 206, 88	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
223	197, 198, 202, 222	fsumsplit 12176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) )
224		sumsns 12184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
225	120, 148, 224	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
226	225	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
227	115, 226	sylanl1 406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
228	223, 227	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
229	228	mpteq2dva 4221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
230	221, 229	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
231	230	adantrr 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
232	188, 217, 231	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
233	232	exp32 365	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
234	233	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
235	59, 234	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
236	235	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ph -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
237	236	a2d 26	. . . 4 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
238	11, 20, 29, 38, 55, 237	findcard2s 7194	. . 3 |- ( I e. Fin -> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
239	2, 238	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
240	1, 239	mpi 15	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [_csb 3147   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   {cpr 3710   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   sum_csu 12121   ↾_t crest 13595   TopOpenctopn 13596  ℂ_fldccnfld 14895  TopOnctopon 15113   _D cdv 15758

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-addf 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-xneg 10176  df-xadd 10177  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-ihash 11217  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-sumdc 12122  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-starv 13448  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-unif 13456  df-rest 13597  df-topn 13598  df-topgen 13616  df-psmet 14882  df-xmet 14883  df-met 14884  df-bl 14885  df-mopn 14886  df-fg 14888  df-metu 14889  df-cnfld 14896  df-top 15101  df-topon 15114  df-topsp 15134  df-bases 15146  df-ntr 15199  df-cn 15291  df-cnp 15292  df-tx 15356  df-xms 15442  df-ms 15443  df-cncf 15674  df-limced 15759  df-dvap 15760

This theorem is used by:  dvply1  15868