Theorem dvmptfsum 15407

Description: Function-builder for derivative, finite sums rule. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfsum.j	|- J = ( K ↾t S )
dvmptfsum.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
dvmptfsum.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfsum.x	|- ( ph -> X e. J )
dvmptfsum.i	|- ( ph -> I e. Fin )
dvmptfsum.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfsum.b	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvmptfsum.d	|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfsum	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Distinct variable groups:   x, i, I   ph, i, x   S, i, x   i, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, i)   B( x, i)   J( x, i)   K( x, i)

Proof of Theorem dvmptfsum

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3244	. 2 |- I C_ I
2		dvmptfsum.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
3		sseq1 3247	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ I <-> (/) C_ I ) )
4		sumeq1 11874	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. (/) A )
5	4	mpteq2dv 4175	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) )
6	5	oveq2d 6023	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) )
7		sumeq1 11874	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. (/) B )
8	7	mpteq2dv 4175	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
9	6, 8	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
10	3, 9	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) ) ) )
12		sseq1 3247	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ I <-> b C_ I ) )
13		sumeq1 11874	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> sum_ i e. a A = sum_ i e. b A )
14	13	mpteq2dv 4175	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) )
15	14	oveq2d 6023	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) )
16		sumeq1 11874	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> sum_ i e. a B = sum_ i e. b B )
17	16	mpteq2dv 4175	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) )
18	15, 17	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
19	12, 18	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) ) )
21		sseq1 3247	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ I <-> ( b u. { c } ) C_ I ) )
22		sumeq1 11874	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a A = sum_ i e. ( b u. { c } ) A )
23	22	mpteq2dv 4175	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) )
24	23	oveq2d 6023	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) )
25		sumeq1 11874	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ i e. a B = sum_ i e. ( b u. { c } ) B )
26	25	mpteq2dv 4175	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
27	24, 26	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) )
28	21, 27	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
29	28	imbi2d 230	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
30		sseq1 3247	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( a C_ I <-> I C_ I ) )
31		sumeq1 11874	. . . . . . . . 9 |- ( a = I -> sum_ i e. a A = sum_ i e. I A )
32	31	mpteq2dv 4175	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) )
33	32	oveq2d 6023	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) )
34		sumeq1 11874	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> sum_ i e. a B = sum_ i e. I B )
35	34	mpteq2dv 4175	. . . . . . 7 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )
36	33, 35	eqeq12d 2244	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
37	30, 36	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( a = I -> ( ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) <-> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
38	37	imbi2d 230	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( ph -> ( a C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. a B ) ) ) <-> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) ) )
39		dvmptfsum.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
40		dvmptfsum.j	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t S )
41		dvmptfsum.k	. . . . . . . . 9 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
42	41	cnfldtopn 15221	. . . . . . . 8 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
43		dvmptfsum.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. J )
44		0cnd 8147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. CC )
45	39, 40, 42, 43, 44	dvconstss 15380	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D ( X X. { 0 } ) ) = ( X X. { 0 } ) )
46		fconstmpt 4766	. . . . . . . 8 |- ( X X. { 0 } ) = ( x e. X |-> 0 )
47	46	oveq2i 6018	. . . . . . 7 |- ( S _D ( X X. { 0 } ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 0 ) )
48	45, 47, 46	3eqtr3g 2285	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> 0 ) ) = ( x e. X |-> 0 ) )
49		sum0 11907	. . . . . . . 8 |- sum_ i e. (/) A = 0
50	49	mpteq2i 4171	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) = ( x e. X |-> 0 )
51	50	oveq2i 6018	. . . . . 6 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 0 ) )
52		sum0 11907	. . . . . . 7 |- sum_ i e. (/) B = 0
53	52	mpteq2i 4171	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
54	48, 51, 53	3eqtr4g 2287	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) )
55	54	a1d 22	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. (/) B ) ) )
56		ssun1 3367	. . . . . . . . 9 |- b C_ ( b u. { c } )
57		sstr 3232	. . . . . . . . 9 |- ( ( b C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> b C_ I )
58	56, 57	mpan 424	. . . . . . . 8 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I )
59	58	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) )
60	39	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
61		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> b e. Fin )
62	61	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b e. Fin )
63		simp-4l 541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> ph )
64	58	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> b C_ I )
65	64	sselda 3224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> i e. I )
66		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> a e. X )
67		nfv 1574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( ph /\ i e. I /\ a e. X )
68		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ a / x ]_ A
69	68	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x [_ a / x ]_ A e. CC
70	67, 69	nfim 1618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
71		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( x e. X <-> a e. X ) )
72	71	3anbi3d 1352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) ) )
73		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> A = [_ a / x ]_ A )
74	73	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( A e. CC <-> [_ a / x ]_ A e. CC ) )
75	72, 74	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC ) ) )
76		dvmptfsum.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
77	70, 75, 76	chvarfv 1746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
78	63, 65, 66, 77	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
79	62, 78	fsumcl 11919	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
80	79	adantlrr 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A e. CC )
81		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ a / x ]_ B
82	81	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x [_ a / x ]_ B e. CC
83	67, 82	nfim 1618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
84		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> B = [_ a / x ]_ B )
85	84	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( B e. CC <-> [_ a / x ]_ B e. CC ) )
86	72, 85	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC ) ) )
87		dvmptfsum.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
88	83, 86, 87	chvarfv 1746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. I /\ a e. X ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
89	63, 65, 66, 88	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. b ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
90	62, 89	fsumcl 11919	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. CC )
91	90	adantlrr 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B e. CC )
92		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a sum_ i e. b A
93		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x b
94	93, 68	nfsum 11876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ A
95	73	sumeq2sdv 11889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> sum_ i e. b A = sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
96	92, 94, 95	cbvmpt 4179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A )
97	96	oveq2i 6018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) )
98		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a sum_ i e. b B
99	93, 81	nfsum 11876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x sum_ i e. b [_ a / x ]_ B
100	84	sumeq2sdv 11889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> sum_ i e. b B = sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
101	98, 99, 100	cbvmpt 4179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B )
102	97, 101	eqeq12i 2243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) <-> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
103	102	biimpi 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
104	103	ad2antll 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> sum_ i e. b [_ a / x ]_ B ) )
105	41	cnfldtopon 15222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K e. (TopOn ` CC )
106		recnprss 15369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
107	39, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S C_ CC )
108		resttopon 14853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
109	105, 107, 108	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
110	40, 109	eqeltrid 2316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. (TopOn ` S ) )
111		toponss 14708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. (TopOn ` S ) /\ X e. J ) -> X C_ S )
112	110, 43, 111	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X C_ S )
113	112	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> X C_ S )
114		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> -. c e. b )
115	114	anim2i 342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> ( ph /\ -. c e. b ) )
116		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ph )
117		ssun2 3368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { c } C_ ( b u. { c } )
118		sstr 3232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { c } C_ ( b u. { c } ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> { c } C_ I )
119	117, 118	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> { c } C_ I )
120		vex 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- c e. _V
121	120	snss 3803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. I <-> { c } C_ I )
122	119, 121	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. I )
123	122	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> c e. I )
124		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> a e. X )
125	76	3expb 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
126	125	ancom2s 566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> A e. CC )
127	126	ralrimivva 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I A e. CC )
128		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
129	128	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC
130		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
131	130	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ A e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
132	69, 129, 74, 131	rspc2 2918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
133	132	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I A e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) )
134	127, 133	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
135	116, 123, 124, 134	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
136	135	adantlrr 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
137	115, 136	sylanl1 402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC )
138	87	3expb 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ x e. X ) ) -> B e. CC )
139	138	ancom2s 566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ i e. I ) ) -> B e. CC )
140	139	ralrimivva 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. X A. i e. I B e. CC )
141		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
142	141	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ i [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC
143		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
144	143	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( [_ a / x ]_ B e. CC <-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
145	82, 142, 85, 144	rspc2 2918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. X /\ c e. I ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
146	145	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. I /\ a e. X ) -> ( A. x e. X A. i e. I B e. CC -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) )
147	140, 146	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( c e. I /\ a e. X ) ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
148	116, 123, 124, 147	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
149	148	adantlrr 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
150	115, 149	sylanl1 402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) /\ a e. X ) -> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC )
151		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ph )
152	122	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> c e. I )
153		nfv 1574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( ph /\ c e. I )
154		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i S
155		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i _D
156		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i X
157		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ i [_ c / i ]_ A
158	156, 157	nfmpt 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A )
159	154, 155, 158	nfov 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
160		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ i [_ c / i ]_ B
161	156, 160	nfmpt 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
162	159, 161	nfeq 2380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B )
163	153, 162	nfim 1618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
164		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( i e. I <-> c e. I ) )
165	164	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( ph /\ i e. I ) <-> ( ph /\ c e. I ) ) )
166		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = c -> A = [_ c / i ]_ A )
167	166	mpteq2dv 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
168	167	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) )
169		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = c -> B = [_ c / i ]_ B )
170	169	mpteq2dv 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = c -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
171	168, 170	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = c -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) )
172	165, 171	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = c -> ( ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) ) ) )
173		dvmptfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
174	163, 172, 173	chvarfv 1746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) )
175		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ a [_ c / i ]_ A
176		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x c
177	176, 68	nfcsbw 3161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A
178	73	csbeq2dv 3150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
179	175, 177, 178	cbvmpt 4179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
180	179	oveq2i 6018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
181		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ a [_ c / i ]_ B
182	176, 81	nfcsbw 3161	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B
183	84	csbeq2dv 3150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> [_ c / i ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
184	181, 182, 183	cbvmpt 4179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> [_ c / i ]_ B ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
185	174, 180, 184	3eqtr3g 2285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
186	151, 152, 185	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
187	115, 186	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) = ( a e. X |-> [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
188	60, 80, 91, 104, 113, 137, 150, 187	dvmptaddx 15401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
189		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) A
190		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( b u. { c } )
191	190, 68	nfsum 11876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A
192	73	sumeq2sdv 11889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) A = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
193	189, 191, 192	cbvmpt 4179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A )
194		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> -. c e. b )
195		disjsn 3728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b i^i { c } ) = (/) <-> -. c e. b )
196	194, 195	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b i^i { c } ) = (/) )
197	115, 196	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b i^i { c } ) = (/) )
198		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) = ( b u. { c } ) )
199	120	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> c e. _V )
200	115, 194	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> -. c e. b )
201		unsnfi 7089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. Fin /\ c e. _V /\ -. c e. b ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
202	62, 199, 200, 201	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) e. Fin )
203		simp-4l 541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> ph )
204		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( b u. { c } ) C_ I )
205	204	sselda 3224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> i e. I )
206		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> a e. X )
207	203, 205, 206, 77	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ A e. CC )
208	197, 198, 202, 207	fsumsplit 11926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) )
209		sumsns 11934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
210	120, 135, 209	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
211	115, 210	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A )
212	211	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ A ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
213	208, 212	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) )
214	213	mpteq2dva 4174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
215	193, 214	eqtrid 2274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
216	215	adantrr 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) )
217	216	oveq2d 6023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( S _D ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ A + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ A ) ) ) )
218		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ a sum_ i e. ( b u. { c } ) B
219	190, 81	nfsum 11876	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B
220	84	sumeq2sdv 11889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> sum_ i e. ( b u. { c } ) B = sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
221	218, 219, 220	cbvmpt 4179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B )
222	203, 205, 206, 88	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) /\ i e. ( b u. { c } ) ) -> [_ a / x ]_ B e. CC )
223	197, 198, 202, 222	fsumsplit 11926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) )
224		sumsns 11934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. _V /\ [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B e. CC ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
225	120, 148, 224	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B = [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B )
226	225	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ -. c e. b ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
227	115, 226	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + sum_ i e. { c } [_ a / x ]_ B ) = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
228	223, 227	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ a e. X ) -> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B = ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) )
229	228	mpteq2dva 4174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( a e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) [_ a / x ]_ B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
230	221, 229	eqtrid 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
231	230	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) = ( a e. X |-> ( sum_ i e. b [_ a / x ]_ B + [_ c / i ]_ [_ a / x ]_ B ) ) )
232	188, 217, 231	3eqtr4d 2272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ I /\ ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) )
233	232	exp32 365	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
234	233	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
235	59, 234	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. Fin /\ -. c e. b ) ) -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) )
236	235	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ph -> ( ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
237	236	a2d 26	. . . 4 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ph -> ( b C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. b B ) ) ) -> ( ph -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. ( b u. { c } ) B ) ) ) ) )
238	11, 20, 29, 38, 55, 237	findcard2s 7060	. . 3 |- ( I e. Fin -> ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) ) )
239	2, 238	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( I C_ I -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) ) )
240	1, 239	mpi 15	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> sum_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ i e. I B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   [_csb 3124   u. cun 3195   i^i cin 3196   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   {cpr 3667   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Fincfn 6895   CCcc 8005   RRcr 8006   0cc0 8007   + caddc 8010   sum_csu 11872   ↾_t crest 13280   TopOpenctopn 13281  ℂ_fldccnfld 14528  TopOnctopon 14692   _D cdv 15337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127  ax-addf 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7159  df-inf 7160  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-xneg 9976  df-xadd 9977  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-starv 13133  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-unif 13141  df-rest 13282  df-topn 13283  df-topgen 13301  df-psmet 14515  df-xmet 14516  df-met 14517  df-bl 14518  df-mopn 14519  df-fg 14521  df-metu 14522  df-cnfld 14529  df-top 14680  df-topon 14693  df-topsp 14713  df-bases 14725  df-ntr 14778  df-cn 14870  df-cnp 14871  df-tx 14935  df-xms 15021  df-ms 15022  df-cncf 15253  df-limced 15338  df-dvap 15339

This theorem is referenced by:  dvply1  15447