Theorem dvdsdc 12548

Description: Divisibility is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsdc	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem dvdsdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℕ)
3	1, 2	zmodcld 10765	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝑀) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9749	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝑀) ∈ ℤ)
5		0z 9638	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		zdceq 9703	. . 3 ⊢ (((𝑁 mod 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝑁 mod 𝑀) = 0)
7	4, 5, 6	sylancl 417	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑁 mod 𝑀) = 0)
8		dvdsval3 12541	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝑀) = 0))
9	8	dcbid 850	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (DECID 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ DECID (𝑁 mod 𝑀) = 0))
10	7, 9	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  0cc0 8173  ℕcn 9287  ℤcz 9627   mod cmo 10742   ∥ cdvds 12537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-q 10003  df-rp 10038  df-fl 10688  df-mod 10743  df-dvds 12538

This theorem is referenced by:  zdvdsdc  12562  bitsdc  12697  gcdsupex  12717  gcdsupcl  12718  prmind2  12881  prmdc  12891  divgcdodd  12904  euclemma  12907  pw2dvdslemn  12926  hashdvds  12982  fermltl  12995  dvdsfi  13000  hashgcdeq  13001  odzcllem  13004  odzdvds  13007  fldivp1  13110  prmpwdvds  13117  infpnlem2  13122  lgslem4  16105  lgsval  16106  lgsfvalg  16107  lgsfcl2  16108  lgsval2lem  16112  lgsmod  16128  lgsdir2  16135  lgsne0  16140  gausslemma2dlem1a  16160  lgsquadlemofi  16178  lgsquadlem2  16180  m1lgs  16187  konigsberglem5  16716