Theorem gfsumcl 16690

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gfsumcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gfsumcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gfsumcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gfsumcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gfsumcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gfsumcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gfsumcl

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gfsumcl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 5483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fnresdm 5441	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
5	4	oveq2d 6034	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σgf 𝐹))
6		reseq2 5008	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ ∅))
7	6	oveq2d 6034	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)))
8	7	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)) ∈ 𝐵))
9		reseq2 5008	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ 𝑦))
10	9	oveq2d 6034	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)))
11	10	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵))
12		reseq2 5008	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})))
13	12	oveq2d 6034	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))))
14	13	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝐵))
15		reseq2 5008	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ 𝐴))
16	15	oveq2d 6034	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝐴)))
17	16	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ 𝐵))
18		res0 5017	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
19	18	oveq2i 6029	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺 Σgf ∅)
20		gfsumcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
21		gfsum0 16685	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))
22		gfsumcl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
23	21, 22	eqtr4di 2282	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = 0 )
24	20, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf ∅) = 0 )
25	19, 24	eqtrid 2276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)) = 0 )
26	20	cmnmndd 13896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27		gfsumcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
28	27, 22	mndidcl 13514	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
29	26, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
30	25, 29	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)) ∈ 𝐵)
31		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
32	20	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
33	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
34		simprl 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
35		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
36	35	eldifad 3211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
37	36	snssd 3818	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
38	34, 37	unssd 3383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
39	33, 38	fssresd 5513	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})):(𝑦 ∪ {𝑧})⟶𝐵)
40		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
41	35	eldifbd 3212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
42	27, 31, 32, 39, 40, 35, 41	gfsump1 16689	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)))
43	42	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)))
44	26	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
45		ssun1 3370	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
46		resabs1 5042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝑦))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝑦)
48	47	oveq2i 6029	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦))
49		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
50	48, 49	eqeltrid 2318	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
51		ssun2 3371	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧} ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
52		vsnid 3701	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
53	51, 52	sselii 3224	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})
54	53	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
55	39, 54	ffvelcdmd 5783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝐵)
56	55	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝐵)
57	27, 31	mndcl 13507	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)) ∈ 𝐵)
58	44, 50, 56, 57	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)) ∈ 𝐵)
59	43, 58	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝐵)
60	59	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝐵))
61		gfsumcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
62	8, 11, 14, 17, 30, 60, 61	findcard2sd 7081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ 𝐵)
63	5, 62	eqeltrrd 2309	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf 𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∖ cdif 3197   ∪ cun 3198   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  {csn 3669   ↾ cres 4727   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Fincfn 6909  Basecbs 13083  +_gcplusg 13161  0_gc0g 13340  Mndcmnd 13500  CMndccmn 13872   Σ_gf cgfsu 16681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10710  df-ihash 11038  df-ndx 13086  df-slot 13087  df-base 13089  df-plusg 13174  df-0g 13342  df-igsum 13343  df-mgm 13440  df-sgrp 13486  df-mnd 13501  df-minusg 13588  df-mulg 13708  df-cmn 13874  df-gfsum 16682

This theorem is referenced by: (None)