Theorem gfsumcl 16855

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gfsumcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gfsumcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gfsumcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gfsumcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gfsumcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gfsumcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gfsumcl

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gfsumcl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 5508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fnresdm 5466	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
5	4	oveq2d 6065	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σgf 𝐹))
6		reseq2 5032	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ ∅))
7	6	oveq2d 6065	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)))
8	7	eleq1d 2301	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)) ∈ 𝐵))
9		reseq2 5032	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ 𝑦))
10	9	oveq2d 6065	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)))
11	10	eleq1d 2301	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵))
12		reseq2 5032	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})))
13	12	oveq2d 6065	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))))
14	13	eleq1d 2301	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝐵))
15		reseq2 5032	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ 𝐴))
16	15	oveq2d 6065	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝐴)))
17	16	eleq1d 2301	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ 𝐵))
18		res0 5041	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
19	18	oveq2i 6060	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺 Σgf ∅)
20		gfsumcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
21		gfsum0 16850	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))
22		gfsumcl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
23	21, 22	eqtr4di 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = 0 )
24	20, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf ∅) = 0 )
25	19, 24	eqtrid 2277	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)) = 0 )
26	20	cmnmndd 14014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27		gfsumcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
28	27, 22	mndidcl 13632	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
29	26, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
30	25, 29	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)) ∈ 𝐵)
31		eqid 2232	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
32	20	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
33	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
34		simprl 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
35		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
36	35	eldifad 3221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
37	36	snssd 3838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
38	34, 37	unssd 3394	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
39	33, 38	fssresd 5540	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})):(𝑦 ∪ {𝑧})⟶𝐵)
40		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
41	35	eldifbd 3222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
42	27, 31, 32, 39, 40, 35, 41	gfsump1 16854	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)))
43	42	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)))
44	26	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
45		ssun1 3381	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
46		resabs1 5066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝑦))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝑦)
48	47	oveq2i 6060	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦))
49		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
50	48, 49	eqeltrid 2319	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
51		ssun2 3382	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧} ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
52		vsnid 3720	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
53	51, 52	sselii 3234	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})
54	53	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
55	39, 54	ffvelcdmd 5812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝐵)
56	55	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝐵)
57	27, 31	mndcl 13625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)) ∈ 𝐵)
58	44, 50, 56, 57	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)) ∈ 𝐵)
59	43, 58	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝐵)
60	59	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝐵))
61		gfsumcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
62	8, 11, 14, 17, 30, 60, 61	findcard2sd 7148	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ 𝐵)
63	5, 62	eqeltrrd 2310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf 𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∖ cdif 3207   ∪ cun 3208   ⊆ wss 3210  ∅c0 3507  {csn 3688   ↾ cres 4750   Fn wfn 5346  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Fincfn 6974  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  0_gc0g 13458  Mndcmnd 13618  CMndccmn 13990   Σ_gf cgfsu 16846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-inn 9234  df-2 9292  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-ihash 11134  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-0g 13460  df-igsum 13461  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-minusg 13706  df-mulg 13826  df-cmn 13992  df-gfsum 16847

This theorem is referenced by: (None)