Theorem gfsumcl 14110

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gfsumcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gfsumcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gfsumcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gfsumcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gfsumcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gfsumcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gfsumcl

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gfsumcl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffnd 5514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fnresdm 5472	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
5	4	oveq2d 6074	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σgf 𝐹))
6		reseq2 5038	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ ∅))
7	6	oveq2d 6074	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)))
8	7	eleq1d 2303	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)) ∈ 𝐵))
9		reseq2 5038	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ 𝑦))
10	9	oveq2d 6074	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)))
11	10	eleq1d 2303	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵))
12		reseq2 5038	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})))
13	12	oveq2d 6074	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))))
14	13	eleq1d 2303	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝐵))
15		reseq2 5038	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ 𝐴))
16	15	oveq2d 6074	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝐴)))
17	16	eleq1d 2303	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ 𝐵))
18		res0 5047	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
19	18	oveq2i 6069	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺 Σgf ∅)
20		gfsumcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
21		gfsum0 14104	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = (0g‘𝐺))
22		gfsumcl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
23	21, 22	eqtr4di 2285	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σgf ∅) = 0 )
24	20, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf ∅) = 0 )
25	19, 24	eqtrid 2279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)) = 0 )
26	20	cmnmndd 14061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27		gfsumcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
28	27, 22	mndidcl 13691	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
29	26, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
30	25, 29	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ ∅)) ∈ 𝐵)
31		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
32	20	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
33	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
34		simprl 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
35		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
36	35	eldifad 3225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
37	36	snssd 3844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
38	34, 37	unssd 3399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
39	33, 38	fssresd 5546	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})):(𝑦 ∪ {𝑧})⟶𝐵)
40		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
41	35	eldifbd 3226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
42	27, 31, 32, 39, 40, 35, 41	gfsump1 14108	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)))
43	42	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)))
44	26	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
45		ssun1 3386	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
46		resabs1 5072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝑦))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝑦)
48	47	oveq2i 6069	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) = (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦))
49		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
50	48, 49	eqeltrid 2321	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵)
51		ssun2 3387	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧} ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
52		vsnid 3726	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
53	51, 52	sselii 3239	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})
54	53	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
55	39, 54	ffvelcdmd 5818	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝐵)
56	55	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝐵)
57	27, 31	mndcl 13684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)) ∈ 𝐵)
58	44, 50, 56, 57	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σgf ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)) ∈ 𝐵)
59	43, 58	eqeltrd 2311	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝐵)
60	59	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝐵 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝐵))
61		gfsumcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
62	8, 11, 14, 17, 30, 60, 61	findcard2sd 7162	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ 𝐵)
63	5, 62	eqeltrrd 2312	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgf 𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∖ cdif 3211   ∪ cun 3212   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  {csn 3694   ↾ cres 4756   Fn wfn 5352  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Fincfn 6988  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  0_gc0g 13553  Mndcmnd 13677  CMndccmn 14037   Σ_gf cgfsu 14100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-ihash 11164  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-igsum 13556  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-minusg 13759  df-mulg 13873  df-cmn 14039  df-gfsum 14101

This theorem is referenced by: (None)