Theorem ppiublem2 16193

Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiublem2	|- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )

Proof of Theorem ppiublem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12905	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> P e. ZZ )
3		6nn 9474	. . . 4 |- 6 e. NN
4		zmodfz 10796	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ 6 e. NN ) -> ( P mod 6 ) e. ( 0 ... ( 6 - 1 ) ) )
5	2, 3, 4	sylancl 417	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( P mod 6 ) e. ( 0 ... ( 6 - 1 ) ) )
6		6m1e5 9429	. . . 4 |- ( 6 - 1 ) = 5
7	6	oveq2i 6096	. . 3 |- ( 0 ... ( 6 - 1 ) ) = ( 0 ... 5 )
8	5, 7	eleqtrdi 2331	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( P mod 6 ) e. ( 0 ... 5 ) )
9		6re 9387	. . . . . . . . . . 11 |- 6 e. RR
10	9	leidi 8814	. . . . . . . . . 10 |- 6 <_ 6
11		noel 3525	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. ( P mod 6 ) e. (/)
12	11	pm2.21i 655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P mod 6 ) e. (/) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
13		5lt6 9488	. . . . . . . . . . . . 13 |- 5 < 6
14	3	nnzi 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 e. ZZ
15		5nn 9473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 5 e. NN
16	15	nnzi 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 5 e. ZZ
17		fzn 10456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 5 e. ZZ ) -> ( 5 < 6 <-> ( 6 ... 5 ) = (/) ) )
18	14, 16, 17	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 5 < 6 <-> ( 6 ... 5 ) = (/) )
19	13, 18	mpbi 145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 ... 5 ) = (/)
20	12, 19	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P mod 6 ) e. ( 6 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 6 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
22	10, 21	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 |- ( 6 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 6 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
23		5nn0 9587	. . . . . . . . 9 |- 5 e. NN0
24		df-6 9369	. . . . . . . . 9 |- 6 = ( 5 + 1 )
25	15	elexi 2834	. . . . . . . . . . 11 |- 5 e. _V
26	25	prid2 3818	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. { 1 , 5 }
27	26	3mix3i 1202	. . . . . . . . 9 |- ( 2 || 5 \/ 3 || 5 \/ 5 e. { 1 , 5 } )
28	22, 23, 24, 27	ppiublem1 16192	. . . . . . . 8 |- ( 5 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 5 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
29		4nn0 9586	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN0
30		df-5 9368	. . . . . . . 8 |- 5 = ( 4 + 1 )
31		z4even 12699	. . . . . . . . 9 |- 2 || 4
32	31	3mix1i 1200	. . . . . . . 8 |- ( 2 || 4 \/ 3 || 4 \/ 4 e. { 1 , 5 } )
33	28, 29, 30, 32	ppiublem1 16192	. . . . . . 7 |- ( 4 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 4 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
34		3nn0 9585	. . . . . . 7 |- 3 e. NN0
35		df-4 9367	. . . . . . 7 |- 4 = ( 3 + 1 )
36		3z 9677	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
37		iddvds 12587	. . . . . . . . 9 |- ( 3 e. ZZ -> 3 || 3 )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 3 || 3
39	38	3mix2i 1201	. . . . . . 7 |- ( 2 || 3 \/ 3 || 3 \/ 3 e. { 1 , 5 } )
40	33, 34, 35, 39	ppiublem1 16192	. . . . . 6 |- ( 3 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 3 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
41		2nn0 9584	. . . . . 6 |- 2 e. NN0
42		df-3 9366	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
43		z2even 12697	. . . . . . 7 |- 2 || 2
44	43	3mix1i 1200	. . . . . 6 |- ( 2 || 2 \/ 3 || 2 \/ 2 e. { 1 , 5 } )
45	40, 41, 42, 44	ppiublem1 16192	. . . . 5 |- ( 2 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 2 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
46		1nn0 9583	. . . . 5 |- 1 e. NN0
47		df-2 9365	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
48		1ex 8321	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
49	48	prid1 3817	. . . . . 6 |- 1 e. { 1 , 5 }
50	49	3mix3i 1202	. . . . 5 |- ( 2 || 1 \/ 3 || 1 \/ 1 e. { 1 , 5 } )
51	45, 46, 47, 50	ppiublem1 16192	. . . 4 |- ( 1 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 1 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
52		0nn0 9582	. . . 4 |- 0 e. NN0
53		1e0p1 9827	. . . 4 |- 1 = ( 0 + 1 )
54		z0even 12694	. . . . 5 |- 2 || 0
55	54	3mix1i 1200	. . . 4 |- ( 2 || 0 \/ 3 || 0 \/ 0 e. { 1 , 5 } )
56	51, 52, 53, 55	ppiublem1 16192	. . 3 |- ( 0 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
57	56	simpri 113	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
58	8, 57	mpd 13	1 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   {cpr 3710   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8498   NNcn 9306   2c2 9357   3c3 9358   4c4 9359   5c5 9360   6c6 9361   ZZcz 9648   ...cfz 10421   mod cmo 10772   || cdvds 12570   Primecprime 12901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-fz 10422  df-fl 10715  df-mod 10773  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-dvds 12571  df-prm 12902

This theorem is used by:  ppiqub  16194