Theorem ppiublem2 16292

Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiublem2	|- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )

Proof of Theorem ppiublem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12914	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> P e. ZZ )
3		6nn 9481	. . . 4 |- 6 e. NN
4		zmodfz 10804	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ 6 e. NN ) -> ( P mod 6 ) e. ( 0 ... ( 6 - 1 ) ) )
5	2, 3, 4	sylancl 417	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( P mod 6 ) e. ( 0 ... ( 6 - 1 ) ) )
6		6m1e5 9436	. . . 4 |- ( 6 - 1 ) = 5
7	6	oveq2i 6099	. . 3 |- ( 0 ... ( 6 - 1 ) ) = ( 0 ... 5 )
8	5, 7	eleqtrdi 2331	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( P mod 6 ) e. ( 0 ... 5 ) )
9		6re 9394	. . . . . . . . . . 11 |- 6 e. RR
10	9	leidi 8820	. . . . . . . . . 10 |- 6 <_ 6
11		noel 3525	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. ( P mod 6 ) e. (/)
12	11	pm2.21i 655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P mod 6 ) e. (/) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
13		5lt6 9495	. . . . . . . . . . . . 13 |- 5 < 6
14	3	nnzi 9676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 e. ZZ
15		5nn 9480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 5 e. NN
16	15	nnzi 9676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 5 e. ZZ
17		fzn 10463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 5 e. ZZ ) -> ( 5 < 6 <-> ( 6 ... 5 ) = (/) ) )
18	14, 16, 17	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 5 < 6 <-> ( 6 ... 5 ) = (/) )
19	13, 18	mpbi 145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 ... 5 ) = (/)
20	12, 19	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P mod 6 ) e. ( 6 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 6 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
22	10, 21	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 |- ( 6 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 6 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
23		5nn0 9594	. . . . . . . . 9 |- 5 e. NN0
24		df-6 9376	. . . . . . . . 9 |- 6 = ( 5 + 1 )
25	15	elexi 2834	. . . . . . . . . . 11 |- 5 e. _V
26	25	prid2 3818	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. { 1 , 5 }
27	26	3mix3i 1202	. . . . . . . . 9 |- ( 2 || 5 \/ 3 || 5 \/ 5 e. { 1 , 5 } )
28	22, 23, 24, 27	ppiublem1 16291	. . . . . . . 8 |- ( 5 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 5 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
29		4nn0 9593	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN0
30		df-5 9375	. . . . . . . 8 |- 5 = ( 4 + 1 )
31		z4even 12708	. . . . . . . . 9 |- 2 || 4
32	31	3mix1i 1200	. . . . . . . 8 |- ( 2 || 4 \/ 3 || 4 \/ 4 e. { 1 , 5 } )
33	28, 29, 30, 32	ppiublem1 16291	. . . . . . 7 |- ( 4 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 4 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
34		3nn0 9592	. . . . . . 7 |- 3 e. NN0
35		df-4 9374	. . . . . . 7 |- 4 = ( 3 + 1 )
36		3z 9684	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
37		iddvds 12596	. . . . . . . . 9 |- ( 3 e. ZZ -> 3 || 3 )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 3 || 3
39	38	3mix2i 1201	. . . . . . 7 |- ( 2 || 3 \/ 3 || 3 \/ 3 e. { 1 , 5 } )
40	33, 34, 35, 39	ppiublem1 16291	. . . . . 6 |- ( 3 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 3 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
41		2nn0 9591	. . . . . 6 |- 2 e. NN0
42		df-3 9373	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
43		z2even 12706	. . . . . . 7 |- 2 || 2
44	43	3mix1i 1200	. . . . . 6 |- ( 2 || 2 \/ 3 || 2 \/ 2 e. { 1 , 5 } )
45	40, 41, 42, 44	ppiublem1 16291	. . . . 5 |- ( 2 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 2 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
46		1nn0 9590	. . . . 5 |- 1 e. NN0
47		df-2 9372	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
48		1ex 8327	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
49	48	prid1 3817	. . . . . 6 |- 1 e. { 1 , 5 }
50	49	3mix3i 1202	. . . . 5 |- ( 2 || 1 \/ 3 || 1 \/ 1 e. { 1 , 5 } )
51	45, 46, 47, 50	ppiublem1 16291	. . . 4 |- ( 1 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 1 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
52		0nn0 9589	. . . 4 |- 0 e. NN0
53		1e0p1 9834	. . . 4 |- 1 = ( 0 + 1 )
54		z0even 12703	. . . . 5 |- 2 || 0
55	54	3mix1i 1200	. . . 4 |- ( 2 || 0 \/ 3 || 0 \/ 0 e. { 1 , 5 } )
56	51, 52, 53, 55	ppiublem1 16291	. . 3 |- ( 0 <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
57	56	simpri 113	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
58	8, 57	mpd 13	1 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   {cpr 3710   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   0cc0 8185   1c1 8186   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   NNcn 9313   2c2 9364   3c3 9365   4c4 9366   5c5 9367   6c6 9368   ZZcz 9655   ...cfz 10428   mod cmo 10780   || cdvds 12579   Primecprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911

This theorem is used by:  ppiqub  16293