Theorem ppiublem1 16291

Description: Lemma for ppiqub 16293. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ppiublem1.1	|- ( N <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
ppiublem1.2	|- M e. NN0
ppiublem1.3	|- N = ( M + 1 )
ppiublem1.4	|- ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } )

Assertion

Ref	Expression
ppiublem1	|- ( M <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )

Proof of Theorem ppiublem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ppiublem1.1	. . . . . 6 |- ( N <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
2	1	simpli 111	. . . . 5 |- N <_ 6
3		ppiublem1.3	. . . . 5 |- N = ( M + 1 )
4		df-6 9376	. . . . 5 |- 6 = ( 5 + 1 )
5	2, 3, 4	3brtr3i 4160	. . . 4 |- ( M + 1 ) <_ ( 5 + 1 )
6		ppiublem1.2	. . . . . 6 |- M e. NN0
7	6	nn0rei 9585	. . . . 5 |- M e. RR
8		5re 9392	. . . . 5 |- 5 e. RR
9		1re 8331	. . . . 5 |- 1 e. RR
10	7, 8, 9	leadd1i 8838	. . . 4 |- ( M <_ 5 <-> ( M + 1 ) <_ ( 5 + 1 ) )
11	5, 10	mpbir 146	. . 3 |- M <_ 5
12		6re 9394	. . . 4 |- 6 e. RR
13		5lt6 9495	. . . 4 |- 5 < 6
14	8, 12, 13	ltleii 8435	. . 3 |- 5 <_ 6
15	7, 8, 12	letri 8440	. . 3 |- ( ( M <_ 5 /\ 5 <_ 6 ) -> M <_ 6 )
16	11, 14, 15	mp2an 430	. 2 |- M <_ 6
17	6	nn0zi 9677	. . . . 5 |- M e. ZZ
18		5nn 9480	. . . . . 6 |- 5 e. NN
19	18	nnzi 9676	. . . . 5 |- 5 e. ZZ
20		eluz2 9943	. . . . 5 |- ( 5 e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ 5 e. ZZ /\ M <_ 5 ) )
21	17, 19, 11, 20	mpbir3an 1210	. . . 4 |- 5 e. ( ZZ>= ` M )
22		elfzp12 10523	. . . 4 |- ( 5 e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) <-> ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) <-> ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) )
24		ppiublem1.4	. . . . 5 |- ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } )
25		2nn 9477	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
26		6nn 9481	. . . . . . . . . . 11 |- 6 e. NN
27		prmz 12914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> P e. ZZ )
29		3z 9684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. ZZ
30		2z 9683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
31		dvdsmul2 12606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( 3 x. 2 ) )
32	29, 30, 31	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 || ( 3 x. 2 )
33		3t2e6 9470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 x. 2 ) = 6
34	32, 33	breqtri 4156	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 || 6
35		dvdsmod 12654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) /\ 2 || 6 ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
36	34, 35	mpan2 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
37	25, 26, 28, 36	mp3an12i 1382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || P ) )
38		uzid 9952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
39	30, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
40		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> P e. Prime )
41		dvdsprm 12941	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
42	39, 40, 41	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || P <-> 2 = P ) )
43	37, 42	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 = P ) )
44		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> 4 <_ P )
45		breq2 4135	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 = P -> ( 4 <_ 2 <-> 4 <_ P ) )
46	44, 45	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 = P -> 4 <_ 2 ) )
47		2lt4 9489	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 < 4
48		4z 9685	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. ZZ
49		zltnle 9701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 2 < 4 <-> -. 4 <_ 2 ) )
50	30, 48, 49	mp2an 430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 < 4 <-> -. 4 <_ 2 )
51	47, 50	mpbi 145	. . . . . . . . . . 11 |- -. 4 <_ 2
52	51	pm2.21i 655	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 <_ 2 -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
53	46, 52	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 = P -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
54	43, 53	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 2 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
55		breq2 4135	. . . . . . . . 9 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( 2 || ( P mod 6 ) <-> 2 || M ) )
56	55	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( ( 2 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) <-> ( 2 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
57	54, 56	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( 2 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
58	57	com3r 79	. . . . . 6 |- ( 2 || M -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
59		3nn 9478	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN
60		dvdsmul1 12605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 3 || ( 3 x. 2 ) )
61	29, 30, 60	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 || ( 3 x. 2 )
62	61, 33	breqtri 4156	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 || 6
63		dvdsmod 12654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 3 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) /\ 3 || 6 ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
64	62, 63	mpan2 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 e. NN /\ 6 e. NN /\ P e. ZZ ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
65	59, 26, 28, 64	mp3an12i 1382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || P ) )
66		df-3 9373	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
67		peano2uz 9999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
68	39, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 )
69	66, 68	eqeltri 2311	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ( ZZ>= ` 2 )
70		dvdsprm 12941	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( 3 || P <-> 3 = P ) )
71	69, 40, 70	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || P <-> 3 = P ) )
72	65, 71	bitrd 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 = P ) )
73		breq2 4135	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 = P -> ( 4 <_ 3 <-> 4 <_ P ) )
74	44, 73	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 = P -> 4 <_ 3 ) )
75		3lt4 9488	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 < 4
76		zltnle 9701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 3 < 4 <-> -. 4 <_ 3 ) )
77	29, 48, 76	mp2an 430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 < 4 <-> -. 4 <_ 3 )
78	75, 77	mpbi 145	. . . . . . . . . . 11 |- -. 4 <_ 3
79	78	pm2.21i 655	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 <_ 3 -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
80	74, 79	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 = P -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
81	72, 80	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( 3 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
82		breq2 4135	. . . . . . . . 9 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( 3 || ( P mod 6 ) <-> 3 || M ) )
83	82	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( ( P mod 6 ) = M -> ( ( 3 || ( P mod 6 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) <-> ( 3 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
84	81, 83	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( 3 || M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
85	84	com3r 79	. . . . . 6 |- ( 3 || M -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
86		eleq1a 2310	. . . . . . 7 |- ( M e. { 1 , 5 } -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
87	86	a1d 22	. . . . . 6 |- ( M e. { 1 , 5 } -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
88	58, 85, 87	3jaoi 1344	. . . . 5 |- ( ( 2 || M \/ 3 || M \/ M e. { 1 , 5 } ) -> ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )
89	24, 88	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) = M -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
90	3	oveq1i 6098	. . . . . 6 |- ( N ... 5 ) = ( ( M + 1 ) ... 5 )
91	90	eleq2i 2305	. . . . 5 |- ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) <-> ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) )
92	1	simpri 113	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( N ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
93	91, 92	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
94	89, 93	jaod 729	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( ( P mod 6 ) = M \/ ( P mod 6 ) e. ( ( M + 1 ) ... 5 ) ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
95	23, 94	biimtrid 152	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
96	16, 95	pm3.2i 272	1 |- ( M <_ 6 /\ ( ( P e. Prime /\ 4 <_ P ) -> ( ( P mod 6 ) e. ( M ... 5 ) -> ( P mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cpr 3710   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   NNcn 9313   2c2 9364   3c3 9365   4c4 9366   5c5 9367   6c6 9368   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428   mod cmo 10780   || cdvds 12579   Primecprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-prm 12911

This theorem is used by:  ppiublem2  16292