Theorem psrbagmaxlem1 15178

Description: Lemma for psrbagmax 15183. Existence of a bag which is greater than any element of a finite set of bags. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagmaxlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
psrbagmaxlem1.xfi	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
psrbagmaxlem1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
psrbagmaxlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑝(𝑝:𝐼⟶ℕ0 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥‘𝑗) ≤ (𝑝‘𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼,𝑝,𝑥   𝑋,𝑝,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝑋(𝑗)

Proof of Theorem psrbagmaxlem1

Dummy variables 𝑣 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagmaxlem1.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		raleq 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢))
3	2	rexbidv 2551	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢))
4		raleq 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢))
5	4	rexbidv 2551	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢))
6		raleq 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢))
7	6	rexbidv 2551	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢))
8		raleq 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢))
9	8	rexbidv 2551	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑋 → (∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑤 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢))
10		0nn0 9589	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		ral0 3629	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑥‘𝑗) ≤ 0
12		brralrspcev 4190	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑥‘𝑗) ≤ 0) → ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢)
13	10, 11, 12	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ∅ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢)
15		breq2 4135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → ((𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣))
16	15	ralbidv 2550	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣))
17	16	cbvrexv 2787	. . . . 5 ⊢ (∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣)
18		simplr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑣 ∈ ℕ0)
19		psrbagmaxlem1.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
20	19	ad5antr 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑋 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
21		simprr 537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))
22	21	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))
23	22	eldifad 3231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑧 ∈ 𝑋)
24	20, 23	sseldd 3249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑧 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
25		nn0ex 9580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ∈ V
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → ℕ0 ∈ V)
27	1	ad5antr 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝐼 ∈ Fin)
28	26, 27	elmapd 6941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → (𝑧 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑧:𝐼⟶ℕ0))
29	24, 28	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
30		simp-5r 550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑗 ∈ 𝐼)
31	29, 30	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → (𝑧‘𝑗) ∈ ℕ0)
32		nn0maxcl 12013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧‘𝑗) ∈ ℕ0) → sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
33	18, 31, 32	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)
34	19	ad6antr 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑋 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
35		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
36	35	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
37		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑦)
38	36, 37	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑋)
39	34, 38	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
40		elmapi 6949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
42		simp-6r 552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑗 ∈ 𝐼)
43	41, 42	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → (𝑥‘𝑗) ∈ ℕ0)
44	43	nn0red 9630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → (𝑥‘𝑗) ∈ ℝ)
45		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑣 ∈ ℕ0)
46	45	nn0red 9630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑣 ∈ ℝ)
47	19	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) → 𝑋 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
48	21	eldifad 3231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝑋)
49	47, 48	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
50		elmapi 6949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
51	49, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
52		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) → 𝑗 ∈ 𝐼)
53	51, 52	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) → (𝑧‘𝑗) ∈ ℕ0)
54	53	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → (𝑧‘𝑗) ∈ ℕ0)
55	54	nn0red 9630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → (𝑧‘𝑗) ∈ ℝ)
56		maxcl 11998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝑧‘𝑗) ∈ ℝ) → sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57	46, 55, 56	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
58		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣)
59		maxle1 11999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝑧‘𝑗) ∈ ℝ) → 𝑣 ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ))
60	46, 55, 59	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑣 ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ))
61	44, 46, 57, 58, 60	letrd 8457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → (𝑥‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ))
62	61	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣 → (𝑥‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < )))
63	62	ralimdva 2617	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣 → ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < )))
64	63	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ))
65	18	nn0red 9630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → 𝑣 ∈ ℝ)
66	31	nn0red 9630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → (𝑧‘𝑗) ∈ ℝ)
67		maxle2 12000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (𝑧‘𝑗) ∈ ℝ) → (𝑧‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ))
68	65, 66, 67	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → (𝑧‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ))
69		fveq1 5697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥‘𝑗) = (𝑧‘𝑗))
70	69	breq1d 4141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ) ↔ (𝑧‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < )))
71	70	ralunsn 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ V → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑥‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ) ∧ (𝑧‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ))))
72	71	elv 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑥‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ) ∧ (𝑧‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < )))
73	64, 68, 72	sylanbrc 421	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑥‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ))
74		brralrspcev 4190	. . . . . . 7 ⊢ ((sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < ) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑥‘𝑗) ≤ sup({𝑣, (𝑧‘𝑗)}, ℝ, < )) → ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢)
75	33, 73, 74	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑣 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣) → ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢)
76	75	rexlimdva2 2671	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) → (∃𝑣 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑣 → ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢))
77	17, 76	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ 𝑦))) → (∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢))
78		psrbagmaxlem1.xfi	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
79	78	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ Fin)
80	3, 5, 7, 9, 14, 77, 79	findcard2sd 7202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢)
81	80	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢)
82		breq2 4135	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑝‘𝑗) → ((𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ (𝑥‘𝑗) ≤ (𝑝‘𝑗)))
83	82	ralbidv 2550	. . 3 ⊢ (𝑢 = (𝑝‘𝑗) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥‘𝑗) ≤ (𝑝‘𝑗)))
84	83	ac6sfi 7208	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∃𝑢 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥‘𝑗) ≤ 𝑢) → ∃𝑝(𝑝:𝐼⟶ℕ0 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥‘𝑗) ≤ (𝑝‘𝑗)))
85	1, 81, 84	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝(𝑝:𝐼⟶ℕ0 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐼 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥‘𝑗) ≤ (𝑝‘𝑗)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709  {cpr 3710   class class class wbr 4131  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028  supcsup 7328  ℝcr 8184  0cc0 8185   < clt 8366   ≤ cle 8367  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-er 6812  df-map 6929  df-en 7029  df-fin 7031  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-rp 10071  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-cj 11628  df-re 11629  df-im 11630  df-rsqrt 11785  df-abs 11786

This theorem is used by:  psrbagmax  15183