Theorem vtxd0nedgbfi 16149

Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxd0nedgb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxd0nedgb.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxd0nedgb.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
vtxd0nedgbfi.i	⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
vtxd0nedgbfi.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxd0nedgbfi.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxd0nedgbfi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxd0nedgbfi	⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐷(𝑖)

Proof of Theorem vtxd0nedgbfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxd0nedgb.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 5640	. . . 4 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3		vtxd0nedgb.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxd0nedgb.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ dom 𝐼 = dom 𝐼
6		vtxd0nedgbfi.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
7		vtxd0nedgbfi.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
8		vtxd0nedgbfi.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		vtxd0nedgbfi.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	vtxdgfifival 16141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})))
11	2, 10	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})))
12	11	eqeq1d 2240	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})) = 0))
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	vtxedgfi 16139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} ∈ Fin)
14		hashcl 11042	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 9455	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℝ)
17	15	nn0ge0d 9457	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}))
18	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	vtxlpfi 16140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} ∈ Fin)
19		hashcl 11042	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
21	20	nn0red 9455	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℝ)
22	20	nn0ge0d 9457	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}))
23		add20 8653	. . 3 ⊢ ((((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)})) ∧ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}))) → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
24	16, 17, 21, 22, 23	syl22anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
25		fihasheq0 11054	. . . . . 6 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} ∈ Fin → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅))
26	13, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅))
27		fihasheq0 11054	. . . . . 6 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} ∈ Fin → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅))
28	18, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅))
29	26, 28	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅)))
30		rabeq0 3524	. . . . . 6 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖))
31		rabeq0 3524	. . . . . 6 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈})
32	30, 31	anbi12i 460	. . . . 5 ⊢ (({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
33	32	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈})))
34		ioran 759	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ (¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
35	34	ralbii 2538	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
36		ralnex 2520	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
37		r19.26 2659	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼(¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
38	35, 36, 37	3bitr3ri 211	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
39	38	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈})))
40	29, 33, 39	3bitrd 214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈})))
41		orcom 735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
42		snidg 3698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈})
43		eleq2 2295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} → (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ 𝑈 ∈ {𝑈}))
44	42, 43	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
45		pm4.72 834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼‘𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)) ↔ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖))))
46	44, 45	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖))))
47	41, 46	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
48	47	rexbidv 2533	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
49	48	notbid 673	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
50	8, 49	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
51	40, 50	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
52	12, 24, 51	3bitrd 214	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {crab 2514  ∅c0 3494  {csn 3669   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Fincfn 6908  ℝcr 8030  0cc0 8031   + caddc 8034   ≤ cle 8214  ℕ₀cn0 9401  ♯chash 11036  Vtxcvtx 15862  iEdgciedg 15863  UPGraphcupgr 15941  VtxDegcvtxdg 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-xadd 10007  df-fz 10243  df-ihash 11037  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-upgren 15943  df-vtxdg 16137

This theorem is referenced by:  1loopgrvd0fi  16156  1hevtxdg0fi  16157