Theorem ef4p 12318

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef4p.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef4p	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef4p.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2		df-4 9246	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
3		3nn0 9462	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 8168	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		addcl 8200	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
7	5, 6	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
8		sqcl 10908	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
9	8	halfcld 9431	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
10	7, 9	addcld 8241	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
11		df-3 9245	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
12		2nn0 9461	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13		df-2 9244	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
14		1nn0 9460	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
16		1e0p1 9696	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
17		0nn0 9459	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
18		0cnd 8215	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
19	1	efval2 12289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
20		nn0uz 9835	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	20	sumeq1i 11986	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘)
22	19, 21	eqtr2di 2281	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘) = (exp‘𝐴))
23	22	oveq2d 6044	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝐴)))
24		efcl 12288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
25	24	addlidd 8371	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (exp‘𝐴)) = (exp‘𝐴))
26	23, 25	eqtr2d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘)))
27		eft0val 12317	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
28	27	oveq2d 6044	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
29		0p1e1 9299	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = 1)
31	1, 16, 17, 4, 18, 26, 30	efsep 12315	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑘)))
32		exp1 10853	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
33		fac1 11037	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘1) = 1
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (!‘1) = 1)
35	32, 34	oveq12d 6046	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = (𝐴 / 1))
36		div1 8925	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
37	35, 36	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
38	37	oveq2d 6044	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + ((𝐴↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝐴))
39	1, 13, 14, 4, 15, 31, 38	efsep 12315	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((1 + 𝐴) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)(𝐹‘𝑘)))
40		fac2 11039	. . . . . 6 ⊢ (!‘2) = 2
41	40	oveq2i 6039	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
42	41	oveq2i 6039	. . . 4 ⊢ ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2))
43	42	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
44	1, 11, 12, 4, 7, 39, 43	efsep 12315	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)(𝐹‘𝑘)))
45		fac3 11040	. . . . 5 ⊢ (!‘3) = 6
46	45	oveq2i 6039	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑3) / (!‘3)) = ((𝐴↑3) / 6)
47	46	oveq2i 6039	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6))
48	47	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)))
49	1, 2, 3, 4, 10, 44, 48	efsep 12315	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ↦ cmpt 4155  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   / cdiv 8894  2c2 9236  3c3 9237  4c4 9238  6c6 9240  ℕ₀cn0 9444  ℤ_≥cuz 9799  ↑cexp 10846  !cfa 11033  Σcsu 11976  expce 12266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-ico 10173  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-ef 12272

This theorem is referenced by:  efi4p  12341