Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ef4p GIF version

Theorem ef4p 11047
 Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ef4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef4p (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef4p
StepHypRef Expression
1 ef4p.1 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
2 df-4 8546 . 2 4 = (3 + 1)
3 3nn0 8754 . 2 3 ∈ ℕ0
4 id 19 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 7501 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 addcl 7530 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
75, 6mpan 416 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
8 sqcl 10079 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
98halfcld 8723 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
107, 9addcld 7570 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
11 df-3 8545 . . 3 3 = (2 + 1)
12 2nn0 8753 . . 3 2 ∈ ℕ0
13 df-2 8544 . . . 4 2 = (1 + 1)
14 1nn0 8752 . . . 4 1 ∈ ℕ0
155a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
16 1e0p1 8981 . . . . 5 1 = (0 + 1)
17 0nn0 8751 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
18 0cnd 7544 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
191efval2 11018 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
20 nn0uz 9116 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
2120sumeq1i 10815 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)
2219, 21syl6req 2138 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘) = (exp‘𝐴))
2322oveq2d 5684 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)) = (0 + (exp‘𝐴)))
24 efcl 11017 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2524addid2d 7695 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (exp‘𝐴)) = (exp‘𝐴))
2623, 25eqtr2d 2122 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)(𝐹𝑘)))
27 eft0val 11046 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
2827oveq2d 5684 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
29 0p1e1 8599 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3028, 29syl6eq 2137 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = 1)
311, 16, 17, 4, 18, 26, 30efsep 11044 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)(𝐹𝑘)))
32 exp1 10024 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
33 fac1 10200 . . . . . . . 8 (!‘1) = 1
3433a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (!‘1) = 1)
3532, 34oveq12d 5686 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = (𝐴 / 1))
36 div1 8233 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3735, 36eqtrd 2121 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
3837oveq2d 5684 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + ((𝐴↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝐴))
391, 13, 14, 4, 15, 31, 38efsep 11044 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((1 + 𝐴) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)(𝐹𝑘)))
40 fac2 10202 . . . . . 6 (!‘2) = 2
4140oveq2i 5679 . . . . 5 ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
4241oveq2i 5679 . . . 4 ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2))
4342a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
441, 11, 12, 4, 7, 39, 43efsep 11044 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘3)(𝐹𝑘)))
45 fac3 10203 . . . . 5 (!‘3) = 6
4645oveq2i 5679 . . . 4 ((𝐴↑3) / (!‘3)) = ((𝐴↑3) / 6)
4746oveq2i 5679 . . 3 (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6))
4847a1i 9 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)))
491, 2, 3, 4, 10, 44, 48efsep 11044 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   ↦ cmpt 3907  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668  ℂcc 7411  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416   / cdiv 8202  2c2 8536  3c3 8537  4c4 8538  6c6 8540  ℕ0cn0 8736  ℤ≥cuz 9082  ↑cexp 10017  !cfa 10196  Σcsu 10805  expce 10995 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-5 8547  df-6 8548  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806  df-ef 11001 This theorem is referenced by:  efi4p  11071
 Copyright terms: Public domain W3C validator