Theorem ef4p 11859

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef4p.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef4p	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef4p.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2		df-4 9051	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
3		3nn0 9267	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		id 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 7972	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		addcl 8004	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
7	5, 6	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
8		sqcl 10692	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
9	8	halfcld 9236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
10	7, 9	addcld 8046	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
11		df-3 9050	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
12		2nn0 9266	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13		df-2 9049	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
14		1nn0 9265	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
16		1e0p1 9498	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
17		0nn0 9264	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
18		0cnd 8019	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
19	1	efval2 11830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘))
20		nn0uz 9636	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	20	sumeq1i 11528	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘)
22	19, 21	eqtr2di 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘) = (exp‘𝐴))
23	22	oveq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝐴)))
24		efcl 11829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
25	24	addlidd 8176	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (exp‘𝐴)) = (exp‘𝐴))
26	23, 25	eqtr2d 2230	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(𝐹‘𝑘)))
27		eft0val 11858	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
28	27	oveq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
29		0p1e1 9104	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2245	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 + ((𝐴↑0) / (!‘0))) = 1)
31	1, 16, 17, 4, 18, 26, 30	efsep 11856	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)(𝐹‘𝑘)))
32		exp1 10637	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
33		fac1 10821	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘1) = 1
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (!‘1) = 1)
35	32, 34	oveq12d 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = (𝐴 / 1))
36		div1 8730	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
37	35, 36	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
38	37	oveq2d 5938	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + ((𝐴↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝐴))
39	1, 13, 14, 4, 15, 31, 38	efsep 11856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((1 + 𝐴) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)(𝐹‘𝑘)))
40		fac2 10823	. . . . . 6 ⊢ (!‘2) = 2
41	40	oveq2i 5933	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
42	41	oveq2i 5933	. . . 4 ⊢ ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2))
43	42	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / (!‘2))) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
44	1, 11, 12, 4, 7, 39, 43	efsep 11856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘3)(𝐹‘𝑘)))
45		fac3 10824	. . . . 5 ⊢ (!‘3) = 6
46	45	oveq2i 5933	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑3) / (!‘3)) = ((𝐴↑3) / 6)
47	46	oveq2i 5933	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6))
48	47	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / (!‘3))) = (((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)))
49	1, 2, 3, 4, 10, 44, 48	efsep 11856	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ↦ cmpt 4094  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   / cdiv 8699  2c2 9041  3c3 9042  4c4 9043  6c6 9045  ℕ₀cn0 9249  ℤ_≥cuz 9601  ↑cexp 10630  !cfa 10817  Σcsu 11518  expce 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813

This theorem is referenced by:  efi4p  11882