Theorem efgt1p 12256

Description: The exponential of a positive real number is greater than 1 plus that number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt1p	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 9896	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1e0p1 9651	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
3	2	fveq2i 5642	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1))
4		0nn0 9416	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		nn0uz 9790	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6	4, 5	eleqtri 2306	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
8		elnn0uz 9793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
9		eqid 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	eftvalcn 12217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11		eftcl 12214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
12	10, 11	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
13	8, 12	sylan2br 288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
14		addcl 8156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
16	7, 13, 15	seq3p1 10726	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))))
17		0zd 9490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
18	17, 13, 15	seq3-1 10723	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0))
19	9	eftvalcn 12217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
20	4, 19	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
21		eft0val 12253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
22	20, 21	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
23	18, 22	eqtrd 2264	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
24	2	fveq2i 5642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))
25		1nn0 9417	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	9	eftvalcn 12217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
27	25, 26	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
28		fac1 10990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘1) = 1
29	28	oveq2i 6028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
30		exp1 10806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
31	30	oveq1d 6032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
32		div1 8882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
33	31, 32	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
34	29, 33	eqtrid 2276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
35	27, 34	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
36	24, 35	eqtr3id 2278	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1)) = 𝐴)
37	23, 36	oveq12d 6035	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))) = (1 + 𝐴))
38	16, 37	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = (1 + 𝐴))
39	3, 38	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
40	1, 39	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
41		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
42	25	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
43	9, 41, 42	effsumlt 12252	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) < (exp‘𝐴))
44	40, 43	eqbrtrrd 4112	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   / cdiv 8851  ℕ₀cn0 9401  ℤ_≥cuz 9754  ℝ⁺crp 9887  seqcseq 10708  ↑cexp 10799  !cfa 10986  expce 12202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-ico 10128  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914  df-ef 12208

This theorem is referenced by:  efgt1  12257  reeff1olem  15494  logdivlti  15604