ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efgt1p GIF version

Theorem efgt1p 11659
Description: The exponential of a positive real number is greater than 1 plus that number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt1p (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 9619 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
2 1e0p1 9384 . . . . 5 1 = (0 + 1)
32fveq2i 5499 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1))
4 0nn0 9150 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
5 nn0uz 9521 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
64, 5eleqtri 2245 . . . . . . 7 0 ∈ (ℤ‘0)
76a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ‘0))
8 elnn0uz 9524 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
9 eqid 2170 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
109eftvalcn 11620 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
11 eftcl 11617 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1210, 11eqeltrd 2247 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
138, 12sylan2br 286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
14 addcl 7899 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
1514adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
167, 13, 15seq3p1 10418 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))))
17 0zd 9224 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
1817, 13, 15seq3-1 10416 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0))
199eftvalcn 11620 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
204, 19mpan2 423 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
21 eft0val 11656 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
2220, 21eqtrd 2203 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
2318, 22eqtrd 2203 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
242fveq2i 5499 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))
25 1nn0 9151 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
269eftvalcn 11620 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
2725, 26mpan2 423 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
28 fac1 10663 . . . . . . . . . 10 (!‘1) = 1
2928oveq2i 5864 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
30 exp1 10482 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3130oveq1d 5868 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
32 div1 8620 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3331, 32eqtrd 2203 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
3429, 33eqtrid 2215 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
3527, 34eqtrd 2203 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
3624, 35eqtr3id 2217 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1)) = 𝐴)
3723, 36oveq12d 5871 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))) = (1 + 𝐴))
3816, 37eqtrd 2203 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = (1 + 𝐴))
393, 38eqtrid 2215 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
401, 39syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
41 id 19 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+)
4225a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
439, 41, 42effsumlt 11655 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) < (exp‘𝐴))
4440, 43eqbrtrrd 4013 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3989  cmpt 4050  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   / cdiv 8589  0cn0 9135  cuz 9487  +crp 9610  seqcseq 10401  cexp 10475  !cfa 10659  expce 11605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611
This theorem is referenced by:  efgt1  11660  reeff1olem  13486  logdivlti  13596
  Copyright terms: Public domain W3C validator