Theorem efgt1p 12463

Description: The exponential of a positive real number is greater than 1 plus that number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt1p	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 10063	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1e0p1 9818	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
3	2	fveq2i 5698	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1))
4		0nn0 9578	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		nn0uz 9957	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6	4, 5	eleqtri 2313	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
8		elnn0uz 9960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
9		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	eftvalcn 12424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11		eftcl 12421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
12	10, 11	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
13	8, 12	sylan2br 288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
14		addcl 8304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
15	14	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
16	7, 13, 15	seq3p1 10902	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))))
17		0zd 9656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
18	17, 13, 15	seq3-1 10899	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0))
19	9	eftvalcn 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
20	4, 19	mpan2 429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
21		eft0val 12460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
22	20, 21	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
23	18, 22	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
24	2	fveq2i 5698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))
25		1nn0 9579	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
26	9	eftvalcn 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
27	25, 26	mpan2 429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
28		fac1 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘1) = 1
29	28	oveq2i 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
30		exp1 10982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
31	30	oveq1d 6100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
32		div1 9033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
33	31, 32	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
34	29, 33	eqtrid 2283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
35	27, 34	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
36	24, 35	eqtr3id 2285	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1)) = 𝐴)
37	23, 36	oveq12d 6103	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))) = (1 + 𝐴))
38	16, 37	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = (1 + 𝐴))
39	3, 38	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
40	1, 39	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
41		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
42	25	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
43	9, 41, 42	effsumlt 12459	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) < (exp‘𝐴))
44	40, 43	eqbrtrrd 4154	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   / cdiv 9002  ℕ₀cn0 9563  ℤ_≥cuz 9921  ℝ⁺crp 10054  seqcseq 10884  ↑cexp 10975  !cfa 11163  expce 12409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-ico 10296  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120  df-ef 12415

This theorem is used by:  efgt1  12464  reeff1olem  15872  logdivlti  15982