ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efgt1p GIF version

Theorem efgt1p 11688
Description: The exponential of a positive real number is greater than 1 plus that number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt1p (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 9649 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
2 1e0p1 9414 . . . . 5 1 = (0 + 1)
32fveq2i 5514 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1))
4 0nn0 9180 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
5 nn0uz 9551 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
64, 5eleqtri 2252 . . . . . . 7 0 ∈ (ℤ‘0)
76a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ‘0))
8 elnn0uz 9554 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
9 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
109eftvalcn 11649 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
11 eftcl 11646 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1210, 11eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
138, 12sylan2br 288 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
14 addcl 7927 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
1514adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℂ)
167, 13, 15seq3p1 10448 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))))
17 0zd 9254 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
1817, 13, 15seq3-1 10446 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0))
199eftvalcn 11649 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
204, 19mpan2 425 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
21 eft0val 11685 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
2220, 21eqtrd 2210 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
2318, 22eqtrd 2210 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
242fveq2i 5514 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))
25 1nn0 9181 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
269eftvalcn 11649 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
2725, 26mpan2 425 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
28 fac1 10693 . . . . . . . . . 10 (!‘1) = 1
2928oveq2i 5880 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
30 exp1 10512 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
3130oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
32 div1 8649 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3331, 32eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
3429, 33eqtrid 2222 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
3527, 34eqtrd 2210 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
3624, 35eqtr3id 2224 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1)) = 𝐴)
3723, 36oveq12d 5887 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))) = (1 + 𝐴))
3816, 37eqtrd 2210 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = (1 + 𝐴))
393, 38eqtrid 2222 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
401, 39syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
41 id 19 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+)
4225a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℕ0)
439, 41, 42effsumlt 11684 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) < (exp‘𝐴))
4440, 43eqbrtrrd 4024 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + 𝐴) < (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cmpt 4061  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   / cdiv 8618  0cn0 9165  cuz 9517  +crp 9640  seqcseq 10431  cexp 10505  !cfa 10689  expce 11634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-ico 9881  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640
This theorem is referenced by:  efgt1  11689  reeff1olem  13859  logdivlti  13969
  Copyright terms: Public domain W3C validator