Theorem efgt1p2 12462

Description: The exponential of a positive real number is greater than the sum of the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt1p2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p2

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9579	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0uz 9957	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtri 2313	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
5		elnn0uz 9960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
6	5	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		eluzelz 9931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	8, 10	rpexpcld 11135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
12	7	faccld 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 10095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
14	11, 13	rpdivcld 10115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
15		oveq2 6093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
16		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
17	15, 16	oveq12d 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
18		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
19	17, 18	fvmptg 5781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
20	7, 14, 19	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
21	20, 14	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ+)
22		rpaddcl 10078	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
23	22	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
24	4, 21, 23	seq3p1 10902	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(1 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1))))
25		df-2 9363	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
26	25	fveq2i 5698	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(1 + 1))
27	25	fveq2i 5698	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1))
28	27	oveq2i 6096	. . . 4 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1)))
29	24, 26, 28	3eqtr4g 2296	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)))
30		0nn0 9578	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31	30, 2	eleqtri 2313	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
32	31	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
33	32, 21, 23	seq3p1 10902	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))))
34		1e0p1 9818	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
35	34	fveq2i 5698	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1))
36	34	fveq2i 5698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))
37	36	oveq2i 6096	. . . . . 6 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1)))
38	33, 35, 37	3eqtr4g 2296	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)))
39		0zd 9656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℤ)
40	39, 21, 23	seq3-1 10899	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0))
41		rpcn 10063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
42	18	eftvalcn 12424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
43	30, 42	mpan2 429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
44	41, 43	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
45		eft0val 12460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
46	41, 45	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
47	44, 46	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
48	40, 47	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
49	18	eftvalcn 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
50	1, 49	mpan2 429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
51		fac1 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘1) = 1
52	51	oveq2i 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
53		exp1 10982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
54	53	oveq1d 6100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
55		div1 9033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
56	54, 55	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
57	52, 56	eqtrid 2283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
58	50, 57	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
59	41, 58	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
60	48, 59	oveq12d 6103	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)) = (1 + 𝐴))
61	38, 60	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
62		2nn0 9580	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
63	18	eftvalcn 12424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
64	62, 63	mpan2 429	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
65		fac2 11169	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
66	65	oveq2i 6096	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
67	64, 66	eqtrdi 2287	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
68	41, 67	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
69	61, 68	oveq12d 6103	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
70	29, 69	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
71		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
72	62	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℕ0)
73	18, 71, 72	effsumlt 12459	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) < (exp‘𝐴))
74	70, 73	eqbrtrrd 4154	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   / cdiv 9002  2c2 9355  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ℝ⁺crp 10054  seqcseq 10884  ↑cexp 10975  !cfa 11163  expce 12409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-ico 10296  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120  df-ef 12415

This theorem is used by: (None)