Theorem efgt1p2 12246

Description: The exponential of a positive real number is greater than the sum of the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt1p2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p2

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9408	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0uz 9781	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtri 2304	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
5		elnn0uz 9784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
6	5	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		eluzelz 9755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	8, 10	rpexpcld 10949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
12	7	faccld 10988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 9919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
14	11, 13	rpdivcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
15		oveq2 6021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
16		fveq2 5635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
17	15, 16	oveq12d 6031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
18		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
19	17, 18	fvmptg 5718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
20	7, 14, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
21	20, 14	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ+)
22		rpaddcl 9902	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
23	22	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
24	4, 21, 23	seq3p1 10717	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(1 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1))))
25		df-2 9192	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
26	25	fveq2i 5638	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(1 + 1))
27	25	fveq2i 5638	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1))
28	27	oveq2i 6024	. . . 4 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1)))
29	24, 26, 28	3eqtr4g 2287	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)))
30		0nn0 9407	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31	30, 2	eleqtri 2304	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
32	31	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
33	32, 21, 23	seq3p1 10717	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))))
34		1e0p1 9642	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
35	34	fveq2i 5638	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1))
36	34	fveq2i 5638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))
37	36	oveq2i 6024	. . . . . 6 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1)))
38	33, 35, 37	3eqtr4g 2287	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)))
39		0zd 9481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℤ)
40	39, 21, 23	seq3-1 10714	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0))
41		rpcn 9887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
42	18	eftvalcn 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
43	30, 42	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
44	41, 43	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
45		eft0val 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
46	41, 45	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
47	44, 46	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
48	40, 47	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
49	18	eftvalcn 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
50	1, 49	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
51		fac1 10981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘1) = 1
52	51	oveq2i 6024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
53		exp1 10797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
54	53	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
55		div1 8873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
56	54, 55	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
57	52, 56	eqtrid 2274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
58	50, 57	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
59	41, 58	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
60	48, 59	oveq12d 6031	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)) = (1 + 𝐴))
61	38, 60	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
62		2nn0 9409	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
63	18	eftvalcn 12208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
64	62, 63	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
65		fac2 10983	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
66	65	oveq2i 6024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
67	64, 66	eqtrdi 2278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
68	41, 67	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
69	61, 68	oveq12d 6031	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
70	29, 69	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
71		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
72	62	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℕ0)
73	18, 71, 72	effsumlt 12243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) < (exp‘𝐴))
74	70, 73	eqbrtrrd 4110	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025   < clt 8204   / cdiv 8842  2c2 9184  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745  ℝ⁺crp 9878  seqcseq 10699  ↑cexp 10790  !cfa 10977  expce 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-ico 10119  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-fac 10978  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905  df-ef 12199

This theorem is referenced by: (None)