Theorem efgt1p2 12255

Description: The exponential of a positive real number is greater than the sum of the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt1p2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p2

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9417	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0uz 9790	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtri 2306	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
5		elnn0uz 9793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
6	5	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		eluzelz 9764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	8, 10	rpexpcld 10958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
12	7	faccld 10997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 9928	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
14	11, 13	rpdivcld 9948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
15		oveq2 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
16		fveq2 5639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
17	15, 16	oveq12d 6035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
18		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
19	17, 18	fvmptg 5722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
20	7, 14, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
21	20, 14	eqeltrd 2308	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ+)
22		rpaddcl 9911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
23	22	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
24	4, 21, 23	seq3p1 10726	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(1 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1))))
25		df-2 9201	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
26	25	fveq2i 5642	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(1 + 1))
27	25	fveq2i 5642	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1))
28	27	oveq2i 6028	. . . 4 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1)))
29	24, 26, 28	3eqtr4g 2289	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)))
30		0nn0 9416	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31	30, 2	eleqtri 2306	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
32	31	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
33	32, 21, 23	seq3p1 10726	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))))
34		1e0p1 9651	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
35	34	fveq2i 5642	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1))
36	34	fveq2i 5642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))
37	36	oveq2i 6028	. . . . . 6 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1)))
38	33, 35, 37	3eqtr4g 2289	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)))
39		0zd 9490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℤ)
40	39, 21, 23	seq3-1 10723	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0))
41		rpcn 9896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
42	18	eftvalcn 12217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
43	30, 42	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
44	41, 43	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
45		eft0val 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
46	41, 45	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
47	44, 46	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
48	40, 47	eqtrd 2264	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
49	18	eftvalcn 12217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
50	1, 49	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
51		fac1 10990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘1) = 1
52	51	oveq2i 6028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
53		exp1 10806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
54	53	oveq1d 6032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
55		div1 8882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
56	54, 55	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
57	52, 56	eqtrid 2276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
58	50, 57	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
59	41, 58	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
60	48, 59	oveq12d 6035	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)) = (1 + 𝐴))
61	38, 60	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
62		2nn0 9418	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
63	18	eftvalcn 12217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
64	62, 63	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
65		fac2 10992	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
66	65	oveq2i 6028	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
67	64, 66	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
68	41, 67	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
69	61, 68	oveq12d 6035	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
70	29, 69	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
71		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
72	62	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℕ0)
73	18, 71, 72	effsumlt 12252	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) < (exp‘𝐴))
74	70, 73	eqbrtrrd 4112	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   / cdiv 8851  2c2 9193  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ℤ_≥cuz 9754  ℝ⁺crp 9887  seqcseq 10708  ↑cexp 10799  !cfa 10986  expce 12202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-ico 10128  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914  df-ef 12208

This theorem is referenced by: (None)