ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efgt1p2 GIF version

Theorem efgt1p2 11703
Description: The exponential of a positive real number is greater than the sum of the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt1p2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p2
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 9192 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
2 nn0uz 9562 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtri 2252 . . . . . 6 1 ∈ (ℤ‘0)
43a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ (ℤ‘0))
5 elnn0uz 9565 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
65biimpri 133 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9 eluzelz 9537 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ ℤ)
109adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
118, 10rpexpcld 10678 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
127faccld 10716 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
1312nnrpd 9694 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
1411, 13rpdivcld 9714 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
15 oveq2 5883 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
16 fveq2 5516 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
1715, 16oveq12d 5893 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
18 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
1917, 18fvmptg 5593 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
207, 14, 19syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
2120, 14eqeltrd 2254 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ+)
22 rpaddcl 9677 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
2322adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
244, 21, 23seq3p1 10462 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘(1 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1))))
25 df-2 8978 . . . . 5 2 = (1 + 1)
2625fveq2i 5519 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘(1 + 1))
2725fveq2i 5519 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1))
2827oveq2i 5886 . . . 4 ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1)))
2924, 26, 283eqtr4g 2235 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)))
30 0nn0 9191 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
3130, 2eleqtri 2252 . . . . . . . 8 0 ∈ (ℤ‘0)
3231a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ∈ (ℤ‘0))
3332, 21, 23seq3p1 10462 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))))
34 1e0p1 9425 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
3534fveq2i 5519 . . . . . 6 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1))
3634fveq2i 5519 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))
3736oveq2i 5886 . . . . . 6 ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1)))
3833, 35, 373eqtr4g 2235 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)))
39 0zd 9265 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℤ)
4039, 21, 23seq3-1 10460 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0))
41 rpcn 9662 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
4218eftvalcn 11665 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
4330, 42mpan2 425 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
4441, 43syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
45 eft0val 11701 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
4641, 45syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
4744, 46eqtrd 2210 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
4840, 47eqtrd 2210 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
4918eftvalcn 11665 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
501, 49mpan2 425 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
51 fac1 10709 . . . . . . . . . 10 (!‘1) = 1
5251oveq2i 5886 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
53 exp1 10526 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
5453oveq1d 5890 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
55 div1 8660 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
5654, 55eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
5752, 56eqtrid 2222 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
5850, 57eqtrd 2210 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
5941, 58syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
6048, 59oveq12d 5893 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)) = (1 + 𝐴))
6138, 60eqtrd 2210 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
62 2nn0 9193 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
6318eftvalcn 11665 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
6462, 63mpan2 425 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
65 fac2 10711 . . . . . . 7 (!‘2) = 2
6665oveq2i 5886 . . . . . 6 ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
6764, 66eqtrdi 2226 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
6841, 67syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
6961, 68oveq12d 5893 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
7029, 69eqtrd 2210 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
71 id 19 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+)
7262a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℕ0)
7318, 71, 72effsumlt 11700 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) < (exp‘𝐴))
7470, 73eqbrtrrd 4028 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4004  cmpt 4065  cfv 5217  (class class class)co 5875  cc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992   / cdiv 8629  2c2 8970  0cn0 9176  cz 9253  cuz 9528  +crp 9653  seqcseq 10445  cexp 10519  !cfa 10705  expce 11650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator