Theorem efgt1p2 12336

Description: The exponential of a positive real number is greater than the sum of the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt1p2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt1p2

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9477	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0uz 9852	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtri 2306	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
5		elnn0uz 9855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
6	5	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		eluzelz 9826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	8, 10	rpexpcld 11022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ+)
12	7	faccld 11061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 9990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
14	11, 13	rpdivcld 10010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
15		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
16		fveq2 5648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
17	15, 16	oveq12d 6046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
18		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
19	17, 18	fvmptg 5731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
20	7, 14, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
21	20, 14	eqeltrd 2308	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ+)
22		rpaddcl 9973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
23	22	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ+)
24	4, 21, 23	seq3p1 10790	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(1 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1))))
25		df-2 9261	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
26	25	fveq2i 5651	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(1 + 1))
27	25	fveq2i 5651	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1))
28	27	oveq2i 6039	. . . 4 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(1 + 1)))
29	24, 26, 28	3eqtr4g 2289	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)))
30		0nn0 9476	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31	30, 2	eleqtri 2306	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
32	31	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
33	32, 21, 23	seq3p1 10790	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))))
34		1e0p1 9713	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0 + 1)
35	34	fveq2i 5651	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘(0 + 1))
36	34	fveq2i 5651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1))
37	36	oveq2i 6039	. . . . . 6 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘(0 + 1)))
38	33, 35, 37	3eqtr4g 2289	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)))
39		0zd 9552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℤ)
40	39, 21, 23	seq3-1 10787	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0))
41		rpcn 9958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
42	18	eftvalcn 12298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
43	30, 42	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
44	41, 43	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = ((𝐴↑0) / (!‘0)))
45		eft0val 12334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
46	41, 45	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴↑0) / (!‘0)) = 1)
47	44, 46	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘0) = 1)
48	40, 47	eqtrd 2264	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) = 1)
49	18	eftvalcn 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
50	1, 49	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = ((𝐴↑1) / (!‘1)))
51		fac1 11054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘1) = 1
52	51	oveq2i 6039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑1) / (!‘1)) = ((𝐴↑1) / 1)
53		exp1 10870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
54	53	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = (𝐴 / 1))
55		div1 8942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
56	54, 55	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / 1) = 𝐴)
57	52, 56	eqtrid 2276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) / (!‘1)) = 𝐴)
58	50, 57	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
59	41, 58	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1) = 𝐴)
60	48, 59	oveq12d 6046	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘0) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘1)) = (1 + 𝐴))
61	38, 60	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) = (1 + 𝐴))
62		2nn0 9478	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
63	18	eftvalcn 12298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
64	62, 63	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / (!‘2)))
65		fac2 11056	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
66	65	oveq2i 6039	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑2) / (!‘2)) = ((𝐴↑2) / 2)
67	64, 66	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
68	41, 67	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2) = ((𝐴↑2) / 2))
69	61, 68	oveq12d 6046	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘1) + ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘2)) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
70	29, 69	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) = ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)))
71		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ+)
72	62	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℕ0)
73	18, 71, 72	effsumlt 12333	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘2) < (exp‘𝐴))
74	70, 73	eqbrtrrd 4117	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 + 𝐴) + ((𝐴↑2) / 2)) < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8090  0cc0 8092  1c1 8093   + caddc 8095   < clt 8273   / cdiv 8911  2c2 9253  ℕ₀cn0 9461  ℤcz 9540  ℤ_≥cuz 9816  ℝ⁺crp 9949  seqcseq 10772  ↑cexp 10863  !cfa 11050  expce 12283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-ico 10190  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994  df-ef 12289

This theorem is referenced by: (None)