ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ndvdssub GIF version

Theorem ndvdssub 11918
Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 − 1, 𝑁 − 2... 𝑁 − (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdssub ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))

Proof of Theorem ndvdssub
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9172 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
2 nnne0 8936 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
31, 2jca 306 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
4 df-ne 2348 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
54anbi2i 457 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 < 𝐷𝐾 ≠ 0) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0))
6 divalg2 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
7 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑥 → (𝑟 < 𝐷𝑥 < 𝐷))
8 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
98breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
107, 9anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑥 → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))))
1110reu4 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
126, 11sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
13 nngt0 8933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
14133ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → 0 < 𝐷)
15 zcn 9247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1615subid1d 8247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1716breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 0) ↔ 𝐷𝑁))
1817biimpar 297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
19183adant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
2014, 19jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
21203expa 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
2221anim2i 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁)) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
2322ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
24 0nn0 9180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℕ0
25 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝐷 ↔ 0 < 𝐷))
26 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 0 → (𝑁𝑥) = (𝑁 − 0))
2726breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
2825, 27anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥)) ↔ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
2928anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))))
30 eqeq2 2187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (𝑟 = 𝑥𝑟 = 0))
3129, 30imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → ((((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) ↔ (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
3231rspcv 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
3324, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0))
3423, 33syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) → 𝑟 = 0))
3534expd 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3635ralimi 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3712, 36simpl2im 386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
38 r19.21v 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)) ↔ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3937, 38sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
4039expd 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0))))
4140pm2.43i 49 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
42413impia 1200 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0))
43 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 < 𝐷𝐾 < 𝐷))
44 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝐾 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝐾))
4544breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
4643, 45anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝐾 → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
47 eqeq1 2184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
4846, 47imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐾 → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
4948rspcv 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0) → ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
5042, 49syl5com 29 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
51 pm3.37 689 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0) → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
5250, 51syl6 33 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
535, 52syl7bi 165 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5453exp4a 366 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))))
5554com23 78 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))))
5655imp4a 349 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
573, 56syl7 69 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5857com23 78 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 < 𝐷 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5958impd 254 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
60593expia 1205 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
6160com23 78 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
62613impia 1200 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  ∃!wreu 2457   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  0cc0 7802   < clt 7982  cmin 8118  cn 8908  0cn0 9165  cz 9242  cdvds 11778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779
This theorem is referenced by:  ndvdsadd  11919
  Copyright terms: Public domain W3C validator