Theorem ndvdssub 12071

Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 − 1, 𝑁 − 2... 𝑁 − (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ndvdssub	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem ndvdssub

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		nnne0 9010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
3	1, 2	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0))
4		df-ne 2365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
5	4	anbi2i 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ 0) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0))
6		divalg2 12067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))
7		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑟 < 𝐷 ↔ 𝑥 < 𝐷))
8		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝑥))
9	8	breq2d 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)))
10	7, 9	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 𝑥 → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))))
11	10	reu4 2954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
12	6, 11	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
13		nngt0 9007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
14	13	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 0 < 𝐷)
15		zcn 9322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	subid1d 8319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
17	16	breq2d 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 0) ↔ 𝐷 ∥ 𝑁))
18	17	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
19	18	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
20	14, 19	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
21	20	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
22	21	anim2i 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁)) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
23	22	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
24		0nn0 9255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝐷 ↔ 0 < 𝐷))
26		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑁 − 𝑥) = (𝑁 − 0))
27	26	breq2d 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
28	25, 27	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥)) ↔ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
29	28	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) ↔ ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))))
30		eqeq2 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑟 = 𝑥 ↔ 𝑟 = 0))
31	29, 30	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) ↔ (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
32	31	rspcv 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
33	24, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (0 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0))
34	23, 33	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) → 𝑟 = 0))
35	34	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
36	35	ralimi 2557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
37	12, 36	simpl2im 386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
38		r19.21v 2571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)) ↔ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
39	37, 38	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
40	39	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0))))
41	40	pm2.43i 49	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0)))
42	41	3impia 1202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0))
43		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 < 𝐷 ↔ 𝐾 < 𝐷))
44		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − 𝐾))
45	44	breq2d 4041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
46	43, 45	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
47		eqeq1 2200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
48	46, 47	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝐾 → (((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
49	48	rspcv 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) → 𝑟 = 0) → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
50	42, 49	syl5com 29	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0)))
51		pm3.37 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)) → 𝐾 = 0) → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
52	50, 51	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
53	5, 52	syl7bi 165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
54	53	exp4a 366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))))
55	54	com23 78	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))))
56	55	imp4a 349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
57	3, 56	syl7 69	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
58	57	com23 78	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 < 𝐷 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
59	58	impd 254	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∥ 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))
60	59	3expia 1207	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
61	60	com23 78	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾))))
62	61	3impia 1202	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  ∃!wreu 2474   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  0cc0 7872   < clt 8054   − cmin 8190  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317   ∥ cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  ndvdsadd  12072