ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ndvdssub GIF version

Theorem ndvdssub 11889
Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 − 1, 𝑁 − 2... 𝑁 − (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdssub ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))

Proof of Theorem ndvdssub
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9142 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
2 nnne0 8906 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
31, 2jca 304 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
4 df-ne 2341 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
54anbi2i 454 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 < 𝐷𝐾 ≠ 0) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0))
6 divalg2 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
7 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑥 → (𝑟 < 𝐷𝑥 < 𝐷))
8 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
98breq2d 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
107, 9anbi12d 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑥 → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))))
1110reu4 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
126, 11sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
13 nngt0 8903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
14133ad2ant2 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → 0 < 𝐷)
15 zcn 9217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1615subid1d 8219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1716breq2d 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 0) ↔ 𝐷𝑁))
1817biimpar 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
19183adant2 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
2014, 19jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
21203expa 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
2221anim2i 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁)) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
2322ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
24 0nn0 9150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℕ0
25 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝐷 ↔ 0 < 𝐷))
26 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 0 → (𝑁𝑥) = (𝑁 − 0))
2726breq2d 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
2825, 27anbi12d 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥)) ↔ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
2928anbi2d 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))))
30 eqeq2 2180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (𝑟 = 𝑥𝑟 = 0))
3129, 30imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → ((((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) ↔ (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
3231rspcv 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
3324, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0))
3423, 33syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) → 𝑟 = 0))
3534expd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3635ralimi 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3712, 36simpl2im 384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
38 r19.21v 2547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)) ↔ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3937, 38sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
4039expd 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0))))
4140pm2.43i 49 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
42413impia 1195 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0))
43 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 < 𝐷𝐾 < 𝐷))
44 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝐾 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝐾))
4544breq2d 4001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
4643, 45anbi12d 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝐾 → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
47 eqeq1 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
4846, 47imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐾 → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
4948rspcv 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0) → ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
5042, 49syl5com 29 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
51 pm3.37 684 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0) → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
5250, 51syl6 33 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
535, 52syl7bi 164 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5453exp4a 364 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))))
5554com23 78 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))))
5655imp4a 347 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
573, 56syl7 69 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5857com23 78 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 < 𝐷 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5958impd 252 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
60593expia 1200 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
6160com23 78 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
62613impia 1195 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340  wral 2448  wrex 2449  ∃!wreu 2450   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  0cc0 7774   < clt 7954  cmin 8090  cn 8878  0cn0 9135  cz 9212  cdvds 11749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750
This theorem is referenced by:  ndvdsadd  11890
  Copyright terms: Public domain W3C validator