ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ndvdssub GIF version

Theorem ndvdssub 11534
Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 − 1, 𝑁 − 2... 𝑁 − (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdssub ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))

Proof of Theorem ndvdssub
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 8938 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
2 nnne0 8708 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
31, 2jca 302 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
4 df-ne 2284 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
54anbi2i 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 < 𝐷𝐾 ≠ 0) ↔ (𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0))
6 divalg2 11530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)))
7 breq1 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑥 → (𝑟 < 𝐷𝑥 < 𝐷))
8 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
98breq2d 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
107, 9anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑥 → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))))
1110reu4 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
126, 11sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥)))
13 nngt0 8705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
14133ad2ant2 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → 0 < 𝐷)
15 zcn 9013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1615subid1d 8026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1716breq2d 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (𝑁 − 0) ↔ 𝐷𝑁))
1817biimpar 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
19183adant2 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∥ (𝑁 − 0))
2014, 19jca 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
21203expa 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
2221anim2i 337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁)) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
2322ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
24 0nn0 8946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℕ0
25 breq1 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 0 → (𝑥 < 𝐷 ↔ 0 < 𝐷))
26 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 0 → (𝑁𝑥) = (𝑁 − 0))
2726breq2d 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 0 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))
2825, 27anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 0 → ((𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥)) ↔ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))))
2928anbi2d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) ↔ ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0)))))
30 eqeq2 2125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (𝑟 = 𝑥𝑟 = 0))
3129, 30imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → ((((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) ↔ (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
3231rspcv 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0)))
3324, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (0 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁 − 0))) → 𝑟 = 0))
3423, 33syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) ∧ (𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟))) → 𝑟 = 0))
3534expd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3635ralimi 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑟 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ∧ (𝑥 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑥))) → 𝑟 = 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3712, 36simpl2im 381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
38 r19.21v 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑟 ∈ ℕ0 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)) ↔ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
3937, 38sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
4039expd 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0))))
4140pm2.43i 49 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0)))
42413impia 1161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → ∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0))
43 breq1 3900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 < 𝐷𝐾 < 𝐷))
44 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝐾 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝐾))
4544breq2d 3909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
4643, 45anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝐾 → ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) ↔ (𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
47 eqeq1 2122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝐾 → (𝑟 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
4846, 47imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝐾 → (((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0) ↔ ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
4948rspcv 2757 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (∀𝑟 ∈ ℕ0 ((𝑟 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑟)) → 𝑟 = 0) → ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
5042, 49syl5com 29 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0)))
51 pm3.37 661 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝐾)) → 𝐾 = 0) → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
5250, 51syl6 33 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷 ∧ ¬ 𝐾 = 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
535, 52syl7bi 164 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 < 𝐷𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5453exp4a 361 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))))
5554com23 78 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≠ 0 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))))
5655imp4a 344 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
573, 56syl7 69 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 < 𝐷 → (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5857com23 78 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 < 𝐷 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
5958impd 252 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
60593expia 1166 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
6160com23 78 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾))))
62613impia 1161 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2283  wral 2391  wrex 2392  ∃!wreu 2393   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  0cc0 7584   < clt 7764  cmin 7897  cn 8680  0cn0 8931  cz 9008  cdvds 11400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fl 9994  df-mod 10047  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-dvds 11401
This theorem is referenced by:  ndvdsadd  11535
  Copyright terms: Public domain W3C validator