ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclpr GIF version

Theorem mulclpr 7573
Description: Closure of multiplication on positive reals. First statement of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulclpr ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)

Proof of Theorem mulclpr
Dummy variables ๐‘ž ๐‘Ÿ ๐‘ก ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-imp 7470 . . . 4 ยทP = (๐‘ค โˆˆ P, ๐‘ฃ โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆƒ๐‘ง โˆˆ Q (๐‘ฆ โˆˆ (1st โ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ง โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฃ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง))}, {๐‘ฅ โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆƒ๐‘ง โˆˆ Q (๐‘ฆ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ง โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฃ) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง))}โŸฉ)
21genpelxp 7512 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ (๐’ซ Q ร— ๐’ซ Q))
3 mulclnq 7377 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) โˆˆ Q)
41, 3genpml 7518 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))
51, 3genpmu 7519 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))
62, 4, 5jca32 310 . 2 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ ((๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ (๐’ซ Q ร— ๐’ซ Q) โˆง (โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))))
7 ltmnqg 7402 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ง โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง ยทQ ๐‘ฅ) <Q (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)))
8 mulcomnqg 7384 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ ยทQ ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ฅ))
9 mulnqprl 7569 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ (1st โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐‘ก โˆˆ (1st โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘ข ยทQ ๐‘ก) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
101, 3, 7, 8, 9genprndl 7522 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))))
11 mulnqpru 7570 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง (๐ต โˆˆ P โˆง ๐‘ก โˆˆ (2nd โ€˜๐ต))) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ข ยทQ ๐‘ก) <Q ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
121, 3, 7, 8, 11genprndu 7523 . . . 4 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ž โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))))
1310, 12jca 306 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (โˆ€๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))) โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ž โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))))
141, 3, 7, 8genpdisj 7524 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ Q ยฌ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆง ๐‘ž โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))
15 mullocpr 7572 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ Q โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))))
1613, 14, 153jca 1177 . 2 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ ((โˆ€๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))) โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ž โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ Q ยฌ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆง ๐‘ž โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ Q โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))))
17 elnp1st2nd 7477 . 2 ((๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P โ†” (((๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ (๐’ซ Q ร— ๐’ซ Q) โˆง (โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))) โˆง ((โˆ€๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))) โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ž โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))))) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ Q ยฌ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆง ๐‘ž โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต))) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ Q โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜(๐ด ยทP ๐ต)))))))
186, 16, 17sylanbrc 417 1 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด ยทP ๐ต) โˆˆ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  โˆƒwrex 2456  ๐’ซ cpw 3577   class class class wbr 4005   ร— cxp 4626  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  1st c1st 6141  2nd c2nd 6142  Qcnq 7281   ยทQ cmq 7284   <Q cltq 7286  Pcnp 7292   ยทP cmp 7295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-imp 7470
This theorem is referenced by:  mulnqprlemfl  7576  mulnqprlemfu  7577  mulnqpr  7578  mulassprg  7582  distrlem1prl  7583  distrlem1pru  7584  distrlem4prl  7585  distrlem4pru  7586  distrlem5prl  7587  distrlem5pru  7588  distrprg  7589  1idpr  7593  recexprlemex  7638  ltmprr  7643  mulcmpblnrlemg  7741  mulcmpblnr  7742  mulclsr  7755  mulcomsrg  7758  mulasssrg  7759  distrsrg  7760  m1m1sr  7762  1idsr  7769  00sr  7770  recexgt0sr  7774  mulgt0sr  7779  mulextsr1lem  7781  mulextsr1  7782  recidpirq  7859
  Copyright terms: Public domain W3C validator